Законы распределения вероятностей случайных величин

              (29)

В данном случае вероятность  отказа в течение промежутка времени  (рис. 2, б) зависит не только от продолжительности промежутка, но и от того, где он расположен. На начальных участках кривой вероятность отказа велика, а с увеличением времени работы эта вероятность снижается. Однако надо помнить, что при увеличении времени работы вероятность того, что произойдет отказ, растет, а снижается лишь вероятность того, что отказ произойдет в промежутке  Найдем вероятность отказа за время от момента включения 0 до момента, численно равного параметру Т₀. Для этого подставим в формулу (29) t = T₀:

 

 

Следовательно, за время, численно равное Т₀ от момента включения, вероятность отказа составляет 0,63. Вероятность безотказной работы в этом случае равна: 1 —0,63 = 0,37.

Уточним физический смысл Т₀. Для этого найдем математическое ожидание по формуле

                                (30)

Произведя интегрирование, получим

 

Таким образом, Т₀ представляет собой математическое ожидание времени до наступления отказа. Математическое ожидание — это среднее время безотказной работы устройства в промежутке между двумя

отказами, или средняя  наработка на отказ. Очевидно, что  , где λ — интенсивность внезапных отказов, причем . Найдем дисперсию времени безотказной работы

                 (31)

Произведя интегрирование, получим

                                                               (32)                                                             

Среднее квадратическое отклонение при этом составит

                                                               (33)                             

Следовательно,

                                                            (34)

Это равенство, в частности, является характерным признаком экспоненциального распределения. На рис. 3 представлен график экспоненциального распределения надежности. Время t = 0 означает начало рассматриваемого периода, а не тот календарный нуль времени, когда устройство впервые вступит в действие. Из графика следует, что время неограниченно, что якобы не имеет смысла. Однако, если учитываются только внезапные отказы, то вероятность отказа станет равной единице только при неограниченной продолжительности работы. Итак, вероятность безотказной работы устройства равна нулю только для бесконечно большого значения t. Износ и старение при этом во внимание не принимаются.

Рассмотрим примеры применения экспоненциального распределения. Из формулы надежности устройства

 

видно, что надежность устройства резко снижается с увеличением  отношения . Например, при

Для устройства с 1000-часовым периодом нормальной эксплуатации и постоянной интенсивностью отказов X = 0,0001 в 1 ч требуется:

1. Определить надежность данного устройства для любых 10 ч работы периода нормальной эксплуатации:

.

2. Определить надежность устройства за период нормальной эксплуатации:

.

Таким образом, устройство с 90%-ной уверенностью безотказно проработает 1000 ч отсчитываемых от того момента, когда оно впервые вводится в действие. Но если устройство уже работало безотказно 990 ч периода нормальной эксплуатации, то вероятность проработать безотказно последние 10 ч периода нормальной эксплуатации (от 990 до 1000 ч) снова равна 0,999.

§ 4. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Нормальный закон —  один из наиболее простых. Многие другие законы распределения при соответствующих ограничениях сводятся к нормальному закону. В теории надежности нормальный закон используют для оценки распределения времени безотказной работы узлов и деталей, для которых характерны отказы, происходящие вследствие износа и старения. Отказы, вызываемые коррозией («коррозионный износ»), могут отвечать условиям возникновения нормального распределения.

.    (35)

В целях сокращения записи здесь и в дальнейшем будем  обозначать математическое ожидание через М, а среднее квадратическое

 

отклонение через σ. Функцию распределения, т. е. вероятность того, что X < х, найдем по общему правилу как площадь под соответствующим участком кривой распределения:

.

Функция f(x) достигает максимального значения

 при ,

т. е. при х = М.

Таким образом, математическое ожидание — это такое значение случайной величины, при которой плотность распределения максимальна.

Графики функций f(x) и F (х) показаны на рис. 4. На склонах кривой распределения значения f(x) малы. Это объясняется тем, что функция распределения на этих участках меняется медленно, т. е. вероятность попадания случайной переменной на указанные участки мала. В точке х = М скорость изменения функции распределения достигает максимального значения. Очевидно, что при больших значениях математического ожидания кривая распределения располагается правее оси х. Величина среднего квадратического отклонения σ влияет на величину максимума функции f(x).

