Линейное пространство матриц. Элементы матричной алгебры

Теорема. Для всякой невырожденной матрицы А = (a_ij)_m,n  существует единственная обратная матрица, равная,

                    

где А^* - присоединенная матрица, каждый элемент которой есть алгебраическое дополнение элемента  a_ij матрицы А^Т, т.е.

 

     А^*   =  

2-а алгоритма  вычисления обратной матрицы.

Первый алгоритм вычисления обратной матрицы.

1. Находим определитель исходной матрицы А. Если =0, то матрица вырожденная и обратной матрицы А^-1 не существует.
2. Транспонируем исходную матрицу, получим А^Т.
3. Находим алгебраические дополнения элементов матрицы А^Т.
4. Строим присоединённую матрицу А^* к матрице А^Т.
5. Делим каждый элемент матрицы А^* на определитель матрицы – в результате получим обратную матрицу.
6. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы А^-1, исходя из её определения А^-1А = АА^-1 = Е

Второй алгоритм вычисления  А^-1.

Обратную матрицу можно вычислить  на основе следующих элементарных преобразований (преобразований Жордана - Гаусса) над строками (столбцами) матрицы:

1. перемена местами двух строк;
2. умножение строки матрицы на любое число, отличное от нуля;
3. прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на любое число.

Для того, чтобы вычислить обратную матрицу для матрицы А, необходимо составить матрицу В = (А|Е), затем  с помощью элементарных преобразований преобразовать матрицу А к виду единичной матрицы Е, тогда на месте единичной матрицы получим матрицу А^-1.

4. Развернутая и матричная запись системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Матричная алгебра находит широкое применение при решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Так, например, СЛАУ, заданную в развернутом виде:

                                 

 

представим  в матрично-векторном виде: введём матрицу системы А и арифметические векторы – векторы-столбцы Х, В:

А =    X =   B =

 

Тогда СЛАУ в матричной  форме перепишется  в виде:

                                      AX = B

Решение матричной системы представляет собой арифметический вектор:

                                     Х = А^-1В 

Замечание. Рассмотренное только что векторное линейное пространство  в математическом анализе обычно называют координатным (или арифметическим) векторным пространством матриц – строк или матриц – столбцов (n – мерным).

5. Решение системы линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными методом Крамера и методом обратной матрицы.

Рассмотрим решение   системы линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными методом обратной матрицы  и методом Крамера.

Дана    система линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными:

                                               

Перепишем систему в матричном виде: , где

                                          А = ;  Х = ; В =

Определитель  системы  , следовательно,  матрица A невырожденная и существует обратная к ней.  Обратная матрица

Решение СЛАУ методом обратной матрицы:

                           Х = =

                                              

 

Решение СЛАУ методом Крамера:

В соответствии с методом Крамера построим матрицы  , путём последовательной замены 1-го, 2-го и 3-го столбцов матрицы A на столбец свободных членов B.

Матрицы:   

Определители  матриц:

Решение СЛАУ методом Крамера −решение есть отношение определителей матриц и определителя матрицы системы А:

 

 

7. Линейные операторы и матрицы. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов (матриц), алгоритм их нахождения.

Квадратная матрица размерностью (nxn) задаёт  оператор преобразования пространства размерностью n в самого себя. В связи с этим  представляет интерес определение инвариантов этого преобразования, которые имеют определенное экономическое толкование, например, условие бездефицитного обмена  (торговли) между различными странами определяется инвариантным собственным вектором структурной матрицы торговли, принадлежащим собственному значению структурной матрицы торговли  λ = 1. Переходим к определению этих характеристик.

Следующей важнейшими характеристиками матрицы, наряду с определителем, является собственное значение и собственный вектор матрицы.

Построим  определитель | A – λE |, он является многочленом n-й степени относительно λ. Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А, а уравнение относительно λ, получающееся в результате раскрытия определителя | A – λE | и приравнивания его нулю, называется характеристическим уравнением матрицы А.

Таким образом, уравнение  | A – λ E | = 0  есть характеристическим уравнением матрицы А.

 

Определение 4. Собственными значениями  матрицы A называются корни характеристического уравнения матрицы А.

 

Определение 5. Собственным вектором  матрицы A называется ненулевой вектор Х^*, удовлетворяющий уравнению:

 

                                         А·Х^* = λ·Е·Х^*,

где  λ – число, которое называется собственным значением матрицы. Нахождение λ и Х^* сводится к решению матричного уравнения:

 

                               ( А – λЕ ) · Х^* = 0

 

Это уравнение  однородное,  его решение, отличное от тождественно нулевого    существует  тогда и только тогда, когда определитель матрицы   | А – λЕ | = 0.  Запишем  данный определитель в развёрнутом виде:

            

| A – λE | =   =  0

 

Определитель | A – λE | является многочленом n-й степени относительно λ. Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А, а уравнение относительно λ, получающееся в результате раскрытия определителя | A – λE | и приравнивания его нулю, называется характеристическим уравнением матрицы А.

Пример 10. Нахождение  собственных значений и собственных векторов матрицы:

 

            А = ,

Построим  матрицу А – λЕ:

 

А – λЕ = .

