Криволинейный интеграл

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Костанайский государственный педагогический институт

Факультет заочного обучения

Кафедра высшей математики

Некоторые приложения криволинейных интегралов второго рода.

Курсовая работа

Научный руководитель:

 

 

 

 

 

 

 

Костанай, 2013 г.

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение  3

Глава 1. Криволинейный интеграл  5

1.1. Исходные понятия криволинейного интеграла второго рода 5

1.2. Приложения криволинейных интегралов  7

1.3. Формула Грина  8

 

Глава 2. Примеры решения задач  13

 

Заключение 21

Список использованных источников 22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Математика является точной абстрактной наукой, изучающей количественные соотношения и пространственные формы.

Точность математики означает, что основным методом в математических исследованиях являются логические рассуждения, а результаты исследований формулируются в строгой логической форме. Абстрактность же математики означает, что объектами ее изучения являются модели (математические). В этих моделях математика изучает соотношения между их элементами, количественные и качественные связи между ними, их форму. Одна и та же математическая модель может описывать с определенным приближением свойства очень далеких друг от друга по своему конкретному содержанию реальных явлений.

Математика неустанно продолжает развиваться, в ней создаются новые методы, появляются новые разделы. Развитие математики в целом определяет уровень ее использования и оказывает существенное влияние на развитие других наук и техники. В свою очередь, задачи практики, прогресс других фундаментальных и прикладных наук приводят к созданию новых направлений математики, стимулируют ту или иную направленность математических исследований, расширяют возможность применения математических методов.

В данной работе будет рассмотрено применение криволинейных интегралов в различных областях наук, в частности физики, механики и т.д.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Криволинейный интеграл второго рода

1.1 Исходные понятия криволинейного  интеграла второго рода

Пусть дана непрерывная кривая (которую мы для простоты предположим незамкнутой) и пусть вдоль нее снова задана некоторая функция Разложив кривую точками на части, выберем на отрезке кривой по произволу точку и вычислим в ней значение функции Но это значение умножим на этот раз не на длину дуги , а на величину проекции этой дуги, скажем, на ось , т.е. на ; затем составим сумму

 

 

Если при стремлении нулю эта сумма имеет конечный предел I, не зависящий ни от способа дробления кривой, ни от выбора точек , то этот предел называется криволинейным интегралом (второго типа) от взятым по кривой или по пути и обозначается символом

 

 

Аналогично, умножая значение и составляя сумму

 

 

как предел ее получим криволинейный интеграл (второго типа) от

 

Если вдоль кривой и существуют интегралы

 

 

то и их сумму называют криволинейным интегралом («общего вида») и полагают

 

Сопоставим теперь определение криволинейного интеграла второго типа с определением криволинейного интеграла первого типа. При очевидном сходстве оба определения имеют существенное различие: в случае интеграла первого типа при составлении интегральной суммы значение функции умножается на длину участка кривой, а в случае интеграла второго типа это значение умножается на проекцию упомянутого участка на ось .

Направление пути , вдоль которого производится интегрирование, не играет роли в случае первого типа, ибо длина от этого направления не зависит. Иначе обстоит дело с интегралом второго типа: проекция упомянутой дуги на ту или другую из осей существенно зависит от направления дуги и меняет знак с изменением этого направления на обратное. Таким образом, для интегралов второго типа будет

 

и, аналогично,

 

 

Причем из существования интегралов справа уже вытекает существование интегралов слева, и обратно.

Подобным же образом можно ввести понятие криволинейного интеграла второго типа, распространенного на пространственную кривую Именно, если функция задана в точках этой кривой, то строим сумму

 

 

и рассматриваем ее предел при условии стремления к нулю этот предел называется криволинейным интегралом (второго типа) от и обозначается символом

 

 

Аналогично определяются интегралы вида

 

 

Наконец, рассматривается и интеграл («общего вида»)

 

Здесь также направление интегрирования меняет знак интеграла.

 

1.2 Приложения криволинейных интегралов

 

Теперь можно перейти непосредственно к приложениям криволинейных интегралов. Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и прикладных расчетах. В частности, рассмотрим геометрические и физические.

Геометрические.

С помощью криволинейных интегралов вычисляются:

Длина кривой

Пусть является гладкой, кусочно-непрерывной кривой, которая описывается вектором Длина данной кривой выражается следующим криволинейным интегралом

 

 

где производная, а -компоненты векторной функции

Если кривая задана в плоскости, то ее длина выражается формулой

 

Если кривая представляет собой график заданной явно, непрерывной и дифференцируемой функции в плоскости O xy,то длина такой кривой вычисляется по формуле

 

 

Наконец, если кривая задана в полярных координатах уравнением и функция является непрерывной и дифференцируемой в интервале , то длина кривой определяется выражением

 

Определение 1. Ориентация контура  называется положительной, если при обходе (соответствующего возрастанию параметра) контура  , область   остается слева (такой обход обычно называется обходом контура против часовой стрелки), в противном случае - отрицательным.

Будем обозначать положительно ориентированный контур  +, а отрицательно ориентированный –  -.

 

1.3 Формула Грина

Пусть в пространстве задан вектор , координаты которого – непрерывные функции в точках ориентированной кривой . Кривую разобьем в направлении от А к В на N элементарных дуг и построим векторы   ,  где , , – проекции вектора на оси координат. Начала этих векторов совпадают с началами элементарных дуг , а концы –  с их концами (рис. 23). На каждой элементарной части  выберем произвольную точку и составим интегральную сумму

 

 

.