Кроме того, чем больше σ, тем более широкой делается кривая распределения, потому что σ характеризует рассеяние (рис. 5, а).

При рассмотрении графиков f(x) и видно, что вероятность попадания случайной величины на тот или иной участок непостоянна, причем неравномерность особенно проявляется при малых значениях

 

 

среднего квадратического отклонения. Вероятность отказа за время в общем виде

     (36)

т. е. она равна площади  под соответствующим участком кривой распределения.

Пользуясь формулой (36), напишем выражение для вероятности попадания случайной величины, подчиненной закону нормального распределения, на заданный участок (рис. 6)

   (37)

Интегрирование может  быть произведено применением функции  Лапласа

 (38)

В нашем случае

 

       (39)

Значения Ф(х) приведены в таблице [11]. Функция Лапласа является нечетной, т. е.

      (40)

Можно показать [11], что вероятность  попадания случайной величины на участок , вычисленная с помощью функции Лапласа, имеет вид

    (41)

С помощью выражения (41) и таблицы [11] Ф(х) можно определить вероятность попадания случайной величины на участок, ограниченный значениями σ, отложенными по обе стороны от М, т. е.

 

    (42)

Нормальному распределению  подчиняются и случайные ошибки, возникающие при различного рода измерениях. Поэтому полученный результат свидетельствует, в частности, о том, что 68% ошибок не превышает величины средней квадрати-ческой ошибки.

Применительно  к  случайной  величине — времени безотказной работы (т. е. времени до наступления отказа) — плотность нормального распределения имеет следующий вид:

      (43)

Здесь Т₀ — математическое ожидание времени до наступления отказа, т. е. среднее время исправной работы. Вероятность того, что отказ произойдет за время до некоторого момента t,

    (44)

На основании формулы (44) можно показать, что

 

     (45)

Например, вероятность отказа до момента t = Т₀

(46)

Действительно, ввиду симметрии  кривой нормального распределения  половина отказов произойдет до оси  симметрии, а вторая половина — после. Наибольшее количество отказов наступает  вблизи оси симметрии; например, в пределах от Т₀ — σ до Т₀ + σ наступает 68% отказов.

Нормальное распределение  задает вариации случайной величины в пределах от — ∞ до + ∞. Наработка — положительная величина, а при нормальном распределении случайная величина может принимать и отрицательные значения. Однако если у нормального распределения коэффициент вариации мал, то вероятность получения отрицательных значений настолько мала, что ею можно пренебречь. Коэффициент вариации определяется из отношения среднего квадратического отклонения к наработке на отказ по формуле

.       (47)

Значения σ и Т₀ определяются из опытных данных. Обычно для

нормального распределения .

Следует отметить, что нормальное распределение возникает лишь тогда, когда есть основание рассматривать  изучаемую величину как сумму многих независимых случайных величин, влияние каждой из которых на эту сумму практически ничтожно.

 

§ 5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИ-НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

У многих невосстанавливаемых изделий наработка на отказ имеет логарифмически-нормальное распределение. К таким изделиям относятся те, у которых отказ наступает вследствие усталостного разрушения. В ряде случаев время восстановления подчиняется логарифмически-нормальному распределению.

При нормальном законе распределения  все рассеивание случайных величин  наработок до отказа практически (с  точностью до долей процента) укладывается на участке 3σ по обе стороны от математического ожидания Т₀ (рис. 7). В математической статистике часто используют «правило трех сигм». В соответствии с этим правилом пренебрегают отклонением случайной величины от среднего значения свыше Зσ.

В тех случаях, когда М < Зσ, нормальное распределение преобразуется в логарифмически-нормальное.   Последнее обладает тем преимуществом, что принимает при t = 0 значение f(t)=0. Плотность логарифмически-нормального распределения имеет вид

    (48)

При этом следует рассматривать как нормально распределенную величину.

