Контрольная работа по теории вероятности

Вероятность того,  что случайная  величина    примет  значение,  равное  3,  составляет  .

 

Закон распределения случайной  величины    имеет вид:     . 

 

 

2)   Найдём закон распределения случайной величины  .

 

Разностью (соответственно суммой, произведением) случайных величин   и   называется  случайная величина,  которая принимает все возможные значения  вида    (соответственно  ,  ),  где  ,   ,   с вероятностями   того,  что случайная величина   примет значение ,   а     – значение :  .   Если случайные величины   и   независимы,  то  по теореме умножения вероятностей независимых событий  .

Для удобства нахождения всех значений случайной величины    и их вероятностей  составим вспомогательную таблицу,  в каждой клетке которой поместим в левом верхнем углу значения случайной величины  ,  а в правом нижнем углу  – вероятности этих значений,   полученные  в результате перемножения вероятностей соответствующих значений случайных величин   и   (в нашем случае  случайные величины    и   независимы).

 

			0	3
		0,1	0,4	0,5
	0,3	0,03	0,12	0,15
4	0,7	8   0,07	24   0,28	48   0,35

 

 

Таким образом,   закон распределения  случайной величины     имеет вид:      

 

 

				8	24	48
	0,15	0,12	0,03	0,07	0,28	0,35

 

Убеждаемся  в том,  что  сумма  вероятностей всех возможных исходов  равна  1.

Действительно,   .

 

3)   Проверим свойство математического ожидания  .          Вычислим  математическое ожидание  случайной величины  .

 

			…
			…

Математическое ожидание дискретной случайной величины  ,  закон распределения которой имеет вид      ,   вычисляется по формуле .

 

 

В нашем случае  .

 

Аналогично,    ;

.

 

Значит  ,  то есть выполнено равенство .

 

 

				8	24	48
	0,15	0,12	0,03	0,07	0,28	0,35

 

Ответ:    ;    ;         

 

  .

 

 

 

 

 

Задача № 5  

 

Плотность вероятности  случайной величины    имеет вид: 

 

Найти:   а)  функцию распределения ;

б)  математическое ожидание    и дисперсию ;

в)  вероятность .

Построить графики функций    и .

С помощью неравенства Маркова оценить вероятности того,  что случайная величина   примет значения:     а)  больше  6;    б)  не больше  5/3. 

Найти те же вероятности с помощью функции распределения и объяснить различие результатов.

 

Решение.

 

1. Найдём функцию распределения    случайной величины  .  Для этого воспользуемся формулой   ,  связывающей функцию распределения вероятностей    с плотностью распределения вероятностей   .

 

Для           и   .

 

Для        

 

.        

 

Для        

 

 

.        

 

Следовательно,  функция распределения  случайной величины    имеет вид

 

 

 

2. Математическое ожидание 

 

         

.

 

Дисперсия   .

 

 

         

.

 

Значит  .

 

 

3. Определим вероятность того,  что  случайная величина    примет значение из интервала    с помощью функции распределения вероятностей  :

 

 

.

 

 

4. Построим графики функций     и .

 

 

 

 

График функции     плотности распределения вероятностей  случайной величины  :

 

 

 

 

 

 

										3
										2
										1
		-4		-3		-2		-1		О		1		2		3		4		5			Х

 

 

График функции      распределения вероятностей  случайной величины  :

										3
										2
										1
		-4		-3		-2		-1		О		1		2		3		4		5		Х
										-1
										-2

 

 

5. Воспользуемся неравенством Маркова:  если случайная величина принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание,  то для любого положительного числа    верно неравенство   .  Так как события   и   противоположные,  можно получить другую форму неравенства Маркова:  .

 

а)  Вероятность того,  что  случайная величина   примет значение  больше  6:

.  

 

б)  Вероятность того,  что случайная величина   примет значение  не больше  5/3 .

 

Найдём те же вероятности с помощью функции распределения вероятностей  :

 

;

.

 

Различие результатов обусловлено  тем,  что в первом случае мы получили оценку вероятности с помощью  неравенства Маркова,  а во втором случае вычислили точную вероятность с помощью функции распределения вероятностей.

 

Ответ:            ;   ;       ;  

 

                  ;       ;         ;       .

© ООО «ВЗФЭИ-АРХИВ.РФ», 2010  Страница