Задачи, решаемые с помощью симметрических многочленов

z⁵+1/z⁵=σ⁵-5σ³+5σ,

z⁶+1/z⁶=σ⁶-6σ⁴+9σ²-2,

z⁷+1/z⁷=σ⁷-7σ⁵+14σ³-7σ,

z⁸+1/z⁸=σ⁸-8σ⁶+20σ⁴-16σ²+2,

z⁹+1/z⁹=σ⁹-9σ⁷+27σ⁵-30σ³+9σ,

z¹⁰+1/z¹⁰=σ¹⁰-10σ⁸+35σ⁶-50σ⁴+25σ²-2,

…………………………………………

     Степень возвратного многочлена, а значит и уравнения, определяется как самая  высокая степень при одном одночлене всего многочлена. Для многочлена (уравнения) нечетной степени сначала проводится деление на z+1 (согласно теореме о возвратных многочленах нечетной степени), а затем уже заменяется выражениями от z. 

2.1.1.Уравнения высших степеней (возвратные) 

Задача: Решить уравнение 12z⁴-16z³-11z²-16z+12=0.

Решение: Это уравнение имеет в левой части возвратный многочлен, т.е. является возвратным и имеет четную степень 4. Преобразуем его левую часть:

12z⁴-16z³-11z²-16z +12 = z²(12z²-16z-11-16*1/z+12*1/z²) =

= z²[12(z²+1/z²)-16(z+1/z)-11] = z²[12(σ²-2)-16σ-11]=z²(12σ²-16σ - 35).

Так как  z=0  не является корнем исходного уравнения,  то мы приходим к квадратному уравнению относительно σ:12σ²-16σ-35=0.

Решим его.

Д=b²-4ac=16²-4*12*(-35)=256+1680=1936.

σ₁= (-b+√Д)/2a = (16+44)/2*12=60/24=5/2.

σ₂ = (-b - √Д)/2a= (16- 44)/2*12= -28/24= -7/6.

Таким образом, для нахождения  корней первоначального уравнения мы    получаем две системы:  z+ 1/z= -7/6, z+1/z= 5/2.

Решая их, получаем четыре корня исходного уравнения:

z_{1, 2}= (- 7±i√95)/12, z₃=2, z₄=½

Ответ: (- 7+i√95)/12; (- 7 - i√95)/12; 2; ½.

Задача 2: Решить уравнение

4z¹¹+4z¹⁰-21z⁹-21z⁸+17z⁷+17z⁶+17z⁵+17z⁴-21z³-21z²+4z+4=0.

Решение: Это возвратное уравнение нечетной степени 11.

Согласно теореме  разделим его левую часть на z+1:

4z¹¹+4z¹⁰-21z⁹-21z⁸+17z⁷+17z⁶+17z⁵+17z⁴-21z³-21z²+4z+4=  

= (z+1) (4z¹⁰-21z⁸+17z⁶+17z⁴-21z²+4).

Таким образом, мы получили два уравнения(т.е. систему уравнений):

   z+1 = 0,

    4z¹⁰-21z⁸+17z⁶+17z⁴-21z²+4=0.

Первое  имеет корень z₁= -1. Второе - представляет собой возвратное уравнение, левую часть которого мы преобразуем:

4z¹⁰-21z⁸+17z⁶+17z⁴-21z²+4=z⁵(4z⁵-21z³+17z+17*1/z – 21*1/z³+4*1/z⁵)=

= z⁵[4(z⁵+1/z⁵) - 21(z³+1/z³)+17(z+1/z)]=z⁵[4(σ⁵-5σ³+5σ) - 21(σ³-3σ)+17σ]=

=z⁵(4σ⁵ – 41σ³+100σ).

Так как  z=0 не является корнем исходного уравнения, то мы приходим к следующему уравнению:

4σ⁵ – 41σ³+100σ = 0.

Вынесем σ за скобки:

  σ (4σ⁴ – 41σ²+100) = 0.

σ =0 или 4σ⁴ – 41σ²+ 100 = 0. Решим биквадратное уравнение, заменяя

  σ² = t, σ= ± √t,

4t² – 41t + 100 = 0.

  Д=b²-4ac= (-41)²- 4 * 4 * 100 = 1681 – 1600 = 81

  t_{1, 2} = (-b ± √Д)/2a= (41±√81)/2*4 = (41±9)/8;

    t₁ = 50/8 = 25/4,

    t₂ = 32/8 = 4.

  σ_{1, 2} = ± √25/4 =  ± 5/2, σ_{3, 4} = ± √4 = ± 2.

Итак, мы получили пять корней:

  σ=0, σ= 5/2, σ= -5/2, σ=2, σ= -2;

Следовательно, мы имеем пять уравнений:

z+1/z=0,              z+1/z= -5/2,            z+1/z= 5/2,      z+1/z= 2,         z+1/z= - 2.

