Некоторые замечательные кривые

Министерство образования  и науки РФ

Череповецкий государственный  университет

Институт информационных технологий

Кафедра прикладной математики

Дисциплина: Геометрия и  алгебра

Курсовая работа

на тему «Некоторые замечательные  кривые»

г. Череповец

2010-2011 уч.г.

 

Содержание

Введение

1. Строфоида

1.1 Определение

1.2 Исторические сведения

1.3 Стереометрическое образование

1.4 Особенности формы

1.5 Задача

2. Циссоида Диокла

2.1 Определение и построение

2.2 Исторические сведения

2.3 Площадь S полосы

2.4 Объем V тела вращения

2.5 Задача

3. Декартов лист

3.1 Исторические сведения

3.2 Построение

3.3 Особенности формы

3.4 Задача

4. Улитка Паскаля

4.1 Определение и построение

4.2 Исторические сведения

4.3 Особенности формы

4.4 Свойства нормали

4.5 Построение касательной

4.5 Задача

5. Лемниската Бернулли

5.1 Определение

5.2 Исторические сведения

5.3 Построение

5.4 Особенности формы

5.5 Свойства нормали

5.6 Построение касательной

5.7 Задача

Заключение

Используемая литература

 

Введение 

 

В данной работе мы рассмотрим некоторые замечательные кривые и их особенности.

В параграфе 1 будет рассмотрена  строфоида, особенности её формы, стереометрическое  образование и исторические сведения.

Во 2-м параграфе мы изучим циссоиду Диокла и некоторые формулы, связанные с ней.

В параграфе 3 узнаем метод  построения, особенности формы и  исторические сведения о кривой, называемой «Декартов лист».

В 4-м параграфе рассмотрим улитку Паскаля. Её определение, построение, особенности формы, свойства нормали  и построение касательной. плоский  кривой лемниската бернули строфоида

В параграфе 5 будет изучена  лемниската Бернулли: определение, построение, исторические сведения, особенности  формы, свойства нормали и построение касательной.

А также при помощи задач  узнаем формулы кривых в прямоугольной  декартовой и полярной системах координат.

 

1. Строфоида 

 

1.1 Определение. 

 

Прямая строфоида, или просто строфоида, определяется так: берём взаимно-перпендикулярные прямые AB, CD (рис.1) и на одной из них точку A; через неё проводим произвольую прямую AL, пересекающую CD в точке P. На AL откладываем отрезки PM_1,, PM₂равные PO (O – точка пересечения AB и CD). Строфоида (прямая) есть геометрическое место точек M₁,M₂.

Косая строфоида (рис.2) строится аналогично с той разницей, что AB и CD пересекаются косоугольно. 

 

 

 

1.2 История вопроса

Строфоида была рассмотрена (вероятно, впервые) Ж. Робервалем в 1645 г. под именем птероиды. Нынешнее название введено Миди в 1849 г. 

 

1.3 Стереометрическое  образование

Представим себе цилиндрическую поверхность с осью CD (см. рис.1) и  радиусом AO. Через точку A проведем перпендикулярную плоскости чертежа произвольную плоскость K (прямая AL – след этой плоскости). В сечении получим эллипс; его  фокусы M₁, M₂описывают прямую строфоиду.

Косая строфоида строится аналогично с той лишь разницей, что цилиндрическая поверхность  заменяется конической: ось конуса (OS на рис.2) проходит через O перпендикулярно AB; прямая UV, проходящая через B параллельно CD, – одна из образующих. Точки M₁, M₂ – фокусы соответствующего конического сечения; косая строфоида расположена на обеих полостях конической поверхности и проходит через вершину S последней.

1.4 Особенности  формы

Точка O – узловая; касательные  к ветвям, проходящим через O, взаимно  перпендикулярны (как для прямой, так и для косой строфоиды). Для косой строфоиды (рис.2) прямая UV служит асимптотой (при бесконечном  удалении вниз). Кроме того, UV касается косой строфоиды в точке S, равноотстоящей от A и B.

У прямой строфоиды точка  касания S «уходит в бесконечность» (при удалении вверх), так что прямая UV (см. рис.1) служит асимптотой для обеих  ветвей. 

 

1.5 Задача

Написать уравнение строфоиды  в прямоугольной декартовой системе  координат, осями которой являются прямые AB и CD, а направление оси OX определяется направлением оси строфоиды.

