Методика изучения элементов алгебры и математической логики

Урок математики очень  оживляют учебные задания творческого  характера. Детям необходимо составить  неравенство. На доске записана левая  часть неравенства 72 : 6 и знак сравнения «>». Подумайте, какое выражение надо записать в правой части неравенства, чтобы значение левого выражения было в четыре раза больше правого? 72 : 6 > 72 : o. Предлагается делитель 24.

• Подумаем, правильно ли выполнено задание. Попробуем рассуждать не вычисляя.
• Делитель в правом выражении шесть. Чтобы первое выражение в четыре раза больше по своему значению, чем второе, надо чтобы делитель во втором выражении был в четыре раза больше, чем шесть, то есть 24. Делитель в первом выражении меньше в четыре раза, значит, частное будет больше в четыре раза.
• Теперь проверим рассуждение вычислением.

В эту работу следует активно  включать слабых учащихся. Затем дети самостоятельно составляют неравенства. При самостоятельном выполнении слабым учащимся предлагаются карточки с методической помощью:

72 : 2 > 72 : 6

72 : 3 > 72 : o

72 : 4 > o : o

72 : o > o : o

Главное, чтобы учитель осознавал  психолого-пелогогическую основу учебных  заданий – развитие учащихся.

 

Порядок действий.

 

Объяснение нового по таблице «порядок действий» помогает детям быстрее и более прочно усвоить этот новый для них материал. Таблица является как бы моделью темы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• О чем задумался Незнайка и зачем к нему прилетели птички?
• Уставшие и голодные птички должны свить себе гнездышко. Незнайка задумался как помочь им. Ему на помощь пришли сами же птички: «Сначала давайте соберем зернышки, поклюем их, а потом, ставь сильными, полетим за веточками для гнездышка.»
• А как на таблице изображены зернышки и веточки? Какими знаками они обозначены? Незнайка запомнил порядок работы, который ему предложили птички, и решил попробовать выполнить примеры на порядок действий. Давайте поможем ему. Разбирают примеры: 30 – 2 · 4; 20 : 4 + 9.

Таким образом дети самостоятельно изучают тему, а учитель руководит их мыслительной деятельностью. На первом этапе, главное – научить разбираться в порядке действий.

На следующем этапе  предлагаются примеры в три и  четыре действия. Затем появляются примеры с использованием скобок и в помощь предлагается таблица:

1  -                          2   +

        o o + o = o

        o o - o = o    1  +

             Выполняй по очереди     2 –

   Спеши на помощь 

        (o  - o) + o = o

         o - ( o + o) = o

Таблица образно напоминает, что в первую очередь надо выполнять действия в скобках.

Поиск и творчество.

 

      Как  добиться твердого усвоения правил  порядка выполнения действий?

На доске записан пример: 96 – 28 : 4 + 36 · 2. Определить порядок действий только над действиями деления и умножения: 96 – 28 : 4 + 36 · 2. Выполняем их по порядку: 1) 28 : 4 = 7; 2) 36 · 2 = 72. Затем переписываем числовое выражение в упрощенном виде: 96 – 7 + 72. Снова обозначаем порядок действий:  96 – 7 + 72. Заканчиваем его решение: 3) 96 – 7= 89; 4) 89 + 72 = 161.

Для выработки твердых  навыков, правильных и быстрых устных вычислений на каждом уроке выделяется 5 – 10 минут для проведения тренеровочных  упражнений. Но чтобы  не пропадал интерес  к устному счету можно использовать игры.

На внутренней стороне  доски вешаются кармашки с надписью «Устно», «Работай сам».

В первый кармашек кладутся карточки на которых записаны примеры  для устного счета, в другой кармашек – примеры для самостоятельной  работы на уроке.

Детям очень нравится игра «В полет на воздушном шаре». Изображается воздушный шар, в нем герои из детских книг. Внизу прикреплен почтовый ящик – кармашек с прорезью. На уроке за отличный ответ ученик получает билет – карточку на обратной стороне которой пишет свою фамилию и на перемене опускает в почтовый ящик. Полет может длиться несколько дней, а когда будет окончен, учитель вместе с учащимися вскрывает почтовый ящик, подводит итоги и объявляет победителя. В качестве поощрения победитель может составить создания для устного счета и даже проводить его.

 

Ошибки в  порядке выполнения арифметических действий и пути их предупреждения.

