Понятие симметрического многочлена

Содержание

 

 

 

 

 

Введение

 

Каждый человек, исходя из своего житейского опыта, имеет какое-то представление о симметрии, поскольку это одно из самых распространенных явлений в природе, искусстве и науке. Однако обычно под симметрией понимается либо зеркальная симметрия, когда одна половина предмета зеркально-симметрична другой, либо центральная, как у буквы И. Такая симметрия означает, что есть преобразование (поворот), которое переводит предмет сам в себя.

В ряде случаев симметрия является достаточно очевидным фактом. Например, любой школьник, рассматривая равносторонний треугольник, может показать, почему эта фигура симметрична, и для подтверждения своей мысли может предложить несколько преобразований, в результате которых треугольник не изменит своего вида. В действительности понятие симметрии гораздо шире, и под ней понимается неизменность при какой-либо операции не только предметов, но и физических явлений, математических формул, уравнений и т.д.

Дать точное определение симметрии в общем случае не представляется возможным, поскольку она принимает свою конкретную форму в каждой области человеческой деятельности. Например, в искусстве симметрия проявляется в соразмерности и взаимосвязанности отдельных частей, образующих произведение. В классической механике она выражается в виде принципа относительности. Симметрия сыграла чрезвычайно важную роль при проведении исследований в физике микромира [7]. И не случайно крупнейший физик-теоретик академик А.Б. Мигдал в книге "Поиски истины" [8] утверждал, что "главными направлениями физики двадцатого века были поиски симметрии и единства картины мира".

Математики также издавна стремились к красоте математических формул и справедливо считали, что красивая формула отличается от некрасивой тем, что в красоте больше симметрии.

Данная работа посвящена изучению возможностей применения для решения различных алгебраических задач метода, основанного на свойствах симметрических многочленов.

К сожалению, такой раздел алгебры как теория симметрических многочленов выходит за рамки школьной программы, хотя минимальные знания по этой теме могут быть весьма полезны при решении целого ряда задач. Например, решение алгебраических уравнений высших степеней и их систем, разложение многочленов на множители, доказательство тождеств и др.

При решении систем алгебраических уравнений в школьном курсе, как правило, предлагается использовать наиболее универсальный метод исключения переменных. Однако при решении систем уравнений высших степеней этим методом могут возникнуть ситуации, приводящие к решению общих уравнений 4-й и более степени, что само по себе является непростой задачей. Метод, основанный на свойствах симметрических многочленов, не является столь универсальным при решении систем как первый метод, но при выполнении определенных условий приводит к решению уравнений, степени которых ниже исходных. Кроме того, данный метод позволяет решать и другие алгебраические задачи.

 Таким образом, основная задача нашей работы – изучение основных понятий и фактов теории симметрических многочленов от двух переменных и применение их в решении уравнений, неравенств, доказательстве тождеств и систем уравнений.

 

 

 

 

1. Понятие симметрического многочлена

 

При решении некоторых алгебраических уравнений высшего порядка и некоторых систем алгебраических уравнений используются специальные многочлены, называемые симметрическими, определение которых дадим на примере многочленов от двух переменных [3].

Определение 1. Многочлен P(x,y) от двух переменных называется симметрическим, если при замене x на y и y на x он не меняется.

Например, многочлен является симметрическим, поскольку при замене x на y и y на x имеем тождество .

В самом деле,  
Простейшие симметрические многочлены от x и y s1 = x + y, s2 = xy называются элементарными (или основными) симметрическими многочленами.

Обобщение определения симметрических многочленов от n переменных осуществляется естественным путем. Например, симметрическим многочленом от трех переменных называется многочлен Q(x, y, z) от трех переменных, который не меняется при перестановке любых двух переменных, а элементарные симметрические многочлены определяются формулами

s1 = x + y + z,

s2 = xy + yz + xy,

s3 = xyz.

Существует простой прием, позволяющий получать симметрические многочлены. Возьмем любой (вообще говоря, не симметрический) многочлен от и  и подставим в него вместо и  их выражения через x и y. Ясно, что при этом мы получим симметрический многочлен от x и y (ведь ни ,  ни не меняются при перестановке местами  x и y, а потому не меняется и весь получившийся многочлен, выражающий через x+y и xy. Например, из многочлена получаем симметрический многочлен

Итак, если взять любой многочлен от и  и подставить в него вместо и  их выражения , , то получится симметрический многочлен от x и y.

Возникает вопрос, является ли этот прием построения симметрических многочленов общим, т.е. можно ли с его помощью получить любой симметрический многочлен?