Решение:

Пусть O – начало координат; ось OX направлена по лучу OB; AO=a,  AOD=α; когда строфоида – косая, система координат – косоугольная, ось OY направлена по лучу OD:

 (1)

Для прямой строфоиды уравнение (1) приводится к виду

 .

 
 

 

2. Циссоида Диокла  

 

2.1 Определение  и построение

На отрезке OA = 2a, как на диаметре, строим окружность C (рис.3) и  проводим через A касательную UV. Через O проводим произвольную прямую OF, пересекающую UV в точке F; эта прямая пересечет (вторично) окружность C в точке E. На прямой OF от точки F по направлению к O откладываем отрезок FM, равный хорде OE.

Линия, описываемая точкой M при вращении OF около O, называется циссоидой Диокла – по имени греческого ученого 2 века до н.э., который ввел эту линию для графического решения  задачи об удвоении куба.

Особенности формы. Циссоида симметрична относительно OA, проходит через точки B, D и имеет асимптоту UV (x = 2a); O – точка возврата (радиус кривизны RO = O).

Построение касательной. Чтобы построить касательную к циссоиде в ее точке M, проводим MP OM. Пусть Q, P – точки пересечения MP с прямыми OX, OY. От точки P на продолжении отрезка QP откладываем отрезок PK = PQ. Строим KN MO и ON QP. Точку N пересечения KN и ON соединяем с M. Прямая MN – нормаль к циссоиде. Искомая касательная MT перпендикулярна MN. 

 

2.2 Исторические  сведения

Диокл определял циссоиду с помощью другого построения. Он проводил диаметр BD, перпендикулярный OA; точка M получалась в пересечении хорды OE с прямой GG^̕   BD, проведенной через точку G, симметричную с E относительно BD. Поэтому линия Диокла располагалась целиком внутри круга C. Она состояла из дуг OB и OD. Если замкнуть линию BOD полуокружностью BAD, описанной точкой E, получается фигура, напоминающая лист плюща. Отсюда название «циссоида».

Примерно в 1640 г. Роберваль, а позднее Р. де Слюз заметили, что циссоида неограниченно продолжается и за пределы окружности, если точка E описывает и другую полуокружность BOD; тогда M лежит на продолжении хорды OE. Однако наименование «циссоида Слюза», предложенное Гюйгенсом, не утвердилось в литературе. 

 

2.3 Площадь S полосы  

 

заключенной между циссоидой  и ее асимптотой (эта полоса простирается в бесконечность), конечна; она втрое  больше площади производящего круга C:

. 

 

 
 

 

2.4 Объем V тела вращения

вышеупомянутой полосы около  асимптоты UV равен объему V̕ тела вращения круга C около той же оси (Слюз):

.

При вращении той же полосы около оси симметрии получается тело бесконечного объема. 

 

2.5 Задача

Дана циссоида Диокла с  полюсом в точке O, осью OA и параметром 2a. Приняв точку O за полюс, а ось кривой за ось полярной системы, вывести  уравнение кривой в полярных координатах. Записать уравнение кривой в прямоугольной  декартовой системе координат.

Решение:

Пусть O – начало координат, OX – ось абсцисс. Тогда уравнение  в прямоугольной системе координат:

 .

Если O – полюс и OX –  полярная ось, то уравнение в полярных координаты будет иметь вид:

 .

 
 

 

3. Декартов лист  

 

3.1 Исторические  сведения

В 1638 г. Р. Декарт, чтобы опровергнуть (неверно им понятое) правило П. Ферма  для нахождения касательных, предложил  Ферма найти касательную к  линии  . При обычном для нас толковании отрицательных координат эта линия, которую в 18 веке стали называть декартовым листом, состоит из петли OBAC (рис.4) и двух бесконечных ветвей (OI, OL).

Но в таком виде ее представил впервые Х. Гюйгенс (в 1692 г.). До этого  линию   представляли в виде четырех лепестков (один из них OBAC), симметрично расположенных в четырех координатных углах. Поэтому ее называли «цветком жасмина». 

 

3.2 Построение

Чтобы построить декартов лист с диаметром петли   проведем окружность A радиуса   и какую-либо прямую GH, параллельную AO. Далее проведем прямые AA^̕ и OE, перпендикулярные AO, и отметим точки A^̕, E их пересечения с GH. Наконец, отложим на луче OA отрезок OF = 3OA и проведем прямую FE. Теперь искомая линия строится по точкам следующим образом.

