Парадоксы в математике

 

 

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №80 с углубленным изучением отдельных предметов

 

 

Исследовательская работа

«Парадоксы в математике»

 

Секция: Математика

 

Выполнила         

ученица 9Б класса

МБОУСОШ№80сУИОП

Бушина Валерия Александровна

Руководитель:

Лабузная Ирина Сергеевна,

учитель математики

г. Хабаровск

2014

 

 

Тема:

«Парадоксы в математике»

 

 

 

 

 

 

Введение.

В данной работе рассматриваются несколько видов парадоксов и сами парадоксы как отдельное понятие. Существует огромное множество видов парадоксов, которые, в свою очередь, делятся на отдельные подгруппы. Особое внимание уделяется математическим парадоксам, представленными в данном работе на примере статистических, вероятностных и геометрических.

Данная работа показывает, какими разнообразными и противоречивыми могут быть разделы математики, а также отдельные темы.

Цель:

Рассмотреть некоторые виды парадоксов, уделить особое внимание математическим парадоксам, понять их проблему.

Задачи:

1. Изучить научную литературу, касающуюся парадоксов в математике.
2. Провести собственное исследование, понять научные труды исследователей, проанализировать данные, сделать выводы.

Методы исследования:

1. Статистический – работа с цифровыми показателями для анализа проблемы.
2. Математический – построение графиков, рисунков, таблиц и их анализ.

 

 

 

 

 

Дорога к истине вымощена парадоксами. Чтобы постигнуть действительность, надо видеть, как она балансирует на канате

Оскар Уайльд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание:

1. Классификация парадоксов………………………………………….…….6
2. Логические:

2.1. Парадокс сатанинской бутылки Стивенсона………….….9 

2.2. Парадокс курицы или яйца………………………………..10

3. Математические:

3.1. Статистические:

3.1.1. Парадокс лифта……………………………………….…12

3.2. Вероятностные:

3.2.1. Парадокс двух конвертов……………………………….13

3.3. Геометрические:

3.3.1. Исчезновение клетки (появление клетки)……….…….15

4. Связанные с путешествиями во времени

5.1. Парадокс убитого дедушки ………………………………………18

5. Псевдопарадокс:

6.1. Псевдопарадокс кошки с маслом……………………………..…..19

6. Вывод…………………………………………………………….………..22
7. Литература………………………………………………………………..23

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Классификация  парадоксов

Само слово «парадокс» произошло от древнегреческого parádoxes, что означает неожиданный, странный. Действительно, по своей сути, парадокс является высказыванием или суждением, существующим в реальном мире, но выражающим противоречия нескольких фактов или логических цепочек.

Вот несколько определений слова «парадокс», взятых из словарей:

1. ПАРАДОКС м. греч. мнение странное, на первый взгляд дикое, озадачливое, противное общему. – Толковый словарь Даля

2. ПАРАДОКС - (от греч. paradoxos - неожиданный - странный), 1) неожиданное, непривычное, расходящееся с традицией утверждение, рассуждение или вывод. 2) В логике - противоречие, полученное в результате логически формально правильного рассуждения, приводящее к взаимно противоречащим заключениям.- Большой Энциклопедический словарь

3. ПАРАДОКС - а, м. (книжн.). 1. Странное, расходящееся с общепринятым мнением, высказывание, а также мнение, противоречащее (иногда только на первый взгляд) здравому смыслу. Говорить парадоксами. 2. Явление, кажущееся невероятным и неожиданным. || прил. парадоксальный, - ая, - ое (к 1 знач.). П. вывод. – Толковый словарь Ожегова

Разделяют несколько видов парадоксов, указанных на схеме:

 

 

 

Данные виды делятся еще на несколько разделов. В состав логических парадоксов разделяют на парадоксы самоотносимости и парадоксы определений. Математические включают в себя вероятностные, связанные с бесконечностью и геометрические. Существует также несколько видов физических парадоксов: термодинамические, гидродинамические, из квантовой механики и связанные со временем (связанные с путешествиями во времени). 

