Пифагорова философия музыки

Содержание

Введение

1 Пифагорова философия  музыки

2 Альтернативная теория  Аристоксена

3 Теория музыки в Средние  Века

3.1 Натуральный строй

3.2 Среднетоновой строй

4 Современная темперация

4.1 Вычисление частоты  звуков

4.2 Сравнение с натуральным  строем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Математика на данный момент является одной из наиболее обширных наук. Подчас она является противоречивой и даже загадочной, но это нисколько  не умаляет ее привлекательности  для людей.

Огромное значение математики для естественных наук бесспорно, но какое она может иметь значение для музыки?

Между тем именно исследованию музыки посвящали свои работы многие величайшие математики: Рене Декарт, Готфрид  Лейбниц, Христиан Гольдбах, Жан д'Аламбер, Леонард Эйлер, Даниил Бернулли. Первый труд Рене Декарта - "Compendium Musicae" ("Трактат о музыке"); первая крупная работа Леонарда Эйлера - "Диссертация о звуке". Эта работа 1727 года начиналась словами: "Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований все, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков". Лейбниц в письме Гольдбаху пишет: "Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать". И Гольдбах ему отвечает: "Музыка - это проявление скрытой математики".

Почему же скрытой? Ведь в  Древней Греции музыка прямо считалась  частью математики, а еще точнее, разделом теории чисел. Первым, кто  попытался выразить красоту музыки с помощью чисел, был Пифагор - тот самый, чьим именем названа знаменитая теорема. И в XVII веке французский философ, физик, математик Марен Мерсенн в трактате "Истина наук против скептиков или пирроников" также рассматривал музыку как отрасль математики.

Сейчас вряд ли кто-нибудь решиться сводить музыку к определенным числовым закономерностям. Тем не менее, математика и музыка связаны друг с другом замечательным и подчас совершенно удивительным образом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Пифагорова философия музыки

 

Самым ранним из известных  нам исследований о связи математики и музыки являются работы Пифагора из Самоса (6 в. до н. э.) и его последователей.

Хотя, как говорят, сам  он не был музыкантом, именно Пифагору приписывают открытие диатонической  шкалы.

Пифагор проводил свои эксперименты на самодельном «музыкальном инструменте» монохорде: на балку, прикрепленную к стене он приделал через равные интервалы четыре струны, во всем одинаковые. К первой из них прикрепил вес в двенадцать фунтов, ко второй - в девять, к третьей - в восемь, и к четвертой - в шесть фунтов.

Пифагор обнаружил, что первая и четвертая струны, когда звучат вместе, дают гармонический интервал октавы, потому что удваивание веса имело тот же эффект, что и укорачивание струны наполовину. Натяжение первой струны было в два раза больше, чем  четвертой струны, и, как говорят, их соотношение равно 2:1, или двукратное. Подобным же рассуждением он пришел к  заключению, что первая и третья струны дают гармонию диапенте, или квинту. Натяжение первой струны было в полтора раза больше, нежели третьей струны, и их соотношение было 3:2, или полуторное. Подобным же образом вторая и четвертая струны, имея то же соотношение, что и первая и третья, давали гармонию диапенте.

Продолжая это исследование, Пифагор открыл, что первая и вторая струны дают гармонию diatessaron, или терцию, натяжение первой струны на треть больше, чем второй, их соотношение 4:3, или sesquitertian. Третья и четвертая струны, имея то же соотношение, что и первая и вторая, дают ту же гармонию.

Ключ к гармоническому соотношению скрыт в знаменитом Пифагоровском тетрактисе, или пирамиде из точек, Тетракптс образован из первых четырех чисел: 1, 2, 3 и 4, которые в их пропорциях открывают интервалы октавы, диапенте и диатессарон.

Хотя теория гармонических  интервалов, изложенная выше, является правильной, молоточки, бьющие по металлу  в описанной выше манере, не дают тех тонов, которые им приписываются. По всей вероятности, Пифагор разработал свою теорию гармонии, работая с  монохордом, однострунным инструментом (изобретение, состоящее из одной  струны, натянутой между зажимами и снабженное подвижными ладами). 
Для Пифагора музыка была производной от божественной науки математики, и ее гармонии жестко контролировались математическими пропорциями. Пифагорейцы утверждали, что математика демонстрирует точный метод, которым Бог установил и утвердил Вселенную. Числа, следовательно, предшествуют гармонии, так как их неизменные законы управляют всеми гармоническими пропорциями. После открытия этих гармонических соотношений Пифагор постепенно посвятил своих последователей в это учение, как в высшую тайну своих Мистерий. Он разделил множественные части творения на большое число плоскостей или сфер, каждой из которых он приписал тон, гармонический интервал, число, имя, цвет и форму. Затем он перешел к доказательству точности его дедукций, демонстрируя их на различных плоскостях разума и субстанций, начиная с самых абстрактных логических посылок и кончая наиболее конкретными геометрическими телами. Из общего факта согласованности всех этих различных методов доказательства он установил безусловное существование определенных естественных законов. 
Утвердив музыку как точную науку, Пифагор применил найденные им законы гармонических отношений ко" всем феноменам Природы, пойдя настолько далеко, что установил при этом гармонические отношения между планетами, созвездиями и элементами.