Рассмотрение примеров делает это предположение вероятным. Например, степенные суммы без труда выражаются через и  :

Какой бы симметрический многочлен мы ни взяли, после более или менее сложных выкладок его удается выразить через элементарные симметрические многочлены и  . Таким образом, имеет место важная теорема:

Теорема 1 (о симметрических многочленах)

Всякий симметрический многочлен от n переменных можно представить в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов, и это представление единственно.

Доказательство сформулированной теоремы проведем в два приема.

1. Сначала мы докажем теорему не для любых симметрических многочленов, а лишь для степенных сумм. Иными словами, мы установим, что каждую степенную сумму можно представить в виде многочлена от и  . С этой целью мы умножим обе части равенства (1) на . Получим: . Таким образом, . Из этой формулы вытекает справедливость нашего утверждения. В самом деле, мы уже проверили, что степенные суммы и представляются в виде многочленов от  и . Но если нам уже известно, что степенные суммы выражаются в виде многочленов от и , то, подставляя эти выражения в формулу (1), мы получим выражение степенной суммы через и  . Иными словами, мы можем последовательно находить выражения степенных сумм через и  : зная и , находим по формуле (1) затем и и т.д. Ясно, что рано или поздно мы получим выражение любой степенной суммы через и . Таким образом, наше утверждение доказано.

Формула (1), составляющая основу изложенного доказательства, позволяет не только утверждать, что как-то выражается через и  , но также позволяет последовательно вычислять выражения степенных сумм через и  . Построим таблицу выражений степенных сумм.

Таблица 1.

Выражения степенных сумм

через ,

Теперь нетрудно завершить доказательство теоремы. Любой симметрический многочлен от и  y содержит (после приведения подобных членов) слагаемые двух видов.

    Во-первых, могут встретиться одночлены, в которые  и  y входят в одинаковых степенях, т.е. одночлены вида . Ясно, что , т.е. одночлены этого вида непосредственно выражаются через .

Во-вторых, могут встретиться одночлены, имеющие разные степени относительно и  y, т.е. одночлены, имеющие разные степени относительно и  y , т.е. одночлены вида , где . Ясно, что вместе с одночленом  симметрический многочлен содержит также и одночлен  , получаемый из  перестановкой букв и  y. Иными словами, в симметрический многочлен входит двучлен вида Предполагая для определенности , мы сможем переписать этот двучлен следующим образом:

А так как по доказанному степенная сумма представляется в виде многочлена от и , то рассматриваемый двучлен выражается через и .

Итак, каждый симметрический многочлен представляется в виде суммы одночленов вида и двучленов вида , каждый из которых выражается через и . Следовательно, любой симметрический многочлен, представляется в виде многочлена от и .

Теорема полностью доказана.

Аналогично, симметрическая функция трёх переменных определяется как функция, которая не изменяет своего значения при произвольных перестановках своих аргументов, то есть  

Для симметрических многочленов трёх переменных справедлива точно такая же теорема, как и для многочленов двух переменных, а именно:

Теорема 2.  (о симметрических многочленах)   

Любой симметрический многочлен от трёх переменных представим в виде функции от трёх основных симметрических многочленов:  

Другими словами, для любого симметрического многочлена f (x,y) существует такая функция трёх переменных θ (u,v,w), что  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Задачи, решаемые с помощью симметрических многочленов

2.1 Уравнения

 

Многочлен вида f(x)= a0zn+a1zn-1+… +an , где a0≠0 называют возвратным, если в нем коэффициенты, равноудаленные от концов, совпадают, т.е. а0=аn, a1=an-1, a2=an-2,…

Например, многочлен z5-3z4+2z3+2z2-3z+1 и т.д.

Уравнение f(z)=0, левая часть которого возвратный многочлен, называют возвратным. 

Теорема: Всякий возвратный многочлен f(z)=a0z2k+a1z2k-1+…+a2k-1z+a2k    четной степени 2k представляется в виде f(z)=zkh(σ), где σ= z+1/z и h(σ) - некоторый многочлен степени k от σ. Всякий возвратный многочлен f(z)   нечетной степени делится на z+1, причем частное представляет собой  возвратный многочлен четной степени. (Теорема приводится без доказательства).

