Аналитическое конструирование оптимального регулятора

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ

ДОНБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА АУТП

 

 

 

 

 

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовому проекту

АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ  ОПТИМАЛЬНОГО РЕГУЛЯТОРА

по курсу: «Теория автоматического  управления»

 

 

 

 

 

 

Выполнил: ст.гр.АКТ-08

Земсков А.А.

Принял: доц. каф.

Кобец Д.В.

 

 

 

 

 

Алчевск, 2012

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

Введение  4

1 Математическое описание  объекта регулирования  5

2Расчет весовых коэффициентов  функционала для первого уровня 

cистемы 7

3 Синтез оптимального  управления для первого уровня  системы  9

4Расчет весовых коэффициентов  функционала для второго уровня 

Системы 13

5 Синтез оптимального  управления для второго уровня  системы  15

6 Реализация оптимального  управления  21

7 Анализ качества регулирования   25

Выводы  34

Перечень ссылок  36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

 

В современных условиях системы  автоматического регулирования  стали неотъемлемой частью практически всех сфер материального производства. Они постепенно совершенствуются и усложняются и для их синтеза используются иные подходы и методы, чем для САР предыдущих поколений. Характерными особенностями современных методов синтеза регуляторов являются:

• требования к устойчивости и качеству регулирования в большом, т.е.при любых начальных отклонениях и любых возмущениях;
• использование математических моделей объектов не только при синтезе регуляторов, но и в процессе нормального функционирования систем;
• использование методов оптимизации;
• использование полной информации о поведении объекта – учет всех его фазовых координат.

Такой подход реализуется  методами аналитического конструирования оптимальных регуляторов в основу которых положена концепция возмущенно-невозмущенного движения Ляпунова. Регуляторы, построенные на таких принципах, обеспечивают заранее заданные показатели качества – вид переходного процесса и время регулирования путем приведения фактического движения к невозмущенному и сведения возмущенного к нулю.

В качестве критерия оптимальности  выбирается квадратичный функционал, в состав которого входит взвешенное по фазовым координатам возмущенное движение. Затем отыскивается дифференциальное уравнение системы, которое обеспечивает оптимальный закон управления. В результате решения вариационной задачи находятся коэффициенты оптимального управления.

В данной работе, для синтеза  оптимального регулятора к заданному  объекту будет использован метод динамического программирования Р.Беллмана и принцип максимума Понтрягина.

 

1 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ  ОБЪЕКТА РЕГУЛИРОВАНИЯ

 

 

Объект управления задан  передаточной функцией вида:

 

 

 

где К₁=3,2; К₂=13; К₃=0,43; Т₁=0,08; Т₂=2,8с; Т₃=1,2с.

  

Структурная схема объекта  управления представлена на рисунке 1.1.

 

Рисунок 1.1 – Структурная  схема объекта управления

 

График кривой разгона  объекта представлен на рисунке 1.2.

С целью использования  полной информации о поведении объекта – учета всех его фазовых координат необходимо перейти от передаточной функции к описанию объекта в переменных состояния:

 

,      (1.1)

 

где  ; ; ; ; ; .

 

Рисунок 1.2 – График кривой разгона объекта управления

 

Время установления при входе  в пятипроцентную зону, как видно  из графика на рисунке 1.2, составляет t_У= 9.973с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 расчет ВЕСОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУНКЦИОНАЛА

для первого  уровня системы

 

 

При аналитическом конструировании  оптимальных регуляторов в качестве критерия оптимальности выбирается квадратичный функционал вида:

 

.    (2.1)

 

Функционал (2.1) характеризует  интегральную квадратичную ошибку за все время переходного процесса, взвешенную по постоянным а₁, а₂, а₃, с, которые определяют вид переходного процесса (апериодический, колебательный) и время регулирования разрабатываемой САР.

Значения весовых коэффициентов  функционала рассчитываются по формулам, впервые открытым заведующим кафедрой АСУ ТП Донбасского горно-металлургического  института профессором Жиляковым  Виктором Ивановичем:

 

 

 

.

 

Весовые коэффициенты, определенные из данных соотношений, позволяют заранее, еще на этапе разработки регулятора задать апериодический вид переходного  процесса синтезируемой системы, обеспечив  тем самым высокое качество регулирования.

Время регулирования должно быть меньше времени установления, определенного по кривой разгона, для  того, чтобы регулятор мог управлять  объектом, то есть «вести объект за собой». При отсутствии дополнительных условий, налагающих ограничение на длительность переходного процесса в разрабатываемой  системе, время регулирования можно  определить соотношением:

 

.

 

Следовательно, t_р = 0,5* 10.07 = 4.987c.

Весовой коэффициент с  при отсутствии дополнительных условий  обычно принимается равным 1.

В результате расчета получены следующие значения весовых коэффициентов:

 

a1 = -819.51;

a2 = 8399;

a3 =-1163.

 

 

 

 

 

 

 

 

3 СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО  УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ПЕРВОГО УРОВНЯ  СИСТЕМЫ

 

 

Поиск оптимального управления является решением задачи Лагранжа на условный экстремум. Для первого  уровня системы в данной работе, при нахождении  коэффициентов  оптимального управления используется классический вариационный метод (метод  неопределенных множителей Лагранжа).

