Нечеткие множества и выводы

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ БИРСКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«Башкирский государственный  университет»

Физико-математический факультет

Кафедра математического моделирования и информационных систем

 

 

 

Курсовая работа

Нечеткие множества и  выводы

 

 

Выполнил: студент 5 курса 3 группы физико-математического факультета Шамукаев А. В.

Научный руководитель:

к.ф.-м.н., ассистент  Гайсин Ф.Р.

 

 

 

 

 

Бирск - 2012 

Содержание:

 

Введение 3

Глава 1. Нечеткие множества и выводы. 4

Основные  понятия теории нечетких множеств. 4

Нечеткие  отношения. 9

Основы нечеткой логики 15

Системы нечеткого  вывода. 18

Глава 2. Нечеткое моделирование в среде MatLab. 24

Общая характеристика программы MATLAB. 24

Разработка  системы нечеткого вывода в интерактивном  режиме 25

Заключение 35

Литература: 36

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Теория  нечетких множеств, основные идеи которой были предложены американским математиком Лотфи Заде (Lotfi Zadeh) более 35 лет назад, позволяет описывать качественные, неточные понятия и наши знания об окружающем мире, а также оперировать этими знаниями с целью получения новой информации. Заде расширил понятие множества, допустил, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале [0, 1]. Такие множества были названы им нечеткими (fuzzy). Основанные на этой теории методы построения информационных моделей существенно расширяют традиционные области применения компьютеров и образуют самостоятельное направление научно-прикладных исследований.

Нечеткий вывод занимает центральное место в нечеткой логике и системах нечеткого управления. Процесс нечеткого вывода представляет собой некоторую процедуру или алгоритм получения нечетких заключений на основе нечетких условий или предпосылок с использованием понятий нечеткой логики. Этот процесс соединяет в себе все основные концепции теории нечетких множеств: функции принадлежности, лингвистические переменные, нечеткие логические операции, методы нечеткой импликации и нечеткой композиции.

Цель: изучение основных понятий теории нечетких множеств и разработка систем нечеткого вывода для аппроксимации функций.

Задачи:

1. Изучить и проанализировать литературу по нечетким множествам и выводам.
2. Изучить пакет Fuzzy Logic Toolbox среды MatLab.
3. Разработать нечеткую систему вывода в среде MatLab.

Глава 1. Нечеткие множества и выводы.

Основные  понятия теории нечетких множеств.

Нечеткое множество. Нечеткое множество (fuzzy set) представляет собой совокупность элементов произвольной природы, относительно которых нельзя с полной определенностью утверждать — принадлежит ли тот или иной элемент рассматриваемой совокупности данному множеству или нет. Другими словами, нечеткое множество отличается от обычного множества тем, что для всех или части его элементов не существует однозначного ответа на вопрос: "Принадлежит или не принадлежит тот или иной элемент рассматриваемому нечеткому множеству?" Можно этот вопрос задать и по-другому: "Обладают или нет его элементы некоторым характеристическим свойством, которое может быть использовано для задания этого" нечеткого множества?"

Существуют несколько вариантов формального определения нечеткого множества, которые, по сути, отличаются между собой способом задания характеристической функции данных множеств. Среди этих вариантов наиболее естественным и интуитивно понятным является задание области значений подобной функции как интервал действительных чисел, заключенных между 0 и 1 (включая и сами эти значения).

Mатeматичeскоe опpeдeлeниe нeчeткого множeства. Формально нечеткое множество A определяется как множество упорядоченных пар или кортежей вида: <x, μ_A(x)>, где x является элементом некоторого универсального множества или универсума X, а μ_A(x) — функция принадлежности, которая ставит в соответствие каждому из элементов x Є X некоторое действительное число из интервала [0,1], т. е. данная функция определяется в форме отображения:

μ_A:X→[0,1]. (1)

При этом значение μ_A(x)=1 для некоторого x ∈ X означает, что элемент x определенно принадлежит нечеткому множеству A, а значение μ_A(x)=0 означает, что элемент x определенно не принадлежит нечеткому множеству A.

Из всех нечетких множеств выделим два частных случая, которые по сути совпадают со своими классическими аналогами и используются в дальнейшем при определении других нечетких понятий.

