Линейное пространство матриц. Элементы матричной алгебры

Результат перемножения даёт:

АА^-1 = =

=

Пример 9. Вычисление обратной матрицы А^-1  к данной матрице А с помощью 2-го алгоритма:

                                       А =

Решение. Составим матрицу В⁽⁰⁾ вида:

                                     В⁽⁰⁾ =

Элемент b₁₁⁽⁰⁾ = 1 и первую строку, содержащую данный элемент, назовем направляющими. Осуществим элементарные преобразования, в результате которых первый столбец преобразуется в единичный с единицей в первой строке. Для этого к второй и третьей строкам прибавим первую строку, соответственно умноженную на 1 и –2. В результате данных преобразований получим матрицу:

 

                            В⁽¹⁾ =

В матрице В⁽¹⁾ преобразуем второй столбец в единичный. В качестве направляющего элемента выберем элемент b₂₂⁽¹⁾ =3. Так как направляющий элемент b₂₂⁽¹⁾ 1, то разделим вторую (направляющую) строку на 3. Затем к первой строке прибавим вторую, умноженную на –3. Получим матрицу:

                             В⁽²⁾ =    

 Третий столбец матрицы В⁽²⁾ преобразуем в единичный. В качестве направляющего элемента выбираем элемент b₃₃⁽²⁾ = 4. Делим направляющую (третью) строку на 4 и прибавим третью строку, умноженную на – 4/3 к второй строке. Получим матрицу:

                             В⁽³⁾ = ,

 

 

 откуда                               А^-1 =

Проверим правильность вычислений А^-1, исходя из условия:

 

А^-1А = АА^-1 = Е

=

 

8. Квадратичные формы.

           При  решении различных прикладных  задач часто приходится исследовать  квадратичные формы.

           Определение. Квадратичной формой от переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:

.                                               (1)

           Предполагаем, что коэффициенты квадратичной  формы  – действительные  числа, причем . Матрица , составленная из этих коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы.

            В матричной записи квадратичная  форма имеет вид:

,                                                           (2)

где   – матрица-столбец переменных.

            В самом деле:

и эквивалентность формул (1) и (2) установлена.

            Пример 1. Дана квадратичная форма . Записать ее в матричном виде.

            Решение. Найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, т.е. 4, 1, -3, а другие элементы – половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому

.

            Выясним, как изменяется квадратичная форма при невырожденном линейном преобразовании переменных.

            Пусть матрицы-столбцы переменных  и связаны линейным соотношением , где есть некоторая невырожденная матрица -го порядка. Тогда квадратичная форма

.                          (3)

            Итак, при невырожденном линейном преобразовании  матрица квадратичной формы принимает вид:

                                                               (4)

            Пример 2. Дана квадратичная форма . Найти квадратичную форму , полученную из данной линейным преобразованием .

            Решение. Матрица данной квадратичной формы , а матрица линейного преобразования .

            Следовательно, по (3) матрица искомой квадратичной формы

,

а квадратичная форма имеет вид  .

            Следует отметить, что при некоторых  удачно выбранных линейных преобразованиях  вид квадратичной формы можно  существенно упростить.

            Квадратичная форма  называется канонической (имеет канонический вид), если все ее коэффициенты при :

,

а ее матрица является диагональной.

           Справедлива  следующая теорема.

           Теорема. Любая квадратичная форма с помощью вырожденного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.

           Пример 3. Привести к каноническому виду квадратичную форму

.

           Решение. Вначале выделим полный квадрат при переменной , коэффициент при квадрате которой отличен от нуля:

.

           Теперь  выделяем полный квадрат при  переменной  , коэффициент при которой отличен от нуля:

.

           Итак, невырожденное линейное преобразование

приводит данную квадратичную форму  к каноническому виду

.

           Канонический  вид квадратичной формы не  является однозначно определенным, так как одна и та же квадратичная  форма может быть приведена  к каноническому виду многими способами. Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. Одно из этих свойств сформулируем в виде теоремы.

           Теорема (закон инерции квадратичных форм). Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.

           Например, квадратичную форму  в примере 3 можно было привести к виду

,

применив невырожденное линейное преобразование

.

           Как  видим, число положительных и  отрицательных коэффициентов (соответственно  два и один) сохранилось.

           Следует  отметить, что ранг матрицы квадратичной формы, называемый рангом квадратичной формы, равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.     

           Квадратичная  форма  называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях переменных, из которых хотя бы одно отлично от нуля,            

.

           Так,  например, квадратичная форма  является положительно определенной, а форма   – отрицательно определенной.

           Теорема.  Для того чтобы квадратичная форма была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы были положительны (отрицательны).

           В ряде случаев для установления знакоопределенности квадратичной формы удобнее бывает применить критерий Сильвестра.

           Теорема. Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительны, т.е. , где

.

           Следует  отметить, что для отрицательно  определенных квадратичных форм  знаки главных миноров чередуются, начиная со знака «минус» для минора первого порядка.

           Пример 4. Доказать, что квадратичная форма является положительно определенной.

           Решение. Первый способ. Матрица квадратичной формы имеет вид . Для матрицы характеристическое уравнение

  или  .

           Решая  уравнение, найдем  . Так как корни характеристического уравнения матрицы положительны, то на основании приведенной теоремы квадратичная форма – положительно определенная. 

           Второй способ. Так как главные миноры матрицы

положительны, то по критерию Сильвестра данная квадратичная форма  положительно определенная.