Определение числа е, вычисление его приближенного значения и его трансцендентность

То есть мы доказали, что при x>0 и n N верно двойное неравенство

.

С помощью него можно найти с любой точностью значение e^x при любом x, так как , а значит .

Кроме того, при x<0 выполняется двойное неравенство

.

Используя полученные неравенства, вычислим приближенное значение для e^-0,5 с точностью до 0,001. Во-первых, найдем такое n, чтобы

.

Это неравенство выполняется при n = 5, поэтому достаточно взять по пять слагаемых в каждом из неравенств, имеем:

,

отсюда e^-0,5≈0,607; более точные вычисления дают результат 0,6065…

Теперь вычислим приближенное значение e^0,5 с точностью 0,01. Найдем такое n, чтобы выполнялось неравенство

.

Таким n является число 3, тогда

,

отсюда e^0,5≈0,165; более точные вычисления дают значение 0,6487.

 

Глава 4. Проявление числа e в реальной жизни

 

4.1 Практическое применение числа e

 

 

Имея огромное применения в математике, остается неотмеченным вопрос: как же его используют в реальной жизни, то есть каково практическое применение числа Эйлера. Ответ на него столь же прост, как и на вопрос о  математическом его применении. Главным образом оно проявляет себя при росте какой - либо величины, будь то рост клетки или банковского счета.

Предположим, что кто-то положил один рубль в банк, выплачивающий 4% годовых. Если проценты простые, то каждый год сумма вклада возрастает на 4% от первоначального капитала. Каждый рубль через двадцать пять лет «вырастет» и превратится в два рубля. Если же банк выплачивает сложный процент, то рубль будет расти быстрее, потому что после каждого начисления процентов капитал немного увеличивается и в следующий раз процент начисляется от большей суммы. Чем чаще производят перерасчет и прибавление прибыли к основному капиталу, тем быстрее растет вклад. При ежегодном начислении сложных процентов рубль за 25 лет превратится в , то есть в 2,66 рубля. При начислении сложных процентов каждые полгода (если банк выплачивает 4 (сложных) процента годовых, то прирост вклада за каждые шесть месяцев составляет 2 процента) рубль за 25 лет превратится в , или 2,69 рубля.

В рекламных проспектах банков их составители особо подчеркивают, сколько раз в год производится начисление прибыли. Непосвященному может показаться, что при достаточно частом начислении процентов (например, если производить пересчет миллион раз в год) за 25 лет рубль превратится в весьма ощутимую сумму. В действительности ничего подобного не произойдет. Через 25 лет один рубль вырос бы до величины

,

где п -- число начислений прибыли. При п, стремящемся к бесконечности, это выражение стремится к пределу, равному 2,718 (e), что всего на 3 цента больше той суммы, которая получилась бы, если бы прибыль начислялась лишь раз в полгода. Этот предел и является числом е.

Предположим, что в банке, выплачивающем простой процент, один рубль через какой-то промежуток времени удваивается. При непрерывном начислении прибыли рубль за то же время превратился бы в е рублей независимо от того, сколько простых процентов прибыли выплачивает в действительности банк. Однако за очень большой промежуток времени даже очень маленькая ежегодная прибыль может увеличить первоначальный капитал до гигантской суммы. Если бы в первом году нашей эры кто-то положил один рубль в банк, выплачивающий 4% годовых, то к 1970 году на его счету было бы уже (1,04)¹⁹⁷⁰ рублей, то есть сумма вклада выражалась бы примерно тридцатипятизначным числом.

Однако не все величины возрастают так, как растет капитал в рассмотренных выше примерах. Тип роста, о котором шла речь, обладает одной весьма важной особенностью: в каждый момент времени скорость роста пропорциональна величине того, что возрастает. Иначе, говоря, отношение приращения изменяющейся величины к ее текущему значению всегда одно и то же. Величины такого типа изменяются подобно снежному кому, несущемуся с вершины горы: чем больше становится ком, тем быстрее налипает на него снег. Этот тип роста свойствен многим процессам в живой и неживой природе. Все они описываются формулами, в которые входит экспоненциальная функция. И хотя при расчетах в строительном конструировании инженеры чаще пользуются десятичными логарифмами, в математическом анализе встречаются почти исключительно натуральные логарифмы с основанием, равным числу е.

