Законы распределения вероятностей случайных величин

Под потоком событий понимают последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени. Простейший поток событий называют пуассоновским, поскольку при соблюдении определенных условий число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени, будет распределено по закону Пуассона [11].

Случайное число отказов  восстанавливаемого изделия в течение  периода приработки приближенно  подчиняется распределению Пуассона. В ряде случаев распределение Пуассона применяется как удобное приближение к биноминальному распределению. Используем основание натурального логарифма для получения выражения, эквивалентного Это эквивалентное выражение получается с помощью тождества

 

Разложим  в ряд

 

тогда очевидно

    (60)

Если принять, что х — среднее число появлений события A, то слагаемые в формуле (60) представляют собой определенные вероятности. Например, означает вероятность того, что событие не произойдет; — вероятность того, что произойдет одно событие;

 означает вероятность  двух событий и т. д.

Для расчетов необходимо знать  величину х. Например, полагая — среднее число отказов за время t, где — среднее число отказов в единицу времени (интенсивность отказов), получим вероятность безотказной работы за время t

      (61)

Для вероятности того, что  за время t произойдет точно один отказ, получаем

      (62)

Вероятность того, что за то время t произойдет точно два отказа,

 

     (63)

Сумму называют отказом (ненадежностью); она является вероятностью того, что за время t произойдет один или более чем один отказ.

Поскольку , то

    (64)

Следовательно, зная величину интенсивности отказов  λ, можно рассчитать вероятность отсутствия отказов изделия или надежность его, а также вероятность отказа (ненадежность) для любого момента времени t.

 

§ 10. ПОВТОРЕНИЕ ОПЫТОВ

На практике встречаются  задачи, в которых один и тот  же опыт или аналогичные опыты  повторяются неоднократно. В результате каждого опыта может появиться  или не появиться некоторое событие  A, причем нас интересует не результат каждого отдельного опыта, а общее число появлений события A в результате серии опытов.

Опыты называются независимыми, если вероятность того или иного  исхода каждого из опытов не зависит  от того, какие исходы имели другие опыты. Независимые опыты могут производиться в одинаковых или различных условиях. В первом случае вероятность события A во всех опытах одна и та же. Во втором случае вероятность события A от опыта к опыту меняется. К первому случаю относится частная теорема, а ко второму — общая теорема о повторении опытов.

1. Частная теорема повторения опытов. Предположим, что производится n независимых опытов, в каждом из которых 
может появиться или не появиться некоторое событие A; вероятность 
появления события A в каждом опыте равна р, а вероятность непоявления

q=1—р. Вероятность того, что событие A в этих n 
опытах появится ровно т раз, выражается формулой

      (65)

Так как распределение  вероятности по форме представляет собой члены разложения бинома , оно называется биноминальным распределением.

2. Общая теорема о повторении опытов. 
Производится n независимых опытов, в каждом из которых может

появиться или не появиться некоторое событие A, причем вероятность появления события A в i-ом опыте равна р, а вероятность непоявления  .  Требуется найти вероятность

того, что в результате n опытов событие А появится ровно т раз.

Применяя теорему сложения и теорему умножения для независимых событий, получим

 

      (66)

т. е. искомая вероятность  равна сумме всех возможных произведений, в которые буквы с разными индексами входят т раз, а буквы q с разными индексами n — т раз;

Пример. Рассмотрим два компрессора. Первый компрессор состоит из узлов, второй —из узлов. Каждый из компрессоров работал в течение времени t. За это время каждый из узлов первого компрессора выходил из строя, независимо от других, с вероятностью второго —с вероятностью q₂. Требуется найти вероятность того, что в первом компрессоре выйдет из строя больше узлов, чем во втором. Вероятность события В (в первом компрессоре вышло из строя больше узлов, чем во втором) находим по формуле полной вероятности с гипотезами (в первом компрессоре вышло из строя i узлов; i = 1, 2, 3, ... , ). Согласно биноминальному распределению вероятностей получим

 

 

Здесь .