Предел этой суммы, найденный при условии, что все , называется криволинейным интегралом второго рода или криволинейным интегралом по координатам от вектор-функции по кривой и обозначается

 

 

Рис. 23

.

Если функции  непрерывны в точках гладкой кривой , то предел интегральной суммы существует, т.е. существует криволинейный интеграл второго рода.

Криволинейные интегралы второго рода обладают основными свойствами определенных интегралов (линейность, аддитивность).

Непосредственно из определения криволинейного интеграла второго рода следует, например, что он зависит от направления интегрирования вдоль кривой, т.е. меняет знак при изменении ориентации кривой:

Если кривая интегрирования L замкнута, криволинейные интегралы второго рода обозначаются .  В этом случае через кривую проводится ориентированная поверхность и за положительное направление обхода по L принимается такое направление, при котором область поверхности, ограниченная кривой L, находится слева, если двигаться вдоль L по выбранной стороне указанной поверхности (т.е. обход контура L совершается против хода часовой стрелки).

 Если плоскую область D, ограниченную кривой L, разбить на части, не имеющие общих внутренних точек и ограниченные замкнутыми кривыми и , то

,

где направление обхода по контурам L, и – всюду либо положительные, либо отрицательные.

Если гладкая кривая задана параметрическими уравнениями , где – непрерывно дифференцируемые функции, и – соответственно начальная и конечная точки этой кривой, то верна следующая формула для вычисления криволинейного интеграла второго рода:

.

Если кривая лежит в плоскости Oxy, , то , и формула упрощается:

Если кривая лежит в плоскости Оху и задана уравнением , производная непрерывна на отрезке , то

Криволинейные интеграл второго рода в случае, когда – сила, под действием которой перемещается тело, определяет работу этой силы на пути . В этом заключается физический смысл криволинейного интеграла второго рода.

Теорема Грина. Если функции и непрерывны и имеют непрерывные частые производные в замкнутой односвязной области , лежащей в плоскости и ограниченной кусочно-гладкой кривой , то

,

где интегрирование по контуру выполняется в положительном направлении.

Формула из теоремы Грина называется формулой Грина.

Если в некоторой области выполнены условия теоремы Грина, то равносильны следующие утверждения:

1. , если – любой замкнутый контур , расположенный в области .
2. Интеграл не зависит от пути интегрирования, соединяющего точки А и В, где .
3. ,

где   полный дифференциал функции .

4. Во всех точках области справедливо равенство

.

Из формулы Грина следует, что площадь области можно также вычислить с помощью криволинейного интеграла второго рода:

,

где  интегрирование   по   контуру   производится   в   положительном

направлении.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Примеры  решения задач

Пример 1. Вычислить

,

где – отрезок прямой, соединяющий точки и .

Решение. Запишем параметрические уравнения прямой АВ: , , . На отрезке . Поэтому,

.

Пример 2. Вычислить

,

если L – кривая пересечения цилиндра с плоскостью , пробегаемая в положительном направлении относительно выбранной верхней стороны данной плоскости.

Решение. Найдем параметрические уравнения кривой L. Так как проекция кривой L на плоскость Oxy есть окружность , , то можно записать, что , . Тогда из уравнения плоскости находим, что . Таким образом,

; ; .

Отсюда имеем:

.

Пример 3. Вычислить

,

если линия дуга параболы , расположенная между точками и .

Решение.

.

Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл

,

если L – дуга параболы от точки до точки .

Решение.

.

Пример 5. Вычислить интеграл

,

где L - четверть окружности , лежащая в первой четверти, пробегаемая против часовой стрелки.

Решение. Из уравнения окружности  выразим y: . Перед корнем следует выбрать знак плюс, так как в первой четверти . Найдем теперь :

.

Учитывая, что интегрирование ведется против часовой стрелки, пределы интегрирования по х будут R и 0. Таким образом,

.

Пример 6. Вычислить работу А силы вдоль отрезка прямой ВС, если и .

Решение. Запишем параметрические уравнения прямой ВС: , , , где . Тогда работа А силы F на пути ВС вычисляется по формуле

.

Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей кривой (рис. 24).

Рис. 24

Решение. Из уравнения кривой получим, что , т.е. кривая симметрична относительно оси и пересекает ее в точках и ; обе функции определены при , а при . Перейдем к параметрическим уравнениям данной кривой, положив . Подставим в уравнение , получим  , , , где для петли .

Следовательно, искомая площадь

.

Пример 8. Вычислить

,

где – окружность , пробегаемая в положительном направлении обхода.

Решение. Для вычисления интеграла воспользуемся формулой Грина:

,

где – круг, определяемый неравенством . Имеем

.

Пример 9. Применяя формулу Грина, показать, что криволинейный интеграл

по любому замкнутому контуру равен нулю.

Решение.

.

Доказать, что данный криволинейный интеграл , вычисленный по замкнутому контуру, равен нулю, можно и не прибегая к формуле Грина. Из равенства  следует, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, а в этом случае криволинейный интеграл по замкнутому контуру, при соблюдении известных условий, равен нулю.

Пример 10. Вычислить, применяя формулу Грина, интеграл

,

где C – окружность , пробегаемая в положительном направлении.

Решение. 

,

 где D – круг, ограниченный окружностью