Исследование структуры групп Галуа

     Пусть - расширение Галуа поля и  

     - изоморфизм. Тогда - расширение Галуа поля , 

     Пусть - группа Галуа поля над k. Тогда отображение 

     определяет  гомоморфизм в группу Галуа поля над , обратный к которому задается правилом

     .

     Следовательно, группаизоморфна относительно предыдущего отображения. Мы можем записать это так: 

     или

     ,

     где показатель означает „сопряжение”

     .

     Контравариантности никак нельзя избежать, если мы хотим сохранить правило 

     для композиции отображений  и .

     Пусть, в частности, - промежуточное поле, и - вложение в , предполагаемое продолженным до автоморфизма поля . Тогда . Следовательно, 

     и

     .

     Теорема 3. Пусть - расширение Галуа поля с группой . Пусть - подполе, и . Тогда для нормальности над необходимо и достаточно, чтобы подгруппа была нормальной в . Если нормально над , то отображение ограничения будет гомоморфизмом на группу Галуа поля над , ядро которого есть . Таким образом .

     Доказательство. Пусть нормально над и - его группа Галуа. Отображение ограничения переводит в , и по определению его ядро есть . Следовательно, нормальна в . Кроме того, любой элемент продолжается до вложения К в , которое должно быть автоморфизмом поля , так что отображение ограничения сюръективно. Это доказывает последнее утверждение. Наконец, предположим, что не нормально над . Тогда существует вложение поля в над , которое не является автоморфизмом, т. е. . Продолжим до автоморфизма поля над . Группы Галуа и сопряжены и, принадлежа разным подполям, не могут совпадать. Следовательно, подгруппа не нормальна в .

     Расширение  Галуа называется абелевым (соответственно циклическим), если его группа Галуа абелева (соответственно циклическая).

     Следствие. Пусть - абелево (соответственно циклическое) расширение. Если - промежуточное поле, , то - расширение Галуа над и притом абелево (соответственно циклическое).

     Доказательство. Это вытекает немедленно из того факта, что всякая подгруппа абелевой группы нормальна и всякая факторгруппа абелевой (соответственно циклической) группы абелева (соответственно циклическая).

     Теорема 4. Пусть - расширение Галуа поля , a - произвольное расширение, причем , - подполя некоторого другого поля. Тогда является расширением Галуа над , а - расширением Галуа над . Пусть - группа Галуа поля над и - группа Галуа поля над . Если , то ограничение на лежит в и отображение 

     дает  изоморфизм на группу Галуа поля над .

     Доказательство. Пусть . Ограничение на есть вложение поля над , следовательно, элемент группы , поскольку нормально над . Отображение , очевидно, является гомоморфизмом. Если тождественно, то должно быть тождественно на (так как всякий элемент из может быть выражен как комбинация сумм, произведений и отношений элементов из и ). Следовательно, наш гомоморфизм инъективен. Пусть - его образ. Тогда оставляет неподвижным, и, обратно, если элемент неподвижен относительно , то неподвижен и относительно , откуда и . Поэтому - соответствующее неподвижное поле. Если конечно над или даже если конечно над , то в силу теоремы 2 есть группа Галуа поля над , и теорема в этом случае доказана.

     (В  бесконечном случае нужно еще  добавить замечание, что наше  отображение  непрерывно, откуда вытекает, что его образ замкнут, поскольку компактна.)

     Следствие. Пусть - конечное расширение Галуа и - произвольное расширение поля . Тогда делит .

     Доказательство. Пусть обозначения те же, что и выше. Как мы знаем, порядок группы делит порядок группы , откуда и вытекает наше утверждение.

     Предостережение. Утверждение следствия, как правило, неверно, если не является расширением Галуа над . Например, пусть - вещественный кубический корень из , - кубический корень из , не равный , скажем

     ,

     и пусть . Рассмотрим . Так как - комплексная величина, а - вещественная, то . Положим . Тогда будет подполем в , степень которого над делит число . Следовательно, эта степень есть или и, значит, должна быть равна , поскольку . Но 

     Следовательно, имеет степень над .

     Теорема 5. Пусть и - расширения Галуа над полем с группами Галуа и соответственно. Предположим, что и - подполя некоторого поля. Тогда - расширение Галуа над . Пусть - его группа Галуа. Отобразим посредством ограничений, а именно

     .

     Это отображение инъективно. Если , то это отображение есть изоморфизм.

     Доказательство. Нормальность и сепарабельность сохраняются при взятии композита двух полей, так что есть расширение Галуа над . Наше отображение, очевидно, является гомоморфизмом в . Если элемент индуцирует тождественные автоморфизмы на и , то он индуцирует тождественный автоморфизм и на их композите, так что наше отображение инъективно. Предположим, что ,. Согласно теореме 4, для заданного элемента найдется элемент из группы Галуа поля над , индуцирующий на Этот элемент заведомо лежит в и индуцирует тождественное отображение на . Следовательно, содержится в образе нашего гомоморфизма (где - единичный элемент группы ). Аналогично содержится в этом образе. Следовательно, их произведение содержится в образе, а их произведение есть в точности . Это доказывает теорему 5.