Решая их и учитывая корень z₁ = - 1, получим одиннадцать корней исходного уравнения:

z₁= -1,               z₂=i,                z₃= -i,                       z₄= -2,                    z₅= -½,                                                        z₆=2,    z₇=½,                      z₈=z₉= -1,                z₁₀=z₁₁=1.

Ответ: - i, -2, -1, -½, ½, 1, 2, i.  

2.1.2. Задания, связанные с квадратными уравнениями 

Задание: Составить квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней заданного уравнения x²+6x+10  =0.

Решение: Пусть x₁, x₂ - корни исходного уравнения,  y₁, y₂ - корни искомого уравнения, а p и q – коэффициенты искомого уравнения.

По теореме  Виета:

сумма корней первого  уравнения:

x₁+x₂=σ₁= -b = -6,

а произведение этих корней:

x₁x₂= σ₂ =c=10.

Аналогично, сумма  корней второго уравнения:

y₁+y₂= -p,

а произведение этих корней:

y₁y = q.

По условию  мы имеем:

y₁ = x₁², y₂ =  x₂².

Поэтому p= -(y₁+y₂)= -(x₁²+x₂²) = -S₂ = -(σ₁²- 2σ₂)= -16 и q=y₁y₂ = x₁²x₂² =σ₂²= 100.

Таким образом, искомое уравнение имеет вид: y² - 16y + 100 = 0.

Ответ: y²-16y+100 = 0. 

2.1.3. Иррациональные уравнения 

Задача: Решить иррациональное уравнение ⁴√97 – x  + ⁴√x  = 5.

Решение: Положим ⁴√x = y,  ⁴√97 – x  = z. Тогда исходное уравнение имеет вид: y + z = 5.

Кроме того, мы имеем:

y⁴ + z⁴ = x+ (97 – x) = 97.

Таким образом, мы получили систему уравнений

     y+z=5,

     y⁴ + z⁴ = 97.

Введем  новые неизвестные σ₁ = x+y, σ₂ = xy. Теперь мы имеем систему    уравнений:

     σ₁ = 5,

     σ₁ – 4σ₁²σ₂ +2σ₂² = 97.

из которой  мы получаем для  σ₂ квадратное уравнение:

σ₂² – 50σ₂ +264 = 0.

Решим его. Пусть  σ₂ = t,  t₂ – 50t  + 264 = 0.

По теореме  Виета получаем

  t₁ +t₂ = 50,

  t₁ t₂  = 264. 

   t₁ = 6,

    t₂ = 44.

Так что σ₂ = 6 и σ₂ = 44. Мы получили две системы уравнений:

    σ₁ = 5,                                      σ₁ = 5,

    σ₂ = 6;                                     σ₂  =  44.                                    

Или:

     y+z = 5,                                y+z = 5,

     yz = 6;                                     yz = 44.

Первая система  имеет два решения:

      y₁ = 2,                               y₂  = 3,

      z₁ = 3;                                    z₂  = 2.

Но y=⁴√x     , и, следовательно, для первоначального x есть два решения:

x₁ =  16, x₂ = 81.

Вторая  система дает для y и z (значит, и для x) еще два решения, правда комплексные, а для иррациональных уравнений берутся лишь действительные значения.

Ответ: 16, 81.  

2.2 Неравенства и  тождества 

     Метод симметрических многочленов также  с успехом применяется для доказательства многих неравенств (от двух, трех   и   более            переменных). Главным образом используются степенные суммы и следующая теорема.

Теорема: Пусть σ₁ и σ₂ – действительные числа. Для того, чтобы оба числа x, y,определяемые из системы уравнений

 x + y = σ₁,

  xy = σ₂,

были  действительными, необходимо и достаточно, чтобы σ₁ ,σ₂ удовлетворяли неравенству σ₁² – 4σ₂ ≥ 0. Равенство σ₁² =4σ₂ достигается лишь в случае, если x = y. Для того чтобы оба числа x, y были действительными и неотрицательными, необходимо и достаточно, чтобы числа σ₁, σ₂ удовлетворяли неравенствам σ₁² – 4σ₂ ≥ 0, σ₁ ≥0, σ₂ ≥0. (Теорема приводится без доказательства).

   Для неравенств от двух переменных метод симметрических многочленов применяется так:

- заменяют симметрический многочлен f(x,y) его выражением через σ₁ и σ₂;

- заменяют σ₂ выражением через σ₁ и неотрицательную величину z= σ₁² – 4σ₂, т.е. подставляют σ₂ = ¼ ( σ₁² – z);

- получают многочлен от σ₁ и z, и в зависимости от условия доказывают то, что нужно доказать (решить). Как правило, сделать это в отношении исходного неравенства значительно сложнее, для чего и применяется метод симметрических многочленов;

- иногда заменяют σ₁² его выражением через σ₁ и z, т.е. σ₁²= z + 4σ₂.

       Для любых действительных чисел  x, y, z, справедливо      неравенство         σ₁² ≥ 3σ₂; равенство достигается лишь при x=y=z.