Объект управления задан  системой дифференциальных уравнений  возмущённого движения (3.1):

 

 (3.1)

 

В качестве критерия оптимальности  выбирается квадратичный функционал с  весовыми коэффициентами a₁,a₂,a₃.

 

.    (3.2)

 

Функционал (3.2) является целью  управления, поэтому задача построения регулятора заключается в том, чтобы  найти такое управление, то есть закон управления в аналитической  форме, чтобы он в совокупности с  уравнениями возмущенного движения образовывал устойчивую замкнутую  систему, гарантировал минимум функционала  и заданное качество регулирования, которое обеспечивается соответствующим  выбором весовых коэффициентов  a₁, a₂, a₃, с.

Таким образом, необходимо решать задачу Лагранжа – задачу на условный экстремум, так как функции у₁, у₂, у₃ будут являться решениями замкнутой системы дифференциальных уравнений (3.1) и присоединенного к ним уравнения регулятора. Данная задача решается методом неопределенных множителей Лагранжа. Вначале составляется промежуточная функция Н:

 

  (3.3)

 

Уравнение Эйлера

 

.

 

Составляющие уравнений  Эйлера:

 

;

;

;

;

;

;

 

;

.

 

Следовательно, уравнения  Эйлера по λ и U имеют вид:

 

.     (3.4)

.     (3.5)

 

Из уравнения (3.5)

 

.      (3.6)

 

Следовательно, для того, чтобы найти управление (3.6), необходимо отыскать неопределенный множитель  . Для этого к уравнениям возмущенного движения (3.1) присоединяются уравнения (3.4) и (3.6):

 

.     (3.7)

 

Полученная система (3.7) представляет собой уравнения вариационной задачи Лагранжа, в результате решения которых  могут быть найдены неопределенные множители. Для этого находится  характеристическое уравнение вариационной задачи. Первоначально составляется характеристический определитель:

 

.  (3.8)

 

При раскрытии данного  определителя, получается характеристическое уравнение вариационной задачи

 

.    (3.9)

 

Свойство характеристического  определителя (3.8) таково, что характеристическое уравнение, соответствующее ему, будет  всегда иметь только четные степени  р для системы любого порядка. Следствием четности степеней р является наличие отрицательных устойчивых корней р₁, р₂, р₃ и положительных неустойчивых - р₄, р₅, р₆. Положительные корни не обеспечивают устойчивость замкнутой системы, поэтому они отбрасываются.

В результате решения уравнения (3.9), находятся корни характеристического  уравнения вариационной задачи:

 

р₁ = р₂ = р₃ =-12.816.

 

Характеристическое уравнение  синтезируемой замкнутой системы  имеет вид:

 

 ,    (3.10)

 

где коэффициенты g₁,g₂,g₃ определяются через корни р₁, р₂, р₃ по теореме Виета:

 

g₃ = - (р₁ + р₂ + р₃) = 38,446;

 

g₂ = р₁ ∙ р₂ + р₁ ∙ р₃ + р₂ ∙ р₃ = 492,698;

 

g₁ = - р₁ ∙ р₂ ∙ р₃ = 2105.

 

Можно показать, что неопределенный множитель Лагранжа является функцией всех фазовых координат у₁, y₂, y₃, следовательно, аналитическое уравнение оптимального управления будет иметь вид:

 

.      (3.11)

 

Оптимальное управление (3.11) однозначно определяет структуру замкнутой  системы, является результатом синтеза  и найдено из условия минимума выбранного квадратичного функционала.

Уравнение (3.10) называется первой формой характеристического уравнения  синтезируемой замкнутой системы. Для отыскания второй формы характеристического  уравнения этой же системы к уравнению  регулятора (3.11) присоединяются уравнения  возмущенного движения (3.1). Получится  система:

 

         (3.12)

 

Система уравнений (3.12) представляет собой уравнения замкнутой устойчивой системы. Ее характеристический определитель:

 

.           (3.13)

Характеристическое уравнение  замкнутой системы имеет вид:

 

.     (3.14)

 

Коэффициенты b₁, b₂, b₃ получены в результате раскрытия определителя (3.13) и, следовательно, найдены через известные параметры объекта b_ij и неизвестные коэффициенты n₁, n₂ и n₃ регулятора. Характеристическое уравнение (3.14) является второй формой характеристического уравнения синтезируемой системы. Так как уравнения (3.10) и (3.14) есть две формы характеристического уравнения замкнутой синтезируемой системы, то, следовательно, равны их соответствующие коэффициенты:

 

b₃ = g₃; b₂ = g₂; b₁ = g₁.

 

Таким образом, можно найти  неизвестные коэффициенты оптимального управления:

 

;

 

;

 

.

Коэффициенты оптимального управления равны:

 

n1 = -4,08871; n2 = -156,421; n3 = -53,508.

4 Расчет весовых  коэффициентов функционала для  второго уровня системы

 

 

При отыскании коэффициентов  оптимального управления для второго  уровня системы критерием оптимальности  также служит квадратичный функционал вида:

 

.

 

Значения весовых коэффициентов  функционала находятся из соотношений, впервые открытых заведующим кафедрой АСУ ТП Донбасского горно-металлургического  института профессором Жиляковым  Виктором Ивановичем:

 

 

 

.

 

Весовые коэффициенты, рассчитанные таким образом, заранее, еще на этапе  разработки регулятора обеспечивают апериодический переходный процесс, и, следовательно, высокое качество регулирования.