Динамические системы: основные понятия

В рассмотренном случае решение  уравнения (3) таково, что какими бы малыми не были погрешности начальных условий, они могут вызвать большие изменения решения при Решения, обладающие таким свойством, принято называть неустойчивыми.

Пусть теперь Тогда все решения уравнения (3), близкие по начальному условию к решению , остаются близкими к нему и при всех .

В рассмотренном случае решение  уравнения (3) таково, что малые погрешности начальных условий могут вызвать лишь малые изменения решения при всех Решения обладающими таким свойством принято называть устойчивыми.

Проведенные рассуждения  показывают, что решение   уравнения (3) является:

1. неустойчивым при
2. асимптотически устойчивым при
3. устойчивым, но не асимптотически при

 

 

 

 

 

 

1.3 Периодическая задача

Рассмотрим уравнение  вида

 

Где квадратная матрица размерности N.

 

 

 

 

Уравнение (4) имеет нулевую точку равновесия при

Вопрос: Имеет ли уравнение (4) в окрестностях точки x=0 T-периодические (или qT- периодические решения)?

Приведем формулу общего решения системы (4). Справедливо

Теорема2. Вектор функция является решением задачи Коши

 

Где заданный вектор.

 

Из этой теоремы получим

       (5)

Пусть это  T- периодическое  решение

 

 

Подставив в уравнение (5) получим

     (6)

Это уравнение для нахождение начальных значений T- периодических решений уравнения (4),

Уравнение (6) это уравнение вида

       (7)

 

 

 отсюда следует что .

Теорема3. Если не имеет собственного значения 1, то уравнение  (7) в некотором шаре имеет только одно решение при всех  близким к

Следствие. Уравнение (7) может иметь ненулевое решение близким к , если имеет собственное значение 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава II. Модель Колмогорова в нелинейной динамике.

1. Общие сведения модели Колмогорова.

Опишем формально динамическую систему с непрерывным временем, моделирующую динамику численностей взаимодействующих популяций. Пусть динамика численности изолированной популяции определяется дифференциальным уравнением Здесь – численность популяции в момент времени коэффициент прироста, который зависит от текущей численности. Если имеется несколько взаимодействующих популяций, то коэффициент прироста каждой из популяции в самой общей ситуации зависит от численностей всех рассматриваемых популяций, и мы получаем систему дифференциальных уравнений:

 
        (8)

 

 

 

Где вектор численностей(или плотностей) взаимодействующих популяций, вектор-функция, каждая компонента которой представляет собой коэффициент прироста соответствующего вида. Динамическую систему (8) будем называть системой популяционной динамики. Систему (8) часто называют популяционной моделью Колмогорова.

 

 

2. Приложение модели Колмогорова.
1. Модель "хищник-жертва"

В динамике биологических  популяций одной из наиболее известных  является модель "хищник-жертва". Рассматривается биологическое  сообщество, содержащее два вида, один из которых "хищники", а другой - их добыча, называемая "жертвой" (например, волки).

Пусть и - численность популяций жертв и хищников соответственно. Естественно их численность меняется во времени, т.е. Тогда - скорости изменения популяций.

В отсутствие хищников популяция  жертв будет расти; будем считать, что этот рост подчиняется закону Мальтуса где a > 0. Однако наличие хищников уменьшает рост популяции жертв, причем чем больше популяция хищников, т.е. чем больше , тем меньше скорость возрастания популяции жертв. Поэтому естественным будет предположение, что коэффициент a зависит от, т.е., причем функция является убывающей. Пусть для простоты функция является линейной:, где b > 0 - коэффициент "кровожадности" хищников. В результате получим уравнение.

Аналогично популяция  хищников уменьшается в отсутствие жертв: , где c > 0. Наличие жертв компенсирует это уменьшение, что приводит к уравнению .

Таким образом, модель "хищник-жертва" приводит к системе уравнений

        (9)

называемой системой Лотки-Вольтерры.

Модель "хищник-жертва" является классическим примером так  называемой консервативной динамической системы. В качестве фазового пространства этой системы обычно рассматривают первый октант плоскости

 

2. Модель Гудвина.

Модель Гудвина построена для  описания классовой борьбы. Рассмотрим два типа граждан: рабочих и капиталистов. Рабочие тратят весь свой доход на потребление,капиталисты накапливают свой доход , где Y-это продукция производства. Цена потребительских товаров отнормирована к единице. Пусть K означает капитал, - производительность труда,возрастающую с постоянной скоростью g, k= - коэфицент капиталоемкости продукции, а - предложение на рынке рабочей силы, которое увеличивается с темпом роста n. Доля затрат на оплату труда по отношению к национальному доходу составляет . Следовательно, доля прибыли капиталистов составляет . Поскольку сбережения определены как доля инвестиций составляет причем выбытием капитала мы пренебрегли. При постоянном значении капиталоемкости k получаем, что . Итак, в силу

 

И получим .Вводя новые переменные – долю затрат на оплату труда, и коэффицент занятости можно показать,  что

 

 

 

где Будем считать ставку заработной платы быстрой переменной, которая определяется в соответствии с кривой Филлипса, т.е

 

Линейная аппроксимация  этого соотношения  приводит нас к Таким образом, нами получена модель Гудвина в следующем виде:

 

 

 

 

 

ГлаваIII. Исследования периодических задач в моделях   Колмогорова.