Пустоe нeчeткоe множeство. B теории нечетких множеств сохраняют свой смысл некоторые специальные классические множества. Так, например, пустое нечеткое множество или множество, которое не содержит ни одного элемента, по-прежнему обозначается через и формально определяется как такое нечеткое множество, функция принадлежности которого тождественно равна нулю для всех без исключения элементов: μ₀ = 0. B этой связи уместно упомянуть о том, что характеристическая функция обычного пустого множества также тождественно равна нулю для каких бы то ни было элементов

Универсум. Что касается другого специального множества, то так называемый универсум, обозначаемый через X, уже был использован выше в качестве обычного множества, содержащего в рамках некоторого контекста все возможные элементы. Формально удобно считать, что функция принадлежности универсума как нечеткого множества тождественно равна единице для всех без исключения элементов μx= 1. При этом характеристическая функция обычного универсального множества также тождественно равна единице, для каких бы то ни было элементов: χ_х= 1.

Для того чтобы  определить конечные и бесконечные  нечеткие множества, необходимо ввести в рассмотрение одно из основных понятий, которое используется для характеристики произвольного нечеткого множества, а именно — понятие носителя нечеткого  множества.

Hоситeль нeчeткого множeства. Носителем нечеткого множества A называется обычное множество A_s, которое содержит те и только те элементы универсума, для которых значения функции принадлежности соответствующего нечеткого множества отличны от нуля. Математически носитель нечеткого множества определяется следующим условием:

A_s={xX|μ_A(x)>0}     xX. (2)

Очевидно, пустое нечеткое множество имеет пустой носитель, поскольку =0 для любого его элемента. Носитель универсума, рассматриваемого как нечеткое множество, совпадает с самим универсумом. Для удобства и сокращения записи произвольного нечеткого множества часто указывают лишь значения его функции принадлежности для элементов носителя, неявно предполагая, что все остальные значения функции принадлежности равны нулю.

B зависимости от количества элементов в нечетком множестве по аналогии с обычными множествами можно определить конечные и бесконечные нечеткие множества.

Конечные нечеткие множества. Нечеткое множество называется конечным, если его носитель является конечным множеством. При этом вполне уместно говорить, что такое нечеткое множество имеет конечную мощность, которая численно равна количеству элементов его носителя как обычного множества. B этом случае для обозначения мощности произвольного нечеткого множества A можно также использовать символ card(A). Удобно считать мощность пустого множества равной 0.

Бeсконeчныe нeчeткиe множeства. Аналогичным образом можно определить и бесконечные нечеткие множества как такие нечеткие множества, носитель которых не является конечным множеством. При этом счетным нечетким множеством будем называть нечеткое множество со счетным носителем, т. е. носитель которого имеет счетную мощность в обычном смысле. Несчетным нечетким множеством будем называть нечеткое множество с несчетным носителем, т. е. носитель которого имеет несчетную мощность или мощность континуума с (или ) в обычном смысле.

Очевидно, данное выше определение носителя нечеткого  множеств корректно, поскольку как  для конечных, так и для бесконечных нечетких множеств выражение (2) имеет смысл.

Чтобы привести некоторые примеры нечетких множеств и приступить к определению их основных свойств, следует рассмотреть основные способы, которыми формально могут быть заданы произвольные нечеткие множества.

Нечеткие множества  могут быть заданы двумя основными  способами:

1.  B форме списка с явным перечислением всех элементов и соответствующих им значений функции принадлежности, образующих рассматриваемое нечеткое множество. При этом зачастую элементы с нулевыми значениями функции принадлежности просто не указываются в данном списке. Этот способ подходит для задания нечетких множеств с конечным дискретным носителем и небольшим числом элементов. B этом случае нечеткое множество удобно записывать в виде: A={<х₁,(х₁)>, <х₂, (х₂)>,..., <х_п,(х_n)>}, где n — рассматриваемое число элементов нечеткого множества A (его носителя).

Например, возьмем  в качестве универсума X={l,2,3,...} — множество натуральных чисел. Тогда нечеткое множество A, представляющее в некотором контексте "небольшое натуральное число", можно задать следующим образом: A={<1, 1.0>, <2, 1.0>,<3,0.9>, <4,0.8>, <5,0.6>, <6, 0.5>, <7,0.4>, <8,0.2>, <9, 0.1 >}. При этом элементы, для которых (x)= 0, отсутствуют в этом списке.

2. Аналитически в форме математического выражения для соответствующей функции принадлежности. Этот способ может быть использован для задания произвольных нечетких множеств, как с конечным, так и с бесконечным носителем. B этом случае нечеткое множество удобно записывать в виде: A={<х,(х)>} или A={ х,(х)}, где (х)— некоторая функция, заданная аналитически в форме математического выражения или графически в форме некоторой кривой.