 

Если , то

 

При условии 

 

 

§ 11. ТЕОРЕМА ГИПОТЕЗ (теорема  Байеса)

Следствием основных теорем вероятности — теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей — является так называемая формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события  A, которое может произойти вместе с одним из событий

 

образующих полную группу несовместимых  событий. Назовем эти события гипотезами. Так как гипотезы образуют полную группу, то событие A может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез:

     (67)

Поскольку гипотезы несовместимы, то и комбинации также несовместимы; применяя к ним теорему сложения, получим

  (68)

Применяя к событию  теорему умножения, получим

     (69)

Выражение (69) называется формулой полной вероятности, где — вероятность гипотезы — условная вероятность события A при этой гипотезе. Условной вероятностью события А при наличии гипотез называется вероятность события A, вычисленная при условии, что событие произошло.

Если до опыта вероятности  гипотез были  , а в результате опыта появилось событие A, то с учетом этого события «новые», т. е. условные вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса:

   (70)

Формула Байеса дает возможность  «пересмотреть» вероятности гипотез  с учетом наблюденного результата опыта. Предположим, что в нашем распоряжении имеется несколько несовместимых  гипотез  для объяснения некоторого явления, причем хотя бы одна из них должна его объяснить. Эти гипотезы проверяются при помощи определенного эксперимента. Перед началом этого эксперимента может быть очень трудно определить вероятности (априорные вероятности) этих гипотез. Экспериментатор приписывает этим гипотезам вероятности, пропорциональные «степени правдоподобия» этих гипотез для него лично (другой экспериментатор может приписать им совершенно другие вероятности!). Целью эксперимента является разумная коррекция этих доопытных вероятностей. Результатом опыта является замена доопытных вероятностей послеопытными (апостериорными), причем вероятности каких-либо гипотез могут существенно уменьшаться или даже совсем выпасть из дальнейших рассмотрений.

Каждый новый эксперимент  можно начинать с априорными вероятностями оставшихся гипотез, пропорциональными их апостериорным вероятностям, полученным в результате предыдущего эксперимента. Таким образом, на основе опыта аккумулируется и меняется наша вера в различные гипотезы, ослабляется доверие к одним из них и усиливается вера в другие. И чем больше накапливается оснований для изменения степени доверия к различным гипотезам, тем меньше остается произвольности в выборе какой-либо гипотезы, т. е. в том, что какой-либо гипотезе заранее приписывается вероятность 1,- а остальным— вероятность 0.

Пример 1. Колонна синтеза аммиака обслуживается двумя компрессорами. Требуется обеспечить безотказную работу колонны синтеза в определенный период времени t. При наличии обоих компрессоров колонна отказывает с вероятностью , при работе только одного из них —с вероятностью , при работе только второго — с вероятностью , при отказе обоих компрессоров — с вероятностью . Первый из компрессоров имеет надежность — второй — . Выход из строя элементов системы компрессоров совершается независимо друг от друга. Требуется определить вероятность безотказной работы колонны синтеза.

Рассмотрим гипотезы: — работают два компрессора; — работает только первый компрессор (второй вышел из строя); — работает только второй компрессор (первый вышел из строя); — оба компрессора вышли из строя. Событие, характеризующее безотказную работу колонны, обозначим A. Вероятности гипотез

 

 

 

 

Условные вероятности  события А при этих гипотезах заданы:

 

 

 

 

По формуле полной вероятности  получим

 

 

Пример 2. Компрессор состоит из двух ступеней: работа каждой ступени необходима для работы компрессора в целом. Надежность первой ступени равна второй—. В результате испытания компрессора в течение времени t обнаружено, что он вышел из строя (отказал). Найти вероятность того, что отказала только первая ступень, а вторая оказалась исправной.