1. Исследование классических моделей.

3.1.1 Исследование модели  Гудвина.

Модель Гудвина имеет  вид: 

Найдем неподвижные точки  модели Гудвина:

 

 

2. Решим систему уравнений 

 

 

 

 

И мы имеем две неподвижные  точки:

 

и

 

Обозначим неподвижные точки  через 

и  

 

II. Найдем для неподвижных точек матрицу Якоби.

-матрица Якоби

 

 

 

Найдем собственные значения для т.M.

 

 

 

 

Подставив вместо a и c первоначальные значения получим:

 

 

 

Построим фазовый портрет  для т.M

тогда если :

 то т.M ассимтотически устойчивый узел.

 

 

 

 

Устойчивый узел

 

 

Седло

 

Прямая

 

 

Найдем собственные значения для т.N

 

 

 

 

 

 

 

Найдем фазовый портрет  для т.N

-мнимые числа,  тогда точка устойчива.(Центр)

 

Центр

 

3.1.2.  Исследование модели “Хищник-Жертва”

- Хищник – Жертва

Найдем неподвижные точки  модели

 

1.

2. Решаем систему 

 

Обозначим через K=(0;0) и через L=(

Найдем матрицу Якоби

 

 

1)

Найдем Det

 

 

 

 

 

2)

Найдем Det

 

 

Получились мнимые корни  то фазовый портрет будет Центр.

3.1.3 Исследование усовершенствованной модели “Хищник-жертва”.

 

Найдем неподвижные точки

 

1.

2. Решим систему

 

a)

 

D=

 

 

b)

 

D=

 

 

Берем корни которые  больше нуля. Отсюда получим

 

 

Найдем матрицу Якоби

 

 

Найдем Det

 

 

 

Найдем фазовый портрет

 

Пусть a=c=2;b=3  и α=γ=2; β=3;. Тогда получим

  

Найдем Det

 

 

Найдем фазовый портрет, т.к корни мнимые, то фазовым портретом будет являться центр.

3.1.4 Исследование более усовершенствованной модели “Хищник-жертва”.

 

Найдем неподвижные точки

 

1.

2.

3. и

Найдем матрицу Якоби

 

Для точки (0;0) :

 

Найдем Det

 

 

 

Найдем фазовый портрет

 

 

Для точки (1;1) :

 

Найдем Det

 

 

 

 

Для точки (;) :

 

 

Найдем Det

 

 

 

Найдем фазовый портрет

Т.к собственными значениями являются мнимые корни,то фазовый портрет  будет центр

 

 

2. Исследование периодических задач.

Рассмотрим модель “Хищник - жертва”

 

       И сделаем в ней замену:

 

где

 

 

 

 

Получим систему вида:

 

 

Это и есть уравнение вида:     (*)

Вопрос: Имеется ли в уравнении (*) T- периодические решения в окрестности точки равновесия

Перейдем в уравнение  :

, где

 

 

 

 

Изучается задача о T- периодических решений уравнения (*) в окрестности точки равновесия x=0.

Формула Коши для ∀ решения уравнения (*)

 

Пусть Пусть это T-периодическое решение:

 

, подставив получим :

      (**)

Это уравнения для нахождения начальных значений T- периодического решения уравнения (*), где

Уравнение (**) – это уравнение  вида

 

Где 

             

Т.к (μ) имеет собственные значения имеет собственные значения .

Теорема. Если не имеет собственного значения 1, то уравнение  (4) в некотором шаре имеет только одно решение при всех  близким к

Следствие. Уравнение (4) может иметь ненулевое решение близким к , если имеет собственное значение 1.

 

 

 

 

 

Рассмотрим систему  Хищник-жертва на Т- периодическое решение:

 

Пусть , тогда

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда сделаем вывод: Чем больше период T, тем больше существуют периодические решения.

Рассмотрим уравнение  вида:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наше уравнение разложим в ряд Тейлора:

 

 

+

 

Это уравнение аналогично с уравнением (*) и решаем так же как и в уравнении (*).

Формула Коши для ∀ решения уравнения (*)

 

Пусть Пусть это T-периодическое решение:

 

, подставив получим :

      (**)

Это уравнения для нахождения начальных значений T- периодического решения уравнения (*), где

Уравнение (**) – это уравнение  вида

 

Где 

             

Т.к  имеет собственные значения имеет собственные значения .

 

 

q

 

Рассмотрим систему Хищник-жертва на Т- периодическое решение:

 

Пусть , тогда

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда сделаем вывод: Чем больше период T, тем больше существуют периодические решения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованных источников

1.Каток А.Б., Хасселблат  Б. Введение в теорию динамических  систем. –М.: МЦНМО, 2005.-464 с.

2. Кроновер Р.М. Фракталы  и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000. 352 с.

3.Анищенко В.С. Знакомство  с нелинейной динамикой: Лекции  соровского профессора. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 144 с.

4.Андронов А.А., Леонтович  Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория  бифуркаций динаических систем  на плоскости. – М.: Наука, 1967. 488 с.

5. Малинецкий Г.Г., Потапов  А.Б. Современные проблемы нелинейной  динамики. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. 336 с.

6.Чуличков  А.И. Математические  модели нелинейной динамики. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.-296 с.