Если держать гибкую цепь за оба конца, то она провиснет по кривой, которая так и называется -- цепная линия (приложение 4). В уравнение этой кривой, записанное в декартовых координатах, также входит число е и уравнение этой кривой имеет вид

.

Тем же уравнением описывается сечение паруса, надутого ветром: если вертикальная составляющая скорости ветра равна нулю, то он выгибает парус так же, как направленная по вертикали сила земного тяготения изгибает цепь. Маршалловы и Каролинские острова, а также острова Гилберта -- это вершины потухших подводных вулканов, в сечении вертикальной плоскостью они имеют форму цепной линии. Цепная линия не принадлежит к числу кривых, называемых коническими сечениями (эллипс, гиперболу и параболу называют коническими сечениями, так как их можно получить на поверхности конуса в пересечении с плоскостью Р, не проходящей через вершину конуса; при этом поверхность конуса мыслится неограниченно продолженной в обе стороны от вершины) (приложение 5), хотя по виду очень напоминает параболу.

Французский энтомолог Жан Анри Фарб в книге «Жизнь паука» дает описание цепной линии, непревзойденное по своему красноречию: «Бессмысленное число е вновь предстает перед нами, начертанное на этот раз на паутине. Выйдя из дому в туманное утро, рассмотрим внимательно сплетенную за ночь паутину. Усеянные крохотными капельками, ее липкие нити провисают под тяжестью груза, образуя цепные линии, и вся сеть становится похожей на множество ожерелий, как бы повторяющих очертания невидимого колокола. Стоит лишь лучу солнца проникнуть сквозь туман, как паутина начинает переливаться всеми цветами радуги, превращаясь в сверкающую гроздь бриллиантов, и число е предстает перед нами во всем своем великолепии».

 

4.2 Применение числа е в математических задачах

 

 

Как уже было неоднократно сказано, число Эйлера действительно имеет огромное значение в математике. Для подтверждения этого приведем несколько задач, в решении которых оно так или иначе фигурирует.

Так как факториал числа п равен числу перестановок из п предметов, то не удивительно, что число е фигурирует в задачах теории вероятностей, связанных с перестановками. Классическим примером является следующая задача о перепутанных шляпах. Десять мужчин сдали в гардероб свои шляпы. Прежде чем выдать номера, гардеробщица случайно перепутала их. Спрашивается, с какой вероятностью хотя бы один из владельцев получит свою собственную шляпу. Существуют и другие формулировки этой задачи. Например, речь может идти о рассеянной секретарше, которая положила как попало несколько писем в заранее надписанные конверты. Какова вероятность того, что хотя бы одно письмо дойдет по назначению? Или: однажды всех матросов отпустили в увольнение на берег; вернувшись усталыми, они замертво попадали на первые попавшиеся койки; какова вероятность того, что один матрос спит на своей койке?

Для решения задачи нужно знать две величины: во-первых, число всех перестановок из 10 шляп и, во-вторых, число «совершенно беспорядочных» перестановок, то есть число перестановок, при которых ни один владелец шляпы не получает свою шляпу. Первое число равно 10!, то есть 3 628 800. Однако вряд ли кто-нибудь отважится выписать все эти перестановки, чтобы отобрать из них «совершенно беспорядочные». К счастью, существует один простой, хотя и несколько необычный, метод нахождения нужного числа. Оказывается, что число «совершенно беспорядочных» перестановок из п предметов равно целому числу, ближайшему к дроби . В нашем случае таким целым числом является 1 334 961, поэтому вероятность того, что ни один человек не получит назад свою шляпу, равна 1 334 961/3628 800 = 0,367 879... Последнее число очень близко к . Сократив 10! в числителе и знаменателе, получим 1/е. Следовательно, вычисленная нами вероятность почти не отличается от 1/е. Таким образом, вероятность того, что все шляпы оказались перепутанными, нам известна. Очевидно, что всегда происходит одно из двух: либо все  шляпы оказываются перепутанными, либо хотя бы одна из них возвращается к своему владельцу. Следовательно, вычитая 1/е из 1  (вероятность достоверного события равна 1), мы получаем вероятность того, что, по крайней мере, один человек получает свою шляпу назад. Итак, искомая вероятность оказывается равной 0,6321, что составляет почти ²/з.

