Линейная производственная задача

     x₃  = 3,        y₃ = 3-3 = 0,  W₃ (3,0) = 3² + 3×3 + 4 + 2×0 + F₂(0) = 22 + 25 = 47*,

Наименьшее  из полученных значений W₂ есть F₃ (0), т.е.

      F₃ (x = y₄ = 1) = min W₃ (x₃,3) = min (62, 54, 49, 47) = 47,

причем минимум достигается при значении х₂, равном` ₃ (x = y₄ = 0) = 3

   Таким образом, мы получили минимальные общие  затраты на производство и хранение продукции = 3 

   Рассмотрим  случай, когда на последнем этапе  планируем выпускать три единицы продукции

       = 3.

   Остальные компоненты оптимального решения найдем по обычным правилам метода динамического программирования. Чтобы найти предпоследнюю компоненту, учтем, что

   х₃ + у₃ - d₃ = y₄

3 + у₃ - 3 = 0,

у₃ = 0.

   Из   таблицы  значений находим  

   Аналогично, продолжая двигаться в обратном направлении и учтя, что

х₂ + у₂ - d₂ = y₃

2 + у₂ - 3 = 0

у₂ = 1.

Из   таблицы  значений находим  

 

6. Матричная  игра как модель конкуренции  и сотрудничества

      1. Пусть игроки – Первый и  Второй, играют в матричную игру  с матрицей  . Пусть стратегия Первого есть , а Второго – . Тогда выигрыш Первого есть случайная величина (с.в.) с рядом распределения:

Математическое  ожидание этой с.в., т.е. есть средний выигрыш Первого. Пусть есть дисперсия этой с.в. Естественно назвать среднее квадратическое отклонение с.в. , т.е. риском для Первого при игре со стратегиями . Поскольку выигрыш Первого есть проигрыш для Второго, то есть случайный проигрыш Второго и вполне естественно можно назвать риском игры с такими стратегиями и для Второго.

      Предположим сначала, что игроки озабочены только максимизацией среднего дохода за партию игры – обычная цель в таких играх. Тогда игроки будут играть со своими оптимальными стратегиями: – Первый игрок и – Второй.

Математическое  ожидание с. в. называется ценой игры, обозначим ее .

     2. Рассмотрим подробно пример матричной  игры с матрицей  . Как известно, общий случай в окрестности оптимальных стратегий игроков сводится к анализу такой игры.

Пусть матрица  игры есть

3. Проведем анализ  матрицы игры на доминирование: 

А _2.4= ; ;

   a_1.2=a_1.3= -2

a_2.2≥a_2.3, т.е 3 ≥ 1, значит 2-ый столбец доминирует над третьим, вычеркиваем его и получаем новую матрицу: 

А`_2.3= ; ;

a_2.1=a_2.3= -2

a_1.1 ≤ a_1.3, т.е 1 ≤ 4, значит 3-ый столбец доминирует над 1-м, вычеркиваем его и получаем новую матрицу:

А``_2.2= ; ;

4. Проведем анализ  матрицы игры на седловую точку:

Вывод: Так как , то в матрице игры нет седловой точки.

5. Так как седловой точки нет, решим задачу графически: 
 

А= .

ν_j(x) – средний выигрыш 1-го в расчете на партию, когда он использует стратегию (х, 1-х), а 2-ой j-ую.

 1.

2.

3.

4.

 

Возьмем на плоскости систему координат, по горизонтали оси вправо х, по вертикали  оси – значения функции ν_j(x). Масштаб по осям выберем разный – ведь нужна только часть графиков – над отрезком [0;1]. Функции ν_j(x), i = 1, 2, 3 – линейные, значит, их графики – прямые линии I, II, III, VI соответственно. Находим нижнюю огибающую семейства четырех прямых над отрезком [0;1]. Это ломаная АВС. Высшая точка В. Она дает решение игры. Ее координаты определяются решением уравнения  ν₁(x) = ν₃(x).

,   

Таким образом, средний выигрыш 1-го при игре обоих игроков с оптимальными стратегиями,  т. е. цена игры равна , а оптимальная стратегия первого игрока

8. Рассмотрим  стратегию 2-ого игрока. Так как  прямые  , находятся выше точки О, то вероятности 2-ой и 4-ой стратегии равны 0, т.е ,

А``_2.2=

3y - 2 = -3y + 1

6y = 3 , т.е получаем :

Оптимальные стратегии  и цена игры равны: ; и

Риски.

   Пусть игроки – Первый и Второй, играют в матричную игру с матрицей . Пусть стратегия Первого есть , а Второго – . Тогда выигрыш Первого есть случайная величина (с.в.) с рядом распределения: 

   Математическое  ожидание этой с.в., т.е. есть средний выигрыш Первого. Пусть есть дисперсия этой с.в. Естественно назвать среднее квадратическое отклонение с.в. , т.е. риском для Первого при игре со стратегиями . Поскольку выигрыш Первого есть проигрыш для Второго, то есть случайный проигрыш Второго и вполне естественно можно назвать риском игры с такими стратегиями и для Второго.

Предположим сначала, что игроки озабочены только максимизацией среднего дохода за партию игры – обычная цель в таких играх. Тогда игроки будут играть со своими оптимальными стратегиями:                          – Первый игрок и – Второй.

   Математическое  ожидание с. в. называется ценой игры, обозначим ее .

   Вычислим  дисперсию выигрыша Первого при  оптимальных стратегиях игроков.

    .

   Так  как , а через сумма обозначена .

Заметим, что в сумме  можно оставить лишь те слагаемые, у которых

   Заметим теперь, что если Первый играет со стратегией , а Второй отвечает -й чистой стратегией, то выигрыш первого есть с.в. с рядом распределения:                     

 

    Если  есть оптимальная стратегия Первого, а , то из теории матричных игр с нулевой суммой известно, что выигрыш Первого при таких стратегиях по-прежнему равен цене игры , а дисперсия выигрыша Первого при этом равна , то есть равна . Таким образом, что происходит с риском выигрыша Первого, можно понять, сравнив дисперсию при оптимальных стратегиях и дисперсию или величины и . Пусть Как легко понять, если среди есть разные числа, то

    Пусть игроки играют в матричную игру со стратегиями P, Q. Тогда выигрыш первого игрока есть случайная величина и ее среднее квадратическое отклонение называется риском игры со стратегиями P, Q и обозначается  . Пусть игроки играют в матричную игру 2х4. В общем случае, второй игрок при своей оптимальной стратегии два столбца выбирать не будет, следовательно, фактически игра свелась к матричной игре 2х2. Обозначим оптимальные стратегии игроков в этой игре через P и Q. Найдем четыре риска , , , и найдем из них наименьший, это значение и называется риском игры.

    Пусть матрица игры есть , цена игры , оптимальные стратегии игроков есть , .

1. Первый и второй игроки играют по оптимальной стратегии:

2. Первый  игрок играет по оптимальной стратегии, а второй по 1-ой чистой (стратегия  игрока от партии к партии остается неизменной):

3. Первый  игрок играет по оптимальной стратегии, а второй игрок - по 2-ой чистой:

4. Первый  игрок играет по 1-ой чистой стратегии, а второй игрок - по оптимальной:

5. Первый  игрок играет по 2-ой чистой стратегии, а второй игрок - по оптимальной:

Минимальное значение можно назвать риском всей игры. Однако с таким риском можно играть лишь при согласии обеих сторон.