Операции над матрицами

Операции над матрицами

Умножение матрицы на число

Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен

Свойства  умножения матриц на число

1. 1*A = A;

2. (Λβ)A = Λ(βA)

3. (Λ+β)A = ΛA + βA

4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB

Сложение  матриц

Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц Aи B, то есть каждый элемент матрицы C равен

Свойства  сложения матриц

5.коммутативность;

6.ассоциативность;

7.сложение с нулевой  матрицей;

8.существование противоположной  матрицы;

Все свойства линейных операций , повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому справедлива теорема:

Множество всех матриц одинаковых размеров MxN образуют линейное пространство над полем P(полем всех действительных или комплексных чисел), поэтому каждая матрица является и вектором этого пространства.

Умножение матриц

 

Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения  ) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество  столбцов в матрице A должно совпадать с количеством строк в матрице B. Если матрица A имеет размерность  , B —  , то размерность их произведения AB = C есть  .

Свойства  умножения матриц

1.ассоциативность;

2.произведение  не коммутативно;

3.произведение коммутативно  в случае умножения с единичной  матрицей;

4.справедливость дистрибутивного закона;

5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);

Матричные операции

Сложение и  вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

Существует нулевая матрица Θ такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть

A + Θ = A

Все элементы нулевой  матрицы равны нулю.

Возводить в степень можно  только квадратные матрицы.

• Ассоциативность сложения: A + (B + C) = (A + B) + C.
• Коммутативность сложения: A + B = B + A.
• Ассоциативность умножения: A(BC) = (AB)C.
• Вообще говоря, умножение матриц некоммутативно:  . Используя это свойство, вводят коммутатор матриц.
• Дистрибутивность умножения относительно сложения:

A(B + C) = AB + AC;

(B + C)A = BA + CA.

• С учётом упомянутых выше свойств, матрицы образуют кольцо относительно операций сложения и умножения.
• Свойства операции транспонирования матриц:

(A^T)^T = A

(AB)^T = B^TA^T

(A ^{− 1})^T = (A^T) ^{− 1}, если обратная матрица A ^{− 1} существует.

(A + B)^T = A^T + B^T

detA = detA^T

Свойства определителей

 

• Определитель — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам):   , где  и т. д. — строчки матрицы,   — определитель такой матрицы.
• При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.
• Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.
• Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.
• Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).
• Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
• Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.
• Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.
• Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.
• Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (cм. также формулу Бине-Коши).
• С использованием индексной нотации определитель матрицы 3×3 может быть определён с помощью символа Леви-Чивита из соотношения:

 

 

 

Рангом системы строк (столбцов) матрицы A с m строк и n столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг  матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Ранг  матрицы — Размерность образа dim(im(A)) линейного оператора, которому соответствует матрица.

Обычно ранг матрицы A обозначается   ( ) или  . Оба обозначения пришли к нам из иностранных языков, потому и употребляться могут оба. Последний вариант свойственен для английского языка, в то время как первый — для немецкого, французского и ряда других языков.

Определение

Пусть   — прямоугольная матрица.

Тогда по определению рангом матрицы A является:

• ноль, если A — нулевая матрица;
• число  , где M_r — минор матрицы A порядка r, а M_{r + 1} — окаймляющий к нему минор порядка (r + 1), если они существуют.

Теорема (о корректности определения рангов). Пусть все миноры матрицы   порядка k равны нулю (Mk = 0). Тогда  , если они существуют.

 

Связанные определения

• Ранг   матрицы M размера   называют полным, если  .
• Базисный минор матрицы A — любой ненулевой минор матрицы A порядка r, где  .
• Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными строками и столбцами. (Они определены неоднозначно в силу неоднозначности базисного минора.)

Свойства

• Теорема (о базисном миноре): Пусть   — базисный минор матрицы A, тогда:
1. базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;
2. любая строка (столбец) матрицы A есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).
• Следствия:
• Если ранг матрицы равен r, то любые p:p > r строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.
• Если A — квадратная матрица, и  , то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.
• Пусть  , тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно r.
• Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение A∼B для матриц, полученных друг из другаэлементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если A∼B, то их ранги равны.
• Теорема Кронекера — Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:
• Количество главных переменных системы равно рангу системы.
• Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Линейное преобразование и ранг матрицы

Пусть A — матрица размера   над полем C (или R). Пусть T — линейное преобразование, соответствующее A в стандартном базисе; это значит, что T(x) = Ax. Ранг матрицы A — это размерность области значений преобразования T.

Методы

Существует  несколько методов нахождения ранга матрицы:

• Метод элементарных преобразований

Ранг матрицы  равен числу ненулевых строк  в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

• Метод окаймляющих миноров

Пусть в матрице A найден ненулевой минор k-го порядка M. Рассмотрим все миноры (k + 1)-го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор M; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.

 

 

Линейная независимость строк  матрицы

Дана  матрица   размера 

Обозначим строки матрицы  следующим образом:

Две строки называются равными, если равны их соответствующие элементы.  .

Введем операции умножения строки на число и сложение строк как операции, проводимые поэлементно:

.

Определение. Строка   называется линейной комбинацией строк   матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа  (любые числа):

.

Определение. Строки матрицы   называются линейно зависимыми, если существует такие числа  , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

, где  . (1.1)

Линейная  зависимость строк матрицы обозначает, что хотя бы 1 строка матрицы является линейной комбинацией остальных.

Определение. Если линейная комбинация строк (1.1) равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты  , то строки   называются линейно независимыми.

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные строки (столбцы).

Теорема играет принципиальную роль в матричном  анализе, в частности, при исследовании систем линейных уравнений.

 

Система линейных алгебраических уравнений

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

(1)

Здесь x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно^[1].

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c₁, c₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система  вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c₁⁽¹⁾, c₂⁽¹⁾, …, c_n⁽¹⁾ и c₁⁽²⁾, c₂⁽²⁾, …, c_n⁽²⁾ совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система  вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

 

Матричная форма

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

или:

Ax = B.

Если к матрице  А приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

Методы решения

Прямые (или  точные) методы позволяют найти решение  за определённое количество шагов. Итерационные методы основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.

Метод Гаусса

У этого  термина существуют и другие значения, см. Метод Гаусса (оптимизация).

Ме́тод  Га́усса^[1] — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключенияпеременных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные^[2].