Загальна задача інтерполювання алгебраїчними поліномами

                                                      (25)

Знайдемо аналітичний вираз для функції

         ₍₂₆₎

Оскільки  многочлен -го степеня, то -а похідна від нього буде рівна нулю. Оскільки многочлен має степінь і коефіцієнт при якому рівний одиниці, то , в результаті цього всього отримаєм

                     ₍₂₇₎

Підставивши сюди точку отримуєм

,        (28)

 

отже, маєм таку формулу

₍₂₉₎

 

На основі формули (29) легко довести той факт, що многочлен рівномірно збігається до функції на відрізку , якщо тільки ціла функція.

В тих випадках, коли інтерполяційна формула Ерміта потрібна нам тільки в цілях інтерполяції, а не для  відшукання аналітичного виразу функції, то наша загальна формула, яку ми отримали не зовсім зручна.

Ми побудували наш многочлен, використовуючи многочлен Лагранжа, попробуєм побудувати наш многочлен  у формі Ньютона у випадку  кратних вузлів. При побудові многочлена у такій формі отримаєм таке поняття  як розділені різниці зі значеннями аргументу, які повторюються.

3. Розділені різниці зі значеннями аргументу, які повторюються.

Для початку згадаєм як визначались розділені різниці  у випадку коли вузли не були кратними. Нехай в нас є деяка система вузлів інтерполяії

, при чому    для , а також деяка функція . Побудуємо відношення вигляду:

…………………………

 

, , … , називають розділеними різницями 1-го порядку.

Побудуємо тепер такі відношення:

………………………………………………….

 

, , називають розділеними різницями 2-го порядку . Відповідно якщо за таким правилом ми найшли розділені різниці k-го порядку , то розділені різниці -го порядку будуть виглядати так:

,

де  .

Тепер розглянемо випадок  кратних вузлів. В даному випадку розділена різниця, наприклад, (n+1)-го порядку буде позначатись наступним чином:

Попереднє правило для обчислення різниць у випадку з кратними вузлами не підійде, так як будуть з’являтись різниці вигляду:

,

а це означає що обов’язково будем отримувати відношення вигляду ,

відповідно щоб уникнути цього зробим деяку заміну і перейдем до границі таким чином:

(30)

 

 

Для того щоб така границя існувала потрібно щоб функція володіла деякими додатковими властивостями, наприклад, згідно нашому висловлюванню:

,

Відповідно ми повинні  припускати, що існує похідна  . Тому в подальшому ми будемо припускати існування і неперервність всіх похідних від функції , які будуть нам зустрічатись.

Для того щоб надалі досліджувати розділені різниці зі значеннями аргументу, які повторюються використаєм деякі позначення для простих розділених різниць, наприклад останні подаються у вигляді відношення двох визначників, а саме:

      (31)

Для спрощення запису будемо позначати визначник, який стоїть в  знаменнику через  , а визначник який стоїть у чисельнику позначим , тоді наша різниця зі значеннями аргументу, які повторються буде виглядати так:

Отже, нам потрібно знайти границю такого відношення

при .

Безпосередня підстановка  нічого не дасть, так як чисельник і знаменник перетворяться в нуль. Спробуємо скористатись правилом Лопіталя – Бернуллі знаходження границь. Після диференціювання чисельника та знаменника по та заміни на , другий рядок чисельника буде мати вигляд:

,

а другий рядок знаменника:

Через тут позначено . Інші строки чисельника та знаменника не зміняться. Спрямуєм тепер до і відповідно знову застосуєм правело Лопіталя - Бернуллі. Після диференціювання чисельника і знаменника по і замінивши його на , отримаєм ситуацію, при якій друга і третя строки будуть співпадати і дорівнюватимуть відповідно:

  та _,

тому продиференціюєм  чисельник і знаменник двічі  і аж потім замінем  на . В результаті третя строка чисельника буде рівна:

,

а третя строка знаменника:

Продовжим цей процес далі аж поки не переберем всі 

При цьому перші  строк визначника, який стоїть в чисельнику будуть однакові, і дорівнюватимуть

В знаменнику буде аналогічна ситуація і перші  строк там теж будуть рівні і будуть рівні

Після цього проведем аналогічні операції з  потім з і так далі аж до того поки не переберем усі . Легко зрозуміти яким буде вигляд наших визначників після зроблених нами операцій.

Тепер спробуєм довести, що ні один з отриманих нами визначників не перетвориться в нуль.

