Математичний аналіз

ЗМІСТ

ВСТУП…………………………...............................................................................3

1.1. ПОНЯТТЯ ПРО ФУНКЦІОНАЛ ТА ЕКСТРЕМУМ ФУНКЦІОНАЛА...........4

1.2. НЕОБХІДНА УМОВА ЕКСТРЕМУМУ ФУНКЦІОНАЛА…………………..11

1.3. ЗАДАЧА НА ЕКСТРЕМУМ ФУНКЦІОНАЛА З ЗАКРІПЛЕНИМИ КІНЦЯМИ. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ЕКСТРЕМАЛЕЙ (РІВНЯННЯ ЕЙЛЕРА)……………………………………………………………………………....12

2. ЗАДАЧА ПРО БРАХІСТОХРОНУ………………………………………………16

3. ВИСНОВКИ………………………………………………………………………..18

4. СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ……………………………………19

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступ

В світі  не відбувається нічого, в чому б не був видний сенс якого-небудь максимуму або мінімуму.

У математиці вивчення задач на знаходження максимуму  і мінімуму почалося дуже давно. Але  тільки лише в епоху формування математичного  аналізу були створені перші методи рішення й дослідження задач  на екстремум.

Потреби практичного життя, особливо в галузі економіки і техніки, останнім часом висунули такі нові завдання, які старими методами вирішити не вдавалося. Треба було йти далі.

Потреби техніки, зокрема космічної, висунули серію задач, які також не піддавалися засобам варіаційного числення. Необхідність вирішувати їх привела до створення нової теорії, що отримала назву теорії оптимального управління. Основний метод в теорії оптимально керування був розроблений в п'ятдесяті - шістдесяті роки радянськими математиками - Л.С. Понтрягіна та його учнями. Це призвело до того, що теорія екстремальних задач одержала новий потужний поштовх до подальших досліджень.

Мета  курсової роботи  - розгляд поняття  про функціонал та екстремум функціоналу, а також вивчення необхідної умови екстремуму функціоналу.

У математиці дослідження задач на максимум і  мінімум почалося дуже давно - двадцять п'ять століть тому, Довгий час  до завдань на відшукання екстремумів  не було скільки - небудь єдиних підходів. Але приблизно триста років тому - в епоху формування математичного  аналізу - були створені перші загальні методи вирішення і дослідження задач на екстремум.

У XVIII столітті виникло числення варіацій. У працях Ейлера і Лагранжа воно придбало вид  логічно стрункої математичної теорії. Головним завданням, розв'язуваної засобами цього обчислення, є відшукання екстремумів функціоналів.

 

1.1. Поняття про функціонал та екстремум функціоналу.

Нехай задано деякий клас D функцій . Якщо кожній функції із класу D за деяким законом ставиться у відповідність певне числове значення змінної I, то ця змінна І називається функціоналом від однієї функціональної змінної і позначається

Клас D функцій, на яких визначений функціонал, називається областю визначення функціоналу. При цьому функція служить незалежною змінною (аргументом) функціоналу. Функції із області визначення D даного функціоналу І називаються функціями порівняння або допустимими функціями.

Кожну функцію, яка належить області визначення D функціоналу І[у], можна розглядати як точку (елемент) деякої множини (простору) функцій. Простори, елементами яких служать функції, називаються функціональними просторами. Можна сказати, що функціонал — це функція, в якої значеннями незалежної змінної є точки (елементи) функціонального простору, а значеннями залежної змінної І — числа.

Можна розглядати також функціонали від  кількох незалежних функціональних змінних. Якщо скінченному набору функцій з певного класу функцій D ставиться у відповідність за деяким законом певне числове значення змінної І, то І називається функціоналом від n функціональних змінних і позначається   .

Приклад №1.

Обчислити заданий  функціонал при заданих значеннях  аргументу:

а) 

б) 

в) 

г) 

д) 

е) 

Розв'язання.

а) 

б) 

в) 

г) 

д) 

е) 

Надалі будемо розглядати, в основному, функціонал вигляду  ,

областю визначення якого служить клас функцій  , що визначені та неперервні разом з першою похідною на відрізку .

 

Екстремум функціоналу.

Відстанню нульового порядку між функціями (лініями) і на відрізку називається невід'ємне число При цьому вважається, що розглядувані функції і неперервні на відрізку .

Відстанню першого порядку між функціями (лініями) і на відрізку називається невід'ємне число При цьому вважається, що розглядувані функції і неперервні разом зі своїми першими похідними на відрізку .

Приклад №1. 

Знайти  відстань першого порядку між  кривими  і на відрізку  .

Розв'язання.

Розглянемо  функції 

 і  .

Знайдемо  їх найбільші та найменші значення на відрізку :

Тоді 

Нехай D₁ — деякий клас функцій порівняння (підмножина області визначення D) функціоналу . Функціонал має в цьому класі D₁ абсолютний мінімум (максимум), який реалізується функцією , якщо для довільної функції виконується рівність .

Функціонал  має в класі D₁ локальний або відносний мінімум (максимум), який реалізується функцією , якщо для довільної функції , яка близька до функції , виконується рівність

Максимуми і  мінімуми називаються екстремумами.

Якщо близькість функцій розуміється в смислі відстані нульового порядку, тобто  , де — досить мале число, то такий відносний екстремум називається сильним.

Якщо близькість функцій розуміється в смислі відстані першого порядку, тобто  , де — досить мале число, то такий відносний екстремум називається слабким.