 

Для выявления характера ошибок учащихся в определении порядка  выполнения действий в выражениях в  конце третьей и начале четвертой  четверти, когда материал уже хорошо изучен, можно провести самостоятельные работы. Выражения составляются так, чтобы вычисления в них  можно было  производить как в правильном порядке, так и не в правильном: 60 : 6 · 2 ( правильный);           64 : 16 : 2 (неправильный).

На правильность применения правил порядка выполнения действий значительное влияние оказывает структура выражений и числовой материал.

В структуре выражений  играет набор, количество и расположение действий в выражениях, наличие в  них скобок. Ошибки состоят в том, что учащиеся выполняют сложение раньше деления, не обращая внимания на порядок записи.

Дети помнят начало формулировки, в которой сложение названо раньше вычитания, а умножение раньше деления, и не обращает внимания на конец  правила, подчеркивающий, что эти действия надо выполнять в порядке их записи. Другая причина этих ошибок – ориентировка учащихся не на правило, а на возможность выполнения действий – делают то, что делается.

Так же большую роль играет количество действий. Если учащиеся умеют  применять правило порядка выполнения действий в выражениях в два действия, нельзя утверждать, что они могут применить его столь же успешно в выражениях в три – четыре действия. Особенно ярко это проявляется в выражениях со скобками.

Теперь рассмотрим влияние числового материала. Вполне понятно, что если числа в выражении не позволяют производить вычисления в неверной последовательности, то ошибки встречаются редко. Если числовой материал позволяет в одном и том же выражении использовать разный порядок выполнения действий, то в работах встречаются все возможные варианты.

Можно использовать следующие  упражнения для формирования умений пользоваться правилами порядка  выполнения действий, предполагающие постепенные усложнения деятельности учащихся.

1. а) Выберите значение выражения 96 – 24 + 12: 6 из чисел 90 , 74, 70, 14.

б) Выберите выражения, значения которых равны 80 : 20 + 20 · 2;              84 – 12 + 48 : 6;  95 – 10 + 5; 5 + 90 : 6 · 5.

2. Из всех схем выражений выберите те, в которых умножение надо выполнять вторым действием: o + o · o; o · o + (o + o); o + o · o + o;         o + (o - o) · o.
3. Проверьте правильно вычислены значения выражений. Исправьте ошибки, если они есть: 100 –20 : (20 – 10) = 8; 70 : 14 · 5 = 1; 90 – 36 : 18 + 18= 70.
4. Расставьте знаки арифметических действий чтобы получились различные выражения, и вычислите их значения: 48 o 12 o 4.
5. Составьте выражения, подбирая вместо «окошек» такие числа над которыми можно выполнить указанные действия: o - o · o;                        o + o - o + o;  o : o + o; o - o · o + o.

  Приведенные упражнения могут  быть использованы как на уроках, так и во внеклассной работе.

 

Работа по – новому.

 

Задания, подобранные в этой статье, помогают учителю выстроить ход  урока, помогают повторить изученный  ранее материал, который необходим для усвоения нового, и при этом каждое задание требует от учащихся активной мыслительной деятельности.

Возьмем тему «Порядок выполнения действий в выражениях». Ориентируясь на материалы по математике для второго  класса. Первый урок проходит так.

Сначала детям предлагаются различные  выражения и им необходимо определить количество действий в них, наличие  или отсутствие скобок, а так же те действия, которые необходимо выполнить  в данных выражениях: 72 – ( 9- 3) – 6;  72 – 9 – 3 – 6 + 12; 72 – 9 – 3 – ( 6+ 12).

Дети сравнивают первое и второе выражения, отмечают, что в первом есть действия (его нужно выполнить  первым), в первом выражении нужно  выполнить три действия, а во втором – 4. Некоторые отмечают, что во втором выражении добавляется число 12. Второе  выражение похоже на третье, только в третьем есть скобки.

Дети говорят, что в данных выражениях отсутствуют такие действия, как  умножение и деление.

А что можно сказать о таких  выражениях? 72 : 9 · 3 : 6 : 2; 72 : 9 · 3: ( 6 : 2 ) · 7; 72 : 9 · 3 : 6: 2 · 7.

Рассматриваются правила выполнения действий в выражениях. Подчеркивают слова: по порядку слева на право, сложение или вычитание. Обращают внимание на слово или. Обсуждается, что оно  означает. Делают вывод: если в выражении  слева идет первым сложение, то выполняем сложение, а если вычитание, то выполняем вычитание.