§ 6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЙБУЛЛА

Для многих невосстанавливаемых  изделий наработка до отказа имеет  распределение Вейбулла. К этим изделиям относятся, например, подшипники качения и другие изделия, отказ которых наступает вследствие

усталостного разрушения. Плотность распределения и функция надежности для распределения Вейбулла имеют вид

    (49)

      (50)

В этих формулах α и С — параметры распределения. На рис. 8 показаны графики интенсивности, плотности вероятности и вероятности безотказной работы. α = 1 распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное.

При α > 1 функция надежности Р (t) применима для элементов, у которых быстро наступает износ.

При α< 1 функция надежности применима для элементов, у которых часто встречаются скрытые дефекты, а износ длительное время не наступает.

В уравнении для Р (t) (50) параметр распределения С является наработкой, отвечающей вероятности безотказной работы.

При t = С получим Р (С) = ехр (—1) = 0,368 (в этом случае независимо от величины параметра α).

Параметр α определяет собой форму распределения.

§ 7. ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Если наработка на отказ  элементов невосстанавливаемого изделия  имеет экспоненциальное распределение, то система в целом подчиняется гамма-распределению. Кроме того, если поток отказов у восстанавливаемого изделия простейший, то наработка между несмежными отказами (например, через один отказ) подчиняется гамма-распределению. Часто время восстановления (ремонт изделия) подчиняется гамма-распределению. Этот вид распределения может наблюдаться у механических систем на переходных  стадиях рабочего процесса. Отказы, образующиеся под влиянием коррозии («коррозионный износ»), отвечают условиям возникновения гамма-распределения.

Функция плотности вероятности  для гамма-распределения определяется- следующим выражением:

.      (51)

 

 

Математическое ожидание этой функции рассчитываем по формулам

 

 

т. е.

       (52)

       (53)

Определим дисперсию

 

т. е.

 

Следовательно, гамма-распределение  полностью определяется двумя параметрами Ти. Функцию надежности для гамма-распределения находим так:

 

     (54)

На рис. 9 представлены зависимости для гамма-распределения.

 

§ 8. БИНОМИНАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Распределение случайной  величины называется биноминальным, если она может принимать целые  положительные значения О, 1, 2,... . , n с вероятностями

     (55)

где , — вероятность того, что случайная величина принимает значение (О, 1, 2, ... , п); — биноминальный коэффициент,

      (56)

q — параметр распределения, величина которого находится в пределах от 0 до 1.

Если испытывается надежность группы невосстанавливаемых изделий в течение фиксированной наработки, то для определения т — числа отказавших изделий — применяют биноминальное распределение. Обозначив q — вероятность отказа изделия во время испытаний, можно записать равенство

       (57)

Используя формулу бинома Ньютона, получим

     (58)

или

   (59)

Здесь каждое слагаемое представляет определенную вероятность.

Например, если производят выборку n элементов из большой совокупности, которая содержит 90% хороших и 10% дефектных элементов, то вероятность выборки одного хорошего элемента р = 0,9, а вероятность выборки дефектного элемента q = 0,1, потому р + q=0,9 + 0,1 = 1.

Если испытание состоит  в выборе 10 элементов, т. е. n = 10, то вероятность того, что все 10 элементов окажутся хорошими, равна = (0,9)¹⁰, а вероятность

 

означает, что 9 элементов  в выборке окажутся хорошими, а  один окажется дефектным и т. д.; вероятность  = (0,1)¹⁰ означает, что все 10 элементов окажутся дефектными.

При больших значениях n биноминальное распределение становится близким к нормальному. Однако непосредственно использовать биноминальное распределение для расчетов вероятности в заданный промежуток времени нельзя, так как нелегко подсчитать общее число событий с благоприятными и неблагоприятными исходами. В этом случае прибегают к распределению Пуассона. Свойство этого закона выражать биноминальное распределение при больших n и малой вероятности событий в статистике называют законом редких явлений.

 

§ 9. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА

Если у восстанавливаемого изделия поток отказов простейший, то для определения случайного числа  отказов изделия в течение  фиксированной наработки применяется распределение Пуассона.