Відомим фактом є те що

Винесем звідси множники, які  містять  , отримаєм

Таким чином похідна знаменника по при буде рівна

Тепер винесемо задужки множники, які містять  , відповідно отримаєм

Друга похідна по від отриманого виразу при буде дорівнювати

Аналогічним чином знаходим, що третя похідна від цього  виразу по при буде рівна

Будемо продовжувати даний  процес до тих пір поки не переберем  усі  . В кінцевому результаті будемо мати

Перейдем тепер до диференціювання по , винисемо із останнього множника попереднього виразу :

Тепер отриманий вираз  продиференціюєм по , а після цього підставим замість і отримаєм:

Тепер винесимо з останнього виразу множники різниці  і , потім два рази продиференціюєм по і зробим заміну . Після таких дій матимемо

Процес будем продовжувати до тих пір поки не переберем всі  . В кінці кінців отримаємо

Тепер будем диференціювати отриманий  вираз по по і так далі, закінчуючи диференціювання на . В результаті вихідний визначник  буде  мати наступний вигляд:

і якщо взяти до уваги  те що

,

то

Як бачимо при наших  припущеннях про  і ні один із отриманих таким чином визначників не пертворюється в нуль у вузлах інтерполяції. Таким чином наше визначення розділених різниць зі значеннями аргументу, які повторюються є справедливим і ці різниці можна обчислювати тим способом, який тут наведений.

Розглянем різницю такого вигляду  . Тепер покажемо як буде виглядати дана різниця у вигляді відношення двох визначників:

 

 

 

(32)

 

 

 

Отримані нами вирази для  розділених різниць зі значеннями аргументу, які повторюються є дуже громіздкими і на практиці застосовувати дані формули є дуже важко і не зручно. Спробуєм перенести на них способи обчислення розділених різниць через різниці нижчих порядків. Нехай нам потрібно обчислити таку різницю:

Припустимо що ми вже обчислили  розділені різниці нижчого порядку  і їх значення є відомими. Також  будем припускати, що під знаком розділених різниць існують хоча б два різних аргумента, нехай  хоча б  , тому що для випадку, коли всі значення аргументів співпадають ми вивели зручну формулу.

 

 

для ,

але

Тепер перейдемо до границі  при  в обох частинах рівності, отримаєм:

 

(33)

 

 

На підставі всього вище сказаного випливає простий спосіб обчислення розділених різниць зі значеннями аргументу, які повторюються за рахунок використання таблиць. Для цього записуєм у перший стовпець усі вузли інтерполювання при чому кожен вузол записуєм скільки разів стільки значень функції і її похідних у ньому задано. У другий стовпець записуєм відповідні значення функції у вузлах інтерполювання (саме функції, а не її похідні). Третій стовпець заповнюєм розділеними різницями першого порядку наступним чином:

а) якщо значення аргументів для яких шукається розділена  різниця не співпадають, то використовуєм  те саме правело, що і для простих  розділених різниць.

б) якщо значення аргументів для яких шукається розділена  різниця співпадають, то записуєм сюди значення першої похідної у одній  із цих точок  .

Четвертий стовпець заповнюєм  розділеними різницями другого порядку так:

а) якщо значення аргументів для яких шукається розділена  різниця не співпадають, то використовуєм  те саме правело, що і для простих  розділених різниць.

б) якщо значення аргументів для яких шукається розділена  різниця співпадають, то записуєм сюди значення другої похідної у одній  із цих точок розділене на 2!.

Відповідно n-ий стовпець заповнюєм так:

а) якщо значення аргументів для яких шукається розділена  різниця не співпадають, то використовуєм  те саме правело, що і для простих  розділених різниць.

б) якщо значення аргументів для яких шукається розділена  різниця співпадають, то записуєм сюди значення (n-2)-ої похідної у одній із цих точок розділене на (n-2)!.

Відповідно таким чином  ми зможем заповнити всю таблицю .

 

Приклад 1

Нехай значення функції і її похідних задані в точках 1,2,3 таблично:

x	1	2	3
y	2	5	3
	3	2	8
		1

 

Побудувати таблицю розділених різниць зі значеннями аргументів, які повторюються.

 

 

 

 

 

Таблиця розділених різниць буде виглядати наступним чином:

x	y	1 розд. різниця	2 розд. різниця	3 розд. різниця	4 розд. різниця	5 розд. різниця	6 розд. різниця
1   1   2   2   2   3   3	2   2   5   5   5   3   3	3   3   2   2   -2   8	0   -1   0,5   -4   10	-1   1,5   -4,5   14	2,5   -3   18,5	-2,75   10,75	6,75