У только что решенной задачи есть одна странная особенность: после того как число шляп достигает шести или семи, дальнейшее его увеличение фактически не влияет на результат. Независимо от числа людей (будь их десять или десять миллионов), вероятность того, что одна или более шляп окажутся у владельцев, равна 0,6321 (из приложения 5 видно, что вероятность того, что никто не получит свою шляпу, очень быстро достигает предела, равного 1/е=0,3678794411; десятичная дробь, стоящая в последнем столбце таблицы, бесконечное число раз принимает значение, которое либо чуть-чуть больше, либо чуть-чуть меньше предельного).

Абсолютно аналогичное решение имеет и следующая задача. Тщательно перемешав карты, выкладывайте их по одной на стол вверх картинкой, называя одновременно вслух все 52 карты в заранее задуманной последовательности (например, сначала все карты масти пик от туза до короля, затем по порядку все карты червовой масти, затем -- трефовой и бубновой). Вы выиграете, если хотя бы одна карта будет выложена на стол в тот момент, когда вы ее назовете. С какой вероятностью вы выиграете и с какой проиграете эту игру?

Интуитивно кажется, что вероятность выигрыша мала: в лучшем случае не превосходит 1/2. На самом же деле, как мы видно из задачи о шляпах, она равна ( ), то есть почти 2/3. Это означает, что при достаточно продолжительной серии игр вы можете рассчитывать на победу примерно в двух из каждых трех партий.

Несложной задачей является и следующая. При каком значении п корень п-й степени из п имеет максимальное значение? Очевидно, что ответом является число e.

 

Заключение

 

Таким образом, из выполненной мною работы видно, что такое число е. А именно, это предел

.

И, будучи «творением» Леонарда Эйлера, оно является основанием натуральных логарифмов. Кроме того, число e - это трансцендентное число (иррациональное), то есть его невозможно указать точным числом, но всегда можно определить приближенно с учетом требуемой точности с помощью формулы

,

где и - это отношение разности (y_n является (n+1)-ой частичной суммой для бесконечного ряда ) к числу , которое, очевидно, содержится между 0 и 1.

На практике в большинстве формул приходится встречаться с числом e в какой-либо степени, то есть с монотонной экспоненциальная функцией y = e^x, значение которой вычисляется приближенно с помощью двойного неравенства

(если x>0 и n N) или

(если x<0 и n N).

В реальной жизни число e проявляет себя понятней всего при росте какой - либо величины, например банковского счета.

Таким образом, из данной работы видно, что число e играет огромнейшую роль как в высшей математике, так и в жизни.

 

Список использованной литературы

 

Гарднер М. Математические досуги, М., 1995.

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчесления, том 1, М., 1969.

Фельдблюм Б. О самом важном в математике. Л., 1969.

Перельман Я. И. Занимательная алгебра, Екатеринбург, 1994.

Перельман Я. И. Живая математика, Екатеринбург, 1994.

Перельман Я. И. Занимательная физика, Екатеринбург, 1994.

Сорокин Г. А. Экстремум и неравенства, Саратов, 1997.

Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 11 класса, М., 1990.

 

 

Приложение 1

 

 

 

 

1. Леонард Эйлер

 

 

2. Леонард Эйлер, портрет 1753 г., выполненный Эмануелем Гандманном (Kunstmuseum, г. Базель) 
Приложение 2

 

 

1+1=2,000 000 00

=0,500 000 00

=0,166 666 67

=0,041 666 67

=0,008 333 33

=0,001 388 89

=0,000 198 41

=0,000 024 80

=0,000 002 76

=0,000 000 28

 

2+

+ + + + + + + + =2,718 281 81

 

Приложение 3

 

 

График экспоненциальной функции

 

Приложение 4

 

Если держать гибкую цепь за оба конца, то она провиснет по кривой, которая так и называется -- цепная линия В уравнение этой кривой, записанное в декартовых координатах, также входит число е и уравнение этой кривой имеет вид

.

 

Приложение 5

 

 

Различные конические сечения

 

Приложение 6

 

 

Число шляп (n)	Число перестановок	Число перестановок, при которых ни одна шляпа не возвращается к своему владельцу	Вероятность того, что никто не получит назад свою шляпу
1	1	0	0
2	2	1	0,5
3	6	2	0,333333
4	24	9	0,375000
5	120	44	0,366666
6	720	265	0,3778014
7	5040	1854	0,367857
8	40320	14833	0,367881
9	362880	133496	0,367879
10	3628806	1334961	0,367879
11	39916800	14684570	0,367879
12	479001600	176214841	0,367879