Отдельным видом являются псевдопарадоксы, так как они основаны на поговорках, поверьях, религии и т.д.

Выделяют несколько препятствий решения парадоксов:

1. Неточное восприятие данных и самой ситуации
2. Логически неправильное размышление, основанное на негласных принципах, вере или стереотипах

Таким образом, парадоксы присутствуют в различных отраслях науки и искусства. Существует огромное разнообразие парадоксов, не только по сферам, к которым они принадлежат, но и по значениям данных парадоксов, по способу их разрешения или невозможности их решения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.  Логические

Для того чтобы разобраться в логических парадоксах, нужно знать понятие «логика» - раздел философии,  это наука размышления, о способах доказательства или опровержения, она изучает рассуждения человека, который, для понимания той или иной темы выстраивает логические цепочки.

2.1. Парадокс сатанинской бутылки Стивенсона

Впервые этот парадокс, как видно из названия, был описан Р.Л.Стивенсоном в рассказе «Сатанинская бутылка». По сюжету герой покупает бутылку с чертом, который обязуется выполнять все желания до смерти хозяина, чья душа после гибели попадет в ад. Но есть одно условие, если хозяин успевает продать бутылку по более низкой цене, чем купил, то его душа будет спасена.

Весь парадокс заключается в том, что как долго может бутылка переходить от одного хозяина к другому, и какова конечная минимальная цена, по которой возможно продать бутылку. Если цена еще достаточно высока, например 10 центов, то зная условия, покупатель возьмет бутылку, так как существует более низкая цена, и новый владелец, в свою очередь сможет её продать. Но если человек получил бутылку за  2 цента, то он уже не сможет от неё избавиться, так как потенциальный покупатель легко рассчитает, что купив бутылку за 1 цент, он не сможет ей продать и его душа попадет в ад, следовательно, потенциальный покупатель уже не будет приобретать бутылку за 1 цент.

Конечно,  можно использовать разницу курса валют, но и это не бесконечно, так как найдется валюта, стоящая меньше. Так что этот парадокс считается нерешенным.  

2.2. Парадокс курицы или яйца

Большинство людей когда-нибудь встречались с вопросом «Что было раньше – курица или яйцо?». Данный парадокс относится к логическим. Ведь для того, чтобы появилась курица нужно яйцо, которое сносит снова курица. Таким образом, первое появляется из второго, второе – из первого, получается замкнутый цикл.  Парадокс яйца и курицы исходит из глубин истории: древнегреческий философ Аристотель рассуждал таким образом - если бы был первый человек, он должен был родиться без отца или матери, — а это противно природе, яйцо не могло быть первым, чтобы дать начало птицам, ибо само должно быть снесено ею, и не может быть первой птица, раз сама появилась из яйца. Тем не менее, существует несколько путей решения этого парадокса.

Например, исходя из современных биологических исследований, яйцо появилось раньше крицы, так как яйца откладывали древние динозавры, когда птиц не существовало.

Но если под яйцом понимать куриное яйцо, то понятия «яйцо» и «курица» приобретут нечеткий объем и, мы не сможем сказать, входит ли тот или иной объект в понятие «яйца» и «курицы». В процессе эволюции, существовало множество форм животных, и нельзя с точностью сказать, является ли эта форма курицей.

Специалист по эволюционной генетике Ноттингемского университета утверждает, что « в процессе жизни животного генетический материал сохраняется неизменным. Следовательно, первая птица, которая постепенно превратилась  того, кто является современной курицей, существовала в виде эмбриона внутри яйца». Согласно такому мнению, яйцо было раньше, иначе, откуда возникнуть курице?

В то же время британские ученные считают, что первой была курица. С помощью новейших компьютеров они восстановили процесс появления яйца на генетическом уровне. Оказалось, что протеин, содержащийся в организме курицы, участвует в формировании яйца, без него яйца быть не может.

 Известно, что домашняя курица – это результат скрещивания банкивского петуха с серой джунглевой курицей, и если определить четкую границу, то под понятием «курица» будет подразумеваться первая самка-гибрид от такого скрещивания. Следуя такой версии, курица была первой, и только потом она снесла яйцо.