Для формальной строгости при задании  нечетких множеств необходимо явно указывать соответствующий универсум X элементов, из которых формируется то или иное конкретное нечеткое множество. B общем случае никаких предположений относительно элементов этого множества не делается. Однако с практической точки зрения целесообразно ограничить универсум элементами рассматриваемой предметной области или решаемой задачи. Поскольку при построении нечетких моделей систем используются количественные переменные, то наиболее часто в качестве универсума X используется некоторое подмножество действительных чисел R, например, множество неотрицательных действительных чисел R+ или натуральных чисел N.

Рассмотрим пример нечеткого множества.

Пример. Предположим, имеется некоторое графическое изображение, на котором представлены некоторые буква и цифра (рис. 1.).

Рис. 1. Графическое изображение некоторой буквы (а)

и некоторой десятичной цифры (б)

 Первое изображение порождает на множестве всех прописных букв (например, русского) алфавита A={A, Б, B,..., Я} некоторое конечное нечеткое множество С={<А,(А)>, <B, (B)>,..., <Я, (Я)>}. Это нечеткое множество содержательно описывает соответствие изображения, представленного на рис. 1, a , той или иной букве русского алфавита. Таким множеством может быть, например следующее нечеткое множество: C={<A,0>,<B,0>,...,<H,1.0>, <H,0.9>, <K,0.4>, <Л,0>, <M, 1.0>, <H, 1.0>, <O, 0>,...,<X, 0.3>,...,<Я,0>}. Пропущенные элементы соответствуют нулевым значениям функции принадлежности для остальных букв алфавита.

Второе изображение порождает  на множестве всех десятичных цифр X={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} конечное нечеткое множество D={<0,(0)>, <1, (1)>,..., <9, (9)>}. Это нечеткое множество содержательно описывает соответствие изображения, представленного на рис. 1, б, той или иной десятичной цифре. B частном случае таким нечетким множеством может быть, например, следующее: C={<0,0.8>,<l,0>, <2,0>,<3,0.9>,<4,0>,<5,0.2>, <6,1.0>, <7,0>, <8,1.0>, <9,0.9>}. Здесь указаны все значения функции принадлежности для элементов универсума.

Нечеткие отношения.

Понятие нечеткого отношения наряду с понятием самого нечеткого множества  следует отнести к фундаментальным  основам всей теории нечетких множеств. Ha основе нечетких отношений определяется целый ряд дополнительных понятий, используемых для построения нечетких моделей сложных систем. Нечеткое отношение обобщает понятие обычного отношения и часто заменяется терминами нечеткая связь, ассоциация, взаимосвязь или соотношение.

Нечеткое отношение  и способы его задания.

Содержательно нечеткое отношение  определяется как любое нечеткое подмножество упорядоченных кортежей, построенных из элементов тех или иных базисных множеств, в качестве которых в данном случае используются универсумы. При этом под кортежем, так же как и в случае обычных множеств, понимается произвольный набор или список упорядоченных элементов.

Heчeткоe отношeние. B общем случае нечетким отношением или, более точно, нечетким k-арным отношением, заданным на множествах (универсумах) X₁, Х₂,..., Х_к, называется некоторое фиксированное нечеткое подмножество декартова произведения этих универсумов. Другими словами, если обозначить произвольное нечеткое отношение через Q, то по определению Q={<x₁,x₂,...,x_k>, (<x₁,x₂,...,x_k >)}, где (<x₁,x₂,...,x_k >) — функция принадлежности данного нечеткого отношения, которая определяется как отображение …. [0,l]. Здесь через < x₁,x₂,...,x_k > обозначен кортеж из к элементов, каждый из которых выбирается из своего универсума:.

Так же как и в случае обычных множеств с целью характеризовать количество универсальных множеств, на основе которых строится то или иное нечеткое отношение, принято называть нечеткое отношение между элементами из двух универсальных множеств — бинарным, между элементами трех множеств — тернарным, а в общем случае— k-арным отношением. При этом на форму и вид Функции принадлежности нечеткого отношения предварительно не накладывается никаких ограничений.

Пустое нечеткое отношение. B теории нечетких отношений пустое нечеткое отношение определяется как отношение, которое не содержит ни одного кортежа. Это отношение по-прежнему обозначается через и формально определяется как такое нечеткое отношение, функция принадлежности которого тождественно равна 0 на всем декартовом произведении его универсумов. Из этого определения также следует, что пустое нечеткое отношение совпадает с обычным пустым отношением.