     Следствие 1. Пусть - расширения Галуа поля с группами Галуа . Предположим, что для каждого . Тогда группа Галуа композита естественным образом изоморфна произведению .

     Следствие 2. Пусть - конечное расширение Галуа поля с группой , причем может быть представлена в виде прямого произведения . Пусть - неподвижное поле группы

     ,

     где группа из одного элемента стоит на -м месте. Тогда - расширение Галуа над и . Кроме того, .

     Доказательство. В силу следствия 1 теоремы 1 композит всех принадлежит пересечению соответствующих групп, состоящему, очевидно, из единицы. Следовательно, композит равен . Каждый прямой множитель группы нормален в , так что - расширение Галуа над . В силу следствия 2 теоремы 1 пересечение нормальных расширений принадлежит произведению соответствующих им групп, откуда ясно, что . 
 

ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ 

      Пусть k – поле, f(X) – многочлен степени ≥ 1 из k[X]  и

f(X) = (X - α₁)…(X- α_n) – его разложение на множители в поле разложения K над k. Пусть G – группа Галуа поля K над k. Мы называем G группой Галуа многочлена f(X) над k. Элементы из G переставляют корни многочлена f. Таким образом, мы имеем инъективный гомоморфизм группы G в симметрическую группу S_n на n элементах. Не всякая перестановка обязательно задается некоторым элементом из G. Ниже рассмотрим примеры. 

      П р и м е р 1. Пусть k – поле и a є k. Если a не является квадратом в k, то многочлен X² - a не имеет корня в k и потому неприводим. Предположим, что char≠2. Тогда многочлен сепарабелен (поскольку a≠0), и если α – некоторый его корень, k(α) – поле разложения, являющееся расширением Галуа. Его группа Галуа – циклическая порядка 2. Выделение полного квадрата показывает, что так описывается всякое квадратичное расширение (для char≠2). 

      П р и м е р 2. Пусть k – поле характеристики ≠ 2 или 3, f(X)=X³+bX+c – многочлен над k. Любой многочлен степени 3 может быть приведен к такому виду посредством выделения полного куба). Если f не имеет корней в k, то f неприводим (любое разложение на множители должно содержать множитель степени 1). Если α – корень многочлена f(X), то [k(α):k] = 3. Пусть K – поле разложения и G – его группа Галуа. Тогда G имеет порядок 3 или 6, поскольку G есть подгруппа симметрической группы S₃. Во втором случае k(α) не будет нормальным над k.

      Имеется простой способ проверить, является ли группа Галуа полной симметрической группой. Рассмотрим дискриминант. Пусть 

     δ = (α₁ – α₂) (α₂ – α₃) (α₁ – α₃) и ∆ = δ²,

где α₁, α₂, α₃ – различные корни многочлена f(X). Если G – группа Галуа и σєG, то σ(δ) = ± δ. Следовательно, σ оставляет ∆ неподвижным. Таким образом, ∆ лежит в основном поле k, а именно, как мы видели,

     ∆ = - 4b³ - 27c².

      Множество тех σ в G, которые оставляют δ неподвижным, совпадает в точности с множеством четных перестановок. Таким образом, G будет симметрической группой тогда и только тогда, когда ∆ не является квадратом в k. Например, рассмотрим многочлен

                   f(X) = X³ – X + 1

над полем  рациональных чисел. Любой рациональный корень должен быть либо 1, либо -1, так  что f(X) неприводим над Q. Дискриминант равен -23 и не является квадратом. Следовательно, группа Галуа – симметрическая группа. Поле разложения содержит подполе степени 2, а именно K(δ) = k(√∆). 

      П р и м е р  3. Рассмотрим многочлен f(X) = X⁴ – 2 над

полем рациональных чисел Q. Он неприводим по критерию Эйзенштейна. Пусть α – вещественный корень и i = √-1. Тогда ± α и ±iα – четыре корня многочлена f(X) и [Q(α):Q] = 4.

Следовательно, полем разложения многочлена f(X) будет K = Q (α, i). Поле Q(α)∩Q(i) имеет степень 1 или 2 над Q. Степень не может быть равна 2, иначе iєQ(α), что невозможно, поскольку корень α вещественный. Следовательно, степень равна 1, i имеет степень 2 над Q(α) и поэтому

[K : Q] = 8. Группа Галуа многочлена f(X) имеет порядок 8.

      Существует  автоморфизм τ поля K, оставляющий Q(α) неподвижным и переводящий i в -i, поскольку K – расширение Галуа над Q(α) степени 2. Имеем τ² = id,

    

Q(α,i) = K

2                       4

Q (α)                     Q(i)

   4                       2  

Q 

      В силу мультипликативности степеней в башнях степени именно таковы, как указано в диаграмме. Таким образом, X⁴ – 2 неприводим над Q(i). Кроме того, K нормально над Q(i). Существует автоморфизм σ поля K над Q(i), отображающий корень α многочлена X⁴ – 2 в корень iα. Немедленно проверяется, что 1, σ, σ², σ³ различны и что σ⁴ = id. Таким образом, σ порождает циклическую группу порядка 4. Обозначим её через <σ>. Так как τ;<σ> и <σ> имеет индекс 2 в G, то G = <σ, τ > порождается элементами σ и τ. Кроме того, непосредственно проверяется, что