До испытания возможны четыре гипотезы: — обе ступени исправны; — первая ступень отказала, а вторая исправна; — первая ступень исправна, а вторая отказала; —обе ступени отказали. Вероятности гипотез:

 

 

 

 

Наблюдалось событие A — компрессор отказал:

 

Тогда по формуле Байеса получаем

 

 

Пример 3. Предположим, что центрифуги монтируются из высококачественных деталей и из деталей обычного качества. Пусть 40% центрифуг собирается из высококачественных деталей. Если центрифуга собрана из высококачественных деталей, ее надежность за время t равна 0,95; если из деталей обычного качества — ее надежность равна 0,7*. Центрифуга испытывалась в течение времени t и работала безотказно. Найти вероятность того, что она собрана из высококачественных деталей.

При решении возможны две  гипотезы: — центрифуга смонтирована из высококачественных деталей; — центрифуга смонтирована из деталей обычного качества. Вероятность этих гипотез до опыта

 

В результате опыта наблюдено  событие А — центрифуга безотказно проработала время t. Условные вероятности этого события при гипотезе и .

 

 

По формуле Байеса находим  вероятность гипотезы после опыта:

 

§ 12. ПРИНЦИПЫ УСТАНОВЛЕНИЯ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ  ВЕЛИЧИН

 

Рассмотрев законы распределения  случайных величин, мы не затрагивали вопроса о том, на каком основании эти законы устанавливаются. Ответ на этот вопрос вполне определен: законы распределения случайных величин устанавливаются на основе опытных данных. Разработка методов регистрации, описания и анализа статистических экспериментальных данных, получаемых в результате наблюдения массовых случайных явлений, составляет предмет специальной науки — математической статистики.

Предположим, что изучается  некоторая случайная величина, закон  распределения которой в точности не известен, и требуется определить этот закон из опыта или проверить  экспериментально гипотезу о том, что  величина х подчинена тому или иному закону. Для этого над случайной величиной х производят ряд независимых опытов (наблюдений). В каждом из этих опытов случайная величина х принимает определенное значение. Совокупность наблюденных значений данной величины называется простои статистической совокупностью, или простым статистическим рядом.

Поскольку во всяком статистическом распределении имеют место элементы случайности, вызванные тем, что  число наблюдений ограничено, то при обработке статистического материала часто приходится решать вопрос о том, как подобрать для данного статистического ряда теоретическую кривую распределения. Эта задача называется задачей выравнивания (сглаживания) статистических рядов. При выравнивании статистических рядов часто используют специально разработанную систему кривых Пирсона [57].

Допустим, что данное статистическое распределение выровнено с помощью теоретической кривой, характерной для одного из законов распределения. При этом неизбежны некоторые расхождения благодаря случайным обстоятельствам, связанным с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и вызваны тем, что подобранная кривая плохо выравнивает данное статистическое распределение. При решении данного вопроса используют критерии согласия. Один из наиболее часто применяемых критериев согласия — критерий Пирсона.

На практике иногда приходится иметь дело со статистическим материалом весьма ограниченного объема — с  двумя-тремя десятками наблюдений, часто и меньше. Такого ограниченного  материала явно недостаточно для  того, чтобы найти заранее неизвестный  закон распределения случайной величины; но все же этот материал может быть обработан и использован для получения некоторых сведений о случайной величине. Например, на основе ограниченного статистического материала можно определить (хотя бы ориентировочно) важнейшие числовые характеристики случайной величины — математическое ожидание, дисперсию и т. п.

Могут встретиться такие  случаи, когда вид закона распределения  известен заранее, а требуется найти  только некоторые параметры, от которых  он зависит. Например, при нормальном законе распределения требуется  определить два параметра т и σ; если величина распределена по закону Пуассона, то определению подлежит только один его параметр — математическое ожидание. Однако надо иметь в виду, что любое значение искомого параметра, вычисленное на основе ограниченного числа опытов, всегда будет содержать элемент случайности. Для оценки приближенного значения параметра используют методы доверительных интервалов и доверительной вероятности, изучаемые в курсе теории вероятностей [11].