На рис. 1 зображені лінії, близькі в смислі відстані нульового порядку (координати їх близькі, а напрямки дотичних можуть суттєво відрізнятись), а на рис. 2 наведені криві, близькі в смислі відстані першого порядку (близькі не тільки їх координати, а і напрямки дотичних).

 

Рис.1             Рис.2

 

Абсолютний  екстремум тим паче є відносним  екстремумом. Обернене твердження, в загальному випадку, невірне.

Сильний відносний екстремум тим паче є слабким екстремумом. Обернене твердження, в загальному випадку, невірне.

Надалі будемо розглядати слабкий відносний екстремум  і слова "слабкий", "відносний" будемо опускати.

Основною задачею варіаційного числення є дослідження функціоналу на екстремум.

Приклад №2.

На яких кривих може досягати екстремуму функціонал

 

Розв’язання.

Рівняння  Ейлера має вигляд

Його спільним розв’язком є:

 

Використовуючи  граничні умови, отримуємо:

Отже, екстремум функції може досягати лише на кривій

Приклад №3

На яких кривих може досягати екстремуму функціонал.

 

Рівняння  Ейлера має вигляд

звідти 

Використовуючи  граничні умови, отримуємо:

Отже екстремуму можна досягнути лише на кривій

В цих двох прикладах рівняння Ейлера легко  інтегрувалось, але так буває  не завжди, тому що диференціальні рівняння другого порядку інтегруються у кінцевому вигляді лише в деяких випадках.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2. Необхідна умова екстремуму функціоналу.

Як відомо, необхідна умова екстремуму функції  полягає в рівності нулю її диференціала. Аналогічно, для функціоналу справедлива теорема (необхідна умова екстремуму в варіаційній формі):

Якщо  функціонал має варіацію і досягає на деякій функції екстремуму, то його варіація на цій функції дорівнює нулю:

Доведення. 

Розглянемо  однопараметричну сім'ю функцій у₀+adу, де a — деяке число.

На вказаній сім'ї функцій функціонал є функцією параметра a: , яка згідно з умовою теореми має екстремум при a=0.

У відповідності  з необхідною умовою екстремуму функції  маємо  , тобто .

Згідно з  другим означенням вказана похідна  є варіацією функціоналу . Отже,

Функції, на яких варіація функціоналу існує  і дорівнює нулю, називаються стаціонарними функціями або допустимими екстремалями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3. Задача на екстремум функціоналу  з закріпленими кінцями. Диференціальне рівняння екстремалей (рівняння Ейлера)

Знайти мінімум (максимум) функціоналу 

 

при крайових умовах ; серед неперервно диференційованих на відрізку функцій у, де — відомі числа.

Оскільки  в даній задачі всі допустимі  криві, серед яких шукається та, що доставляє екстремум функціоналу, проходять через дві різні нерухомі точки і , то поставлена задача називається варіаційною задачею з закріпленими кінцями.

Теорема. 

Допустимі екстремалі функціоналу 

 

з закріпленими кінцями  ; , визначаються як розв'язки диференціального рівняння при крайових умовах ; .

Диференціальне  рівняння другого порядку 

 називається рівнянням Ейлера. Розв'язки рівняння Ейлера називаються екстремалями, а само рівняння Ейлера — диференціальним рівнянням екстремалей.

Таким чином, в даній задачі допустимі екстремалі виділяються зі всіх екстремалей врахуванням крайових умов.

Доведення.

Необхідна умова  екстремуму, з якої знаходяться екстремалі, має вигляд . Оскільки ця умова повинна виконуватись для будь-якої варіації функції , то при закріплених кінцях повинні справджуватись рівності .

Виразимо  варіацію функціоналу через функцію  та її похідні:

де 

До другого доданка останньої  рівності застосуємо інтегрування частинами:

оскільки  dу(х₁)=0,  dу(х₂)=0.

Тоді варіацію функціоналу можна подати у вигляді

На екстремалі варіація функціоналу  повинна дорівнювати нулю:

причому для  довільної варіації функції dу такої, що dу(х₁)=0, dу(х₂)=0. Це можливо лише за умови, що вираз в дужках під знаком інтеграла дорівнює нулю для всіх х із відрізка [х₁;х₂]:

Приклад 3.

Знайти  екстремалі функціоналу:

Розв'язання. Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера:

Тоді рівняння Ейлера

 набуває вигляду:  2-(-2+2у'')=0; y''+2=0.

Розв'яжемо  одержане рівняння:

Отже, екстремалями служать функції:

де С₁ і С₂ — довільні сталі.

 

Приклад №4.

Знайти екстремалі функціоналу:

 

де а=const, a>0.

Розв’язання.

Знайдемо  похідні, що входять в рівняння Ейлера:

Тоді рівняння Ейлера

 набуває вигляду: 2a²y-2y''=0; y''-a²y=0.

Розв'яжемо одержане рівняння:

 — шукані екстремалі, де  С₁, С₂ — довільні сталі.

 

2. Задача про брахістохрону.

В 1696 році Іоган  Бернуллі опублікував лист, у якому пропонував увазі математиків задачу про знаходження лінії найшвидшого спуску – брахістохрони. В цій задачі треба знайти криву яку з’єднує задані точки A і B, при русі по якій матеріальна точка скотиться з точки A в точку B, за найкоротший час (тертям і опором середовища нехтуємо).