Интересным примером современного подтверждения древнего философского учения является прогрессия элементов  согласно их гармоническим отношениям. Если упорядочить перечень элементов  по восходящей в зависимости от атомных  весов, то, по А. Ньюленду, каждый восьмой элемент заметно повторяет свойства. Это открытие в современной химии известно под именем закона октавы. 
Поскольку считалось, что гармония определяется не чувственным восприятием, но разумом и математикой, пифагорейцы сами себя называли канониками, чтобы отличить себя от Гармонической Школы, которая полагала истинными принципами гармонии вкус и интуицию.

Таким образом в своих работах Пифагор подытожил следующие известные факты и свои наблюдения:

1. Наиболее сложные использовавшиеся в то время в греции лады (гаммы) состояли из 7 нот. 
2. Двигаясь по квинтам от исходной ноты наверх и возвращаясь по октавам вниз (в исходную октаву) можно получить (и даже с избытком) все ноты этих гамм. 
3. Отношение длин частей струны (при её зажатии пальцем), необходимое для повышения звука на квинту составляет 2:3. Причём на самом деле не важно, идёт ли речь о взятии флажолета или о фактическом укорочении струны (как, например, в случае гитары или любого другого инструмента с грифом).

 

 2 Альтернативная теория Аристоксена

 

Существовали и противники музыкальной теории школы Пифагора. Одним из них был перипатетик  Аристоксен из Тарента (4 в. до н. э), который, пройдя школу Пифагора, а позже и школу Аристотеля, стал автором трудов «Об элементах гармонии», «Об элементах ритма», «О музыке», «О тонах», «О хорах», а также различных трактатов о музыкальных инструментах. 
Разработанная Аристоксеном музыкальная теория отличается от традиционной пифагорейской.

В противовес числовой мистике  пифагорейцев Аристоксен предложил принцип изучения музыкальных звуков на основе слухового восприятия. Он не занимался физическим исследованием звука, а строил свое учение о гармонии на свойствах человеческого голоса. Отвлекаясь от материальной природы самого голоса или звука, а также от колебаний высоты тона при пении, он построил свою формальную музыкальную шкалу только на чистой слышимости, принимая за минимальный интервал «диез», соответствующий 1/4 целого тона, а за максимальный – 2 октавы с квинтой.

В основу своего учения о  тонах Аристоксен положил гармоническое звучание кварты и квинты, не придавая значения тому, какие числовые соотношения лежат в основе их мелодического созвучия. При этом целый тон рассматривается им не как самостоятельный интервал, а как разница между квартой и квинтой. Аристоксен предлагает деление чистой кварты на пять равных полутонов. Этот подход очень близок современному равномерно темперированному строю. 
 
Система Аристоксена смягчала чересчур жесткое звучание пифагорейских терций и секст и потому нашла своих последователей среди музыкантов. Однако из-за преимущественно одноголосного склада греческой музыки, звуки этих интервалов редко исполнялись одновременно, поэтому большого практического применения новый строй не получил. 
 
Арстоксен в своих музыкально-теоретических работах уделял также большое внимание ритмическим построениям и танцам, а музыку рассматривал как средство нравственного воспитания личности, так как она являлась для него выражением космической красоты и высшего порядка. Сочинения Аристоксена охватывают широкий круг тем – от биографий философов до теории музыкальных инструментов. Его идеи, близкие к современной равномерной темперации, оказали огромное влияние как на греческую музыку, так и позднее на музыку европейскую.

 

3 Теория музыки в Средние Века

 
Значительное влияние на средневековую  теорию музыки оказал трактат римского философа и ученого Боэция «О музыке» (6 в. н. э.), где был приведен перечень основных достижений античного музыковедения. Господство церкви во всех сферах жизни общества, естественно, сказалось на музыкальном искусстве и серьезно повлияло на теоретиков музыки средневековья. Исследователи музыки позднего средневековья (Гукбальд, Гвидо д'Ареццо и др.) в основном разрабатывали практические правила многоголосного письма и усовершенствования нотной записи. Значительный вклад в развитие теории музыки внесли также среднеазиатские ученые (Абу Наср аль-Фараби, 10 в., Авиценна, 10–11 вв.), арабские, персидские и византийские теоретики. 
 