Для закрепления правил, выполняют  задания. По какому признаку записаны выражения в каждом столбике?

                            29 – 8 + 24    72 : 9 · 3

   32 + 9 – 7 + 14   48 : 6 · 7 : 8

   64 – 7 + 16 – 8   27 : 3 · 2 : 6 · 9

Только после этого ставится вычислительная задача.

На доске записывают выражение 68 – 7 · 8 + 63 : 9. Дети расставляют порядок  действий: 68 – 7 · 8 + 63 : 9. Вычисления выполняют  устно. Они решают первое действие 7 · 8 = 56. Учитель берет карточку с числом 56 и закрывает ею выражение 7 · 8, получается запись: 68 – 56 + 63 : 9. И так пока не получится запись: 12 + 7.

Следующее задание: по какому признаку можно разбить выражение на три  группы: 81 – 29 + 27; 400 + 200 + 30 – 100; 27 : 3 · 2: 6 · 9; 400 + 200 + 300 – 100:          48 : 6 · 7 : 8; 54 + 6 · 3 – 72 : 8; 72 : 9 · 3; 84 – 9 · 8.   

Задание третье. Можно  ли утверждать, что значения выражений  в каждом столбике одинаковы?       56 : 8      54 : 9

                                      7 · 8 : (32 : 4)  9· 6 : ( 36 : 4)

                                      (65 – 9) : ( 24 : 3)          (72 – 18) : ( 27 : 3)

После того как учащиеся научатся соотносить то или иное выражение  с соответствующим правилам, предлагают такие задания: подумайте, какие  знаки действий можно поставить  вместо звездочек: o * o * o.

Дети спрашивают «А какой  порядок действий?» Учитель выставляет порядок действий: o * o * o. Предлагают разные варианты: o * o * o

              +      -

                                                        -       +

    ·        :

    :        ·   и т. д. 

Далее детям предлагается выполнить работу самостоятельно. Они  придумывают различные примеры  такого типа.

Затем схемы усложняются: добавляются числа, скобки, изменяется порядок действий. Особенности этих заданий состоит в том, что они активизируют творческую активность самого учителя.

 

Живые уравнения.

 

Нужны ли уравнения маленьким детям? Легко ли понять пример, когда ответ прячется за таинственным «х», который и прочесть-то не все могут правильно, то ли «икс», то ли «ха». Решение задач с помощью уравнений таинственно и интересно, а сокрытие тайн для любознательного человека вредно. Поэтому знакомство с уравнениями надо начинать с первого класса. И провести его можно следующим образом.

Начнем с фигурок, которые  дети умеют складывать и строить  из них. На доске нарисованы две фигуры. Что получится при их сложение? o + ∆ =

Дети получают дом, в котором  квадрат и треугольник превратились в стену и крышу. Дом – целое, а крыша и стены – его части. Из частей складывается целое.

Ч₁ + Ч₂ = Ц

Теперь разберем дом. Можно снять  крышу и останется стена, а  можно убрать стену и останется  крыша. Если от целого отнять часть, то получится другая его часть   Ц – Ч ₁ = Ч ₂. Зная это, ребенок может теперь сам определить неизвестную часть, имея целое и известную часть. Это уже уравнение. В нем появляется мистер Икс.                      – х =

Что же случилось с карандашом? Что спрятал мистер Икс? Ну, конечно, у него сломался грифель. х =     .

Когда работают с уравнением, то пишут три строчки. В каждой из них обязательно есть х и  один знак равенства.

Строчка 1 – уравнение; в нем х спрятался.

Строчка 2 – решение  уравнения; х в одной стороне равенства, а остальное – в другой.

Строчка 3 – корень уравнения; в нем открывается всем, что  спрятал х.

Решим такое уравнение:

                    -  х =

 

Что же осталось, если у  моркови отрезали зеленый хвостик? Решение:

 

  х =         -  

 

  х = 

 

Здесь два места, в которых х  слева от знака равенства в  одиночестве. Нижняя часть явно показывает, что корень моркови это и есть корень уравнения. Верхняя-

Подробно рассказывает, как мы действуем, чтобы найти  корень, то есть решаем уравнение:  показываем, как из целого (моркови)  и известной части (хвостика) узнаем неизвестную часть ( корень). Ц – Ч _изв.= Ч _н