Выражения, заменяемые в возвратных многочленах через σ для четных многочленов (уравнений):

z +1/z =σ,

z2+1/z2=σ2-2,

z3+1/z3=σ3-3σ,

z4+1/z4=σ4-4σ2+2,

z5+1/z5=σ5-5σ3+5σ,

z6+1/z6=σ6-6σ4+9σ2-2,

z7+1/z7=σ7-7σ5+14σ3-7σ,

z8+1/z8=σ8-8σ6+20σ4-16σ2+2,

z9+1/z9=σ9-9σ7+27σ5-30σ3+9σ,

z10+1/z10=σ10-10σ8+35σ6-50σ4+25σ2-2,

…………………………………………

Степень возвратного многочлена, а значит и уравнения, определяется как самая высокая степень при одном одночлене всего многочлена. Для многочлена (уравнения) нечетной степени сначала проводится деление на z+1 (согласно теореме о возвратных многочленах нечетной степени), а затем уже заменяется выражениями от z.

 

2.1.1.Уравнения высших степеней (возвратные)

 

Задача: Решить уравнение 12z4-16z3-11z2-16z+12=0.

Решение: Это уравнение имеет в левой части возвратный многочлен, т.е. является возвратным и имеет четную степень 4. Преобразуем его левую часть:

12z4-16z3-11z2-16z +12 = z2(12z2-16z-11-16*1/z+12*1/z2) =

= z2[12(z2+1/z2)-16(z+1/z)-11] = z2[12(σ2-2)-16σ-11]=z2(12σ2-16σ - 35).

Так как  z=0  не является корнем исходного уравнения,  то мы приходим к квадратному уравнению относительно σ:12σ2-16σ-35=0.

Решим его.

Д=b2-4ac=162-4*12*(-35)=256+1680=1936.

σ1= (-b+√Д)/2a = (16+44)/2*12=60/24=5/2.

σ2 = (-b - √Д)/2a= (16- 44)/2*12= -28/24= -7/6.

Таким образом, для нахождения  корней первоначального уравнения мы    получаем две системы:  z+ 1/z= -7/6, z+1/z= 5/2.

Решая их, получаем четыре корня исходного уравнения:

z1, 2= (- 7±i√95)/12, z3=2, z4=½

Ответ: (- 7+i√95)/12; (- 7 - i√95)/12; 2; ½.

Задача 2: Решить уравнение

4z11+4z10-21z9-21z8+17z7+17z6+17z5+17z4-21z3-21z2+4z+4=0.

Решение: Это возвратное уравнение нечетной степени 11.

Согласно теореме разделим его левую часть на z+1:

4z11+4z10-21z9-21z8+17z7+17z6+17z5+17z4-21z3-21z2+4z+4=  

= (z+1) (4z10-21z8+17z6+17z4-21z2+4).

Таким образом, мы получили два уравнения(т.е. систему уравнений):

   z+1 = 0,

    4z10-21z8+17z6+17z4-21z2+4=0.

Первое имеет корень z1= -1. Второе - представляет собой возвратное уравнение, левую часть которого мы преобразуем:

4z10-21z8+17z6+17z4-21z2+4=z5(4z5-21z3+17z+17*1/z – 21*1/z3+4*1/z5)=

= z5[4(z5+1/z5) - 21(z3+1/z3)+17(z+1/z)]=z5[4(σ5-5σ3+5σ) - 21(σ3-3σ)+17σ]=

=z5(4σ5 – 41σ3+100σ).

Так как z=0 не является корнем исходного уравнения, то мы приходим к следующему уравнению:

4σ5 – 41σ3+100σ = 0.

Вынесем σ за скобки:

 σ (4σ4 – 41σ2+100) = 0.

σ =0 или 4σ4 – 41σ2+ 100 = 0. Решим биквадратное уравнение, заменяя

 σ2 = t, σ= ± √t,

4t2 – 41t + 100 = 0.

 Д=b2-4ac= (-41)2- 4 * 4 * 100 = 1681 – 1600 = 81

 t1, 2 = (-b ± √Д)/2a= (41±√81)/2*4 = (41±9)/8;

    t1 = 50/8 = 25/4,

    t2 = 32/8 = 4.

  σ1, 2 = ± √25/4 =  ± 5/2, σ3, 4 = ± √4 = ± 2.

Итак, мы получили пять корней:

 σ=0, σ= 5/2, σ= -5/2, σ=2, σ= -2;

Следовательно, мы имеем пять уравнений:

z+1/z=0,              z+1/z= -5/2,            z+1/z= 5/2,      z+1/z= 2,         z+1/z= - 2.

Решая их и учитывая корень z1 = - 1, получим одиннадцать корней исходного уравнения:

z1= -1,               z2=i,                z3= -i,                       z4= -2,                    z5= -½,                                                        z6=2,    z7=½,                      z8=z9= -1,                z10=z11=1.