 

Через O проводим любую прямую ON и через точку N, где эта прямая пересекает (вторично) окружность, проводим NQ AA^̕. Точку Q, где NQ пересекает прямую OF соединяем с A^̕ и отмечаем точку K, где QA^̕ пересекает FE. Проводим прямую AK до пересечения с прямой GH в точке Q^̕. Наконец, откладываем на прямой OA отрезок OP, равный и равнонаправленный с отрезком A^̕Q^̕. Прямая M₁M₂, проведенная через P параллельно AA^̕, пересечет прямую ON в точке M₁. Эта точка (а также точка M₂, симметричная ей относительно AO), принадлежит искомой линии.

Когда точка N, исходя из O, описывает  окружность A против часовой стрелки, точка M₁описывает траекторию LOCABOI.  

 

3.3 Особенности  формы

Точка O – узловая. Касательные, проходящие через O, совпадают с осями  координат. Прямая OA ( ) есть ось симметрии. Точка  , наиболее удаленная от узловой точки, называется вершиной (коэффициент   выражает диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде OA петли, так что  ). Прямая UV ( ) – асимптота обеих бесконечных ветвей.  

 

3.4 Задача

Написать уравнение декартова  листа в прямоугольной системе  координат и, приняв точку O за полюс, в полярной системе координат.

Решение:

Уравнение в прямоугольной  системе:

.

 

Уравнение в полярной системе (OX – полярная ось):

.

 
 

 

4. Улитка Паскаля  

 

4.1 Определение  и построение

Даны: Точка O (полюс), окружность K диаметра OB=a (рис.6), проходящая через полюс (основная окружность; она показана на чертеже пунктиром), и отрезок  . Из полюса O проводим произвольную прямую OP. От точки P, где прямая OP вторично пересекает окружность, откладываем в обе стороны от P отрезки  . Геометрическое место точек M₁, M₂ (жирная линия на рис.6) называется улиткой Паскаля – в честь Этьена Паскаля (1588 – 1651), отца знаменитого французского ученого Блеза Паскаля (1623 – 1662). 

 

4.2 Исторические  сведения

Термин «улитка Паскаля» предложен Ж. Робервалем, современником и другом Паскаля. Роберваль рассматривал эту линию как один из видов обобщенной конхоиды.

 

 

 
 

 

4.3 Особенности  формы

Улитка Паскаля симметрична  относительно прямой OB. Эта прямая (ось  улитки) пересекает улитку: 1) в точке O (если последняя принадлежит улитке); 2) в двух точках A, C (вершины). Форма линии зависит от соотношения между отрезками   и  .

1) Когда   (линия 1 жирная; для неё  ) улитка Паскаля пересекает сама себя в узловой точке O

,

Образуя две петли: внешнюю OHA₁GO и внутреннюю OH^'C₁G^'O. Угловой коэффициент касательных OD, OE в узловой точке:

.

Для построения касательных  достаточно провести хорд OD, OE длины l в  окружности K. Наиболее удаленным от оси точкам G, H внешней петли отвечает значение

;

Наиболее удаленным точкам G^', H^' внутренней петли – значение

.

Соответствующее полярное значение полярного радиуса:

.

2) Когда   (линия 2 на рис.6), внутренняя петля стягивается к полюсу и превращается в точку возврата, где движение по направлению луча OX сменяется движением в противоположном направлении. Наиболее удаленным от оси точкам L, M отвечают значения

.

Линия 2 называется кардиоидой, т.е. «сердцеобразной» (термин введен Кастиллоном в 1741г.). Она изображена отдельно на рис.7

3) Когда   (линия 3; для неё  ), улитка Паскаля – замкнутая линия без самопересечения; оторвавшись от полюса, она заключает его внутри себя. Наиболее удаленным от оси точкам L^', N^' отвечает значение  . Лишившись точки возврата, улитка приобретает взамен точки перегиба R, Q, которым отвечает значение  . Угол ROQ  , под которым отрезок RQ виден из полюса, по мере возрастания   сначала возрастает от нуля до  ; этому значению соответствует  . При дальнейшем увеличении   угол ROQ убывает, стремясь к нулю при  .