Таким образом, ученные расходятся во мнениях, и на настоящий момент нет точного и четкого решения данного парадокса.

 

 

 

 

 

 

 

3. Математические  и статистические

3.1. Статистические

Статистика – научный метод количественных исследований в некоторых областях знания. Математическая статистика - наука о математических методах систематизации и использования статистических данных – такое определение дает Сергей Иванович Ожегов в своем словаре.

3.1.1. Парадокс лифта

Мало кто задумывался над тем, откуда чаще приходят лифты: сверху или снизу? Как показывает статистика, ели вы в данный момент стоите на одном из самых верхних этажей, например на восемнадцатом из двадцати, то лифт будет приходить чаще снизу. Но для людей, стоящих на первых этажах (на третьем или пятом), лифт чаще приходит сверху.

В этом заключается суть данного парадокса: откуда лифт приходит чаще – сверху или снизу?

Впервые это явление заметили два физика, Марвин Стерн и Георгий Гамов, работавшие в одном здании, но на абсолютно разных этажах. Гамов, чей офис был на одном из нижних этажей здания, заметил, что первый приезжающий к нему лифт двигался сверху. В то же время Стерн, работавший выше Гамова, отметил, что на верхние этажи лифт чаще приходит снизу. Таким образом,  создавалось впечатление, что кабины лифта появлялись в середине здания и уходили вверх на крышу и вниз в подвал, где исчезали, и физики задались вопросом: Как объяснить такие наблюдения?

Решение данного парадокса заключается в следующем: на самый нижний этаж лифты будут приходить сверху, так как из-под фундамента здания они физически прийти не смогут, если же вы стоите на самом верхнем этаже, то каждый лифт будет приходить только снизу. Получается замкнутая система, лифт идет с верхнего этажа на нижний, затем с нижнего на верхний. Если учесть, что лифты проходят одинаковое расстояние в обоих направлениях и начать наблюдение с лифта, идущего вверх, то лифт, идущий вниз, будет чаще приходить к нам, нежели лифт, идущий сверху.

3.2. Вероятностные

3.2.1. Парадокс двух конвертов

Одним из вероятностных парадоксов является парадокс о двух конвертах. В чем же суть данного парадокса? По условию, существует два абсолютно одинаковых с виду конвертов с некоторой суммой денег. В одном из них лежит сумма в два раза большая, чем в другом, при этом величина этой суммы неизвестна.

Затем конверты дают двум игрокам, которые имеют право открыть свой конверт, пересчитать деньги в нем. После каждому игроку нужно решить стоит ли меняться конвертами с партнером.

Попробуем решить выгоднее оставить свой конверт или лучше поменяться с другим игроком.

Предположим, что игрок находит в своем конверте некоторую сумму денег Х. Он рассуждает следующим образом:

1. Если в моем конверте Х денег, то у другого игрока может быть сумма, равная 2Х или .
2. Следовательно, при обмене конвертами у меня в среднем окажется сумма, равная
3. Получается, что в любом случае обмен выгоднее.

Но если обмен никак не может быть выгоден обоим игрокам, так как кто-то из них все равно получит меньшую сумму. Значит, где-то в рассуждениях игроков была допущена ошибка.

Ошибка кроется в самом преставлении задачи. Только при условии, что мы имеет оба конверта на руках, и мы знает сумму, которая находится в обоих конвертах, мы можем определить среднее значение.

Таким образом, процесс решения противоречит условию задачи, ведь там сказано, что суммы неизвестны. Поэтому, решение данного парадокса пока не найдено.

3.3. Геометрические

3.3.1. Парадокс исчезновения (появления) клетки

Одним из ярких примеров геометрических парадоксов является задача об исчезновении клетки.

По условию задачи, нам дан треугольник размером 13 на 5 клеток, показанный на рисунке 1. При переставлении частей, остается одна не закрашенная клетка (рисунок 2).