Найдем её определитель:

 

| A – λE | = (1 – λ)(4 – λ) + 2 = λ² - 5λ +6  - характеристический многочлен матрицы А.

Приравняем  к нулю характеристический многочлен матрицы A, получим характеристическое уравнение матрицы А:

 

 λ² - 5λ +6 = 0, корни характеристического уравнения:

 

 λ₁ = 2, λ₂ = 3

Итак,  собственные  значения матрицы  А:    λ₁ = 2,    λ₂ = 3 .

Найдем собственные  векторы матрицы А:

 

1. Собственный вектор, соответствующий собственному значению λ₁ = 2.

 

Подставим  λ₁ = 2  в уравнение ( А- λ₁Е)Х^* = 0. В результате имеем:

 

  - х ₁ + 2х₂ = 0

Получили  систему двух одинаковых уравнений (это будет всегда так, поскольку определитель системы был приравнен к нулю для получения нетривиальных решений). Оставляем одно уравнение, оно с двумя неизвестными х₁ и х_{2 ,} следовательно, одна переменная свободная. Пусть это будет х₂.Полагаем  х₂ = 1    х₁ = 2;  Собственный вектор, соответствующий собственному значению λ₁ = 2, есть:

           

                                               Х₁^* = ( 2; 1)

2. Собственный вектор, соответствующий собственному значению λ₁ = 3.

 

Подставим  λ₁ = 3  в уравнение ( А- λ₁Е)Х^* = 0, получим:

 

  - х ₁ +х₂ = 0

Оставляем  одно уравнение с двумя неизвестными х₁ и х_{2 ,} следовательно, одна переменная свободная. Пусть это будет х₁.Полагаем  х₁ = 1    х₂ = 1;  Собственный вектор, соответствующий собственному значению λ₁ = 3, есть:

           

                                               Х₂^* = ( 1; 1)

Вывод. Во всех задачах нахождения  собственных векторов получается вырожденная система уравнений относительно координат векторов, т.е. часть уравнений в системе ( А- λЕ)Х^* = 0 после подстановки собственных значений становятся одинаковыми. Это означает, что число отличных друг от друга уравнений будет меньше, чем неизвестных и часть неизвестных всегда будут свободными и, следовательно, система будет иметь бесконечное множество решений. Это возникает из-за того, что мы находим собственные значения из условия равенства нулю определителя системы, а приравнивания  определитель нулю мы делаем систему уравнений линейно зависимой, а это и означает, что часть уравнений системы могут быть выражены через другие уравнения системы. Таким образом, собственные вектора определяются с точностью до  постоянной, т.е.  каждому собственному значению соответствует   бесконечное множество коллинеарных (пропорциональных) друг другу собственных векторов.

Решение типовых задач

Пример1. Умножение матриц

 

Пример 2. Некоммутативности произведения матриц.        

 

                           А =              В = 

  АВ =

  ВА =

                                 АВ  ВА

 

Пример 3. Построение транспонированной матрицы.

                 А =             А^Т = 

 

Пример 4. Нахождение алгебраических дополнений всех элементов матрицы А:

 

                                           А =

 

 А₁₁= (-1)¹⁺¹  = -3;  А₁₂= (-1)¹⁺³ = 6;     А₁₃=(-1)¹⁺³ = - 3       

 

  А₂₁=(-1)²⁺¹  = 15; А₂₂= (-1)²⁺² = -12;  А₂₃=(-1)²⁺³ =  -1

 

   А₃₁=(-1)³⁺¹ = -9;   А₃₂=(-1)³⁺² = 6;      А₃₃=(-1)³⁺³ = 1

 

Воспользуемся теоремой Лапласа для  вычисления определителя матрицы А:

= 1 (-3) + 1 6 + 3 (-3) = - 6  или

= 4 15 + 5 (-12) + 6 (-1) = - 6 или

= 7 (-9) + 8 6 + 9 1 = - 6.

Пример 5. Вычисление определителя 3-го порядка первым способом.

                                              А = ;

= = 1·5·9 + 4·8·3 + 1·6·7 - 7·5·3 - 8·6·1 - 4·1·9 = 183 – 189 = - 6

Пример 7. Вычисление определителя вторым способом.

А = ;

Расширенная матрица:

            

             

    

= 1·5·9 + 1·6·7 + 3·4·8 - 7·5·3 - 8·6·1 - 9·4·1 = 183 – 189 = - 6

 

Пример 8. Вычисление обратной  матрицы A^-1 к данной  матрице A  с помощью первого алгоритма:

        А =

Выше были найдены алгебраические дополнения к элементам матрицы А и определитель матрицы :                                     

 

  А₁₁ = -3;     А₁₂ = 6;      А₁₃ = - 3       

 

  А₂₁ = 15;    А₂₂ = -12;  А₂₃ = -1

 

  А₃₁ = -9;     А₃₂ = 6;      А₃₃ = 1

 

  =  -6

 

Построим присоединенную матрицу  к А^Т:

  А^* =

 

Делим каждый элемент матрицы А  на её определитель ( =  -6), в результате получаем  обратную матрицу А^-1 :

       А^-1 =    =  

Проверим правильность вычислений А^-1, исходя из условия:

А^-1А = АА^-1 = Е