В Средние Века в связи с развитием ремесленного дела и механики стали появляться многоголосные инструменты с фиксированной частотой звуков (например, орган в церковной музыке, клавикорды, клавесины и проч. в музыке светской). Инструменты эти требовали определенной и неизменной настройки сами по себе, а также соответствующего строя, если использовались в ансамбле. Если при игре на скрипке, например, у музыканта есть возможность на слух повысить или понизить звук без каких-либо ограничений, то при игре на таких инструментах, как орган, клавесин, клавикорд, это в принципе невозможно. Так как хорошо известен в то время был лишь строй Пифагора, именно его начали применять для настройки подобных инструментов. Однако при попытках использования пифагорова строя для органа, оказалось что большая терция в нем звучит слишком жестко, напряженно и поэтому не может использоваться в качестве базовой терции мажорного трезвучия. Как же объяснить напряженность большой терции в квинтовом строе Пифагора? Большая терция здесь получается из четырех ходов по квинтам вверх и затем смещением полученного звука на две октавы вниз, что выражается отношением 81/64. Если величину этой большой терции представить не в долях струны, а в числах колебаний, то окажется что при одновременном звучании обоих звуков терции до-ми интервал будет давать 16 биений в секунду. Эти биения и создают напряжение в большой терции Пифгора. 
 
В то время из чисто слуховых соображений пришло осознание того, что для приемлемого исполнения произведений для органа и хора, необходим полный отказ от гармонических терций или их замена другими большими терциями. Это одна из причин, которая вместе с желанием композиторов использовать в своих сочинениях свободные модуляции, хроматизмы, а также с необходимостью транспонирования некоторых произведений для более удобного исполнения певцами, привела к экспериментам многих ученых в области искусственного создания идеального звукового строя. 
 
3.1 Натуральный строй

Натуральный строй, так же называемый чистым или гармоническим, использует интервалы, построенные  на основе обертонов. Его в 16 в. предложили известные итальянские теоретики музыки Царлино и Фольяни. В гамме этого строя используются интервалы, представляющие собой отношения целых чисел, как и в строе Пифагора. Однако в гармоническом строе чистых интервалов больше. Здесь используются следующие отношения: октава (1/2), квинта (2/3), кварта (3/4), большая терция (4/5), малая терция (5/6), большой полный тон (8/9), малый полный тон (9/10), и диатонический полутон (15/16). С помощью таких построений получается гамма, сходная с пифагоровой, однако использующая натуральную терцию вместо пифгорейской, полученной из квинт и октав. Подобное усовершенствование предлагал еще один из учеников Пифагора Дидим в 5 в. до н. э. 
 
Натуральный строй звучит очень гармонично и созвучно исходной тональности, но в нем все еще присутствуют нечистые интервалы, к примеру, «волчьи квинты» то есть грязные соотношения звуков, которые должны были бы образовывать квинту. Присутствие в данном строе двух различных целых тонов (8/9 и 9/10) также затрудняло его использование в практике. 
 
3.2 Среднетоновый строй

 
Пифагорейская терция получается с  помощью повышения некоторого тона на 4 квинты и затем понижения  его на 2 октавы, и ее интервальное отношение (81/64 = 1,265) достаточно близко к натуральной терции (5/4 = 1,25). Однако, как уже упоминалось, терция пифагорейцев звучала жестко и напряженно, и  многие музыканты задумывались о  другом способе ее построения. 
 
Вероятно, в попытке решить проблему больших терций Петро Аарон в 1523 году в своей работе «Toscanello de la Musica» описал среднетоновый (терцовый) строй. Он исходил из положения, что большие терции должны быть настроены настолько созвучно и чисто, насколько это возможно. Идея построения стреднетоновой шкалы похожа на пифагорейскую, не здесь вместо квинты как образующий интервал используется идеальная большая терция, которая имеет интервальное отношение 5 к 4. 
 
К сожалению, среднетоновая настройка не избавила исполнителей от несоответствий и нечистых интервалов. В этом строе сохранилась одна увеличенная квинта, а также несколько увеличенных больших терций. То есть получилось так, что даже специально построенная терцовая темперация не позволила сделать все большие терции звукоряда чистыми. 
 
Натуральная и среднетоновая настройки имели свои преимущества по сравнению с системой Пифагора, и все же наличие в них так называемых «волчьих квинт» мешало исполнителям использовать все возможности органа или клавира. Композиторы старались избегать сложных хроматизмов и не писали произведений в «опасных» тональностях.