Автор работы: Пользователь скрыл имя, 27 Января 2013 в 19:15, курсовая работа
Схема случайных блужданий оказывается очень удобной для наглядного объяснения общих закономерностей поведения сумм случайных величин. Случайные блуждания возникают как в теоретических задачах, так и в приложениях теории вероятностей, таких, например, как последовательный статистический анализ или теория массового обслуживания.
I. Введение…………………………………………………………3
II. Основная часть…………………………………………………5
1. Задача «Случай в кассе»…………………..…………….5
2. Задача «На краю утеса»…………………………………7
3. Задача «Разорение игрока»…………………………….11
4. Теория…………………………………………………...14
III. Выводы………………………………………………………..16
IV. Список использованной литературы……………………….17
Пусть Xj - случайная величина, равная величине перемещения частицы на j-м шаге, т. е. X1 = 1 с вероятностью p и X1 = -1 с вероятностью q. Тогда X1, X2, ..., Xn, ... образуют последовательность независимых бернуллиевских случайных величин (схема Бернулли).
Координата блуждающей частицы в момент n равна сумме
Sn= X1 + X2 + ... + Xn.
Можно по аналогии определить случайные блуждания по точкам вида
kh (h > 0) такое, что координата частицы увеличивается или уменьшается на величину h в дискретные моменты времени 0, ∆t, 2∆t, ... (∆t > 0). График такого случайного блуждания даёт наглядное представление о поведении нарастающих сумм случайных величин, причём многие характерные закономерности сохраняются и для сумм значительно более общих случайных величин. Классическая интерпретация таких процессов - это изменение капитала одного из игроков в задаче о разорении.
Обычно случайное блуждание, как одномерное, так и его многомерное обобщение, используют для приближённого описания процессов диффузии и броуновского движения частиц. Случайное блуждание является примером марковского процесса, и во многих случаях могут быть описаны как цепи Маркова или ветвящиеся процессы. Однако при их анализе возникает ряд специфических задач, например: распределение максимума последовательности сумм, распределение первого момента достижения некоторой точки, возвращение траектории в начало координат. Пусть движение начинается из нуля (при h = 1, ∆t = 1). Тогда вероятность хотя бы одного возвращения в нуль равна 1 при p = q =1/2 (симметричный случай) и меньше 1 при p ≠ q. При p > q или p < q частица уходит с вероятностью 1 в +∞ или -∞ соответственно. В симметричном случае время до N-го возвращения в нуль растёт как N2, а среднее число возвращений за 2n шагов растёт как √n. Отсюда можно сделать парадоксальный вывод: при p = q =1/2 промежутки между последовательными возвращениями в нуль оказываются поразительно длинными. Кроме того, значения доли времени, которое траектория проводит выше оси абсцисс, близкие к 1/2, оказываются наименее вероятными. Точное утверждение даётся так называемым законом арксинуса.
Часто рассматривают случайные блуждания с отражающими или поглощающими границами. Наличие в точке поглощающего экрана проявляется в том, что по достижении этой точки частица перестаёт двигаться. При наличии в точке k + 1/2 отражающего экрана частица с вероятностью q переходит из k в k - 1 и с вероятностью p = 1 - q остаётся на месте. Основным средством вычисления вероятностей поглощения и достижения тех или иных точек служат разностные уравнения. Предельным переходом случайное блуждание сводится к процессам диффузии. Пусть, например, p = q = 1/2, ∆t = 1/N, h = 1/√N, тогда при N → ∞ многие вероятности, вычисленные в схеме случайного блуждания, стремятся к аналогичным вероятностям для процесса броуновского движения. Для более полного описания предельных соотношений необходимо совершить переход от дискретного процесса нарастающих сумм к непрерывному случайному процессу .
Схема случайных блужданий
III. Выводы
В данной курсовой работе исследован метод случайных блужданий и его применение при решении прикладных задач.
Рассмотрены задачи: «случай в кассе», «разорение игрока» и «на краю утеса».
Схема случайных блужданий
IV. Список использованной литературы