Примеры решения прикладных задач

Содержание

Введение

1. Производная и ее  применение для решения прикладных  задач

1.1 Исторические сведения

1.2 Понятие производной,  ее геометрический и физический  смысл

1.3 Дифференциал

2. Перечень прикладных  задач

3. Примеры решения прикладных  задач

3.1 Исследование функций  и построение их графиков.

3.2 Нахождение наибольшего  и наименьшего значения функции,  решение прикладных задач (задач  на оптимум).

3.3 Определение периода  функции

3.4 Нахождение приближенных  значений функции

3.5 Нахождение величины  угла между прямыми и кривыми.

3.6 Разложение на множители  и упрощение выражений.

3.7 Вычисление суммы

3.8 Сравнение чисел и  доказательство неравенств

3.9 Решение неравенств

3.10 Доказательство тождеств

3.11. Решение уравнений

Заключение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

  Из всех теоретических успехов знания вряд ли какой-нибудь считается столь высоким триумфом человеческого духа, как изобретение исчисления бесконечно малых во второй половине XVII века.

  Применение производной позволяет более эффективно решать многие задачи повышенной сложности. Применение производной для решения задач требует от учащихся нетрадиционного мышления. Следует отметить, что знание нестандартных методов и приемов решения задач способствует развитию нового, нешаблонного мышления, которое можно успешно применять также и в других сферах человеческой деятельность (вычислительная техника, экономика, физика, химия и т.д.) Это доказывает актуальность данной работы.

Цель данной работы: изучение применения производной для решения задач по алгебре и началам анализа, физике, экономике; углубление и расширение знаний по теме «Производная». При изучении изменяющихся величин очень часто возникает вопрос о скорости, о быстроте происходящего изменения. Так мы говорим о скорости движения самолета, поезда, автобуса, ракеты, о скорости падения камня, вращения шкива и т.д. Можно говорить о скорости выполнения определенной работы, о скорости протекания химической реакции, о быстроте роста населения в данном городе. О скорости можно говорить по отношению к любой величине, которая изменяется с течением времени. Для всего этого используется понятие производной.

Физические производные  величины:

υ(t) = х/(t) – скорость

a (t)=υ/ (t) - ускорение

J (t) = q/(t) - сила тока

C(t) = Q/(t) - теплоемкость

d(l)=m/(l) - линейная плотность

K (t) = l/(t) - коэффициент линейного расширения

ω (t)= φ/(t) - угловая скорость

а (t)= ω/(t) - угловое ускорение

N(t) = A/(t) - мощность

Дифференциальное исчисление широко применяется для экономического анализа как математический аппарат. В экономике очень часто требуется  найти наилучшее или оптимальное  значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой  функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.

Производная в экономических  формулах:

П (t) = υ / (t) - производительность труда,

где υ (t) - объем продукции

J(x) = y / (x) - предельные издержки производства,

где y– издержки производства в зависимости от объема выпускаемой продукции x.

В работе рассмотрены прикладные задачи, способы решения которых можно использовать для решения нестандартных задач по алгебре и началам анализа, при подготовке к государственной итоговой аттестации, внешнему независимому оцениванию. Достаточно большое число задач раскрывают потенциальные возможности анализа бесконечно малых величин.

1. Производная и ее  применение для решения прикладных  задач

1.1 Исторические сведения

Ряд задач дифференциального  исчисления был решен еще в  древности. Они встречались у  Евклида. Ряд таких задач был  решен Архимедом, разработавшим  способ проведения касательной, примененный  им к спирали, но применимый для других кривых. Основное понятие дифференциального  исчисления – понятие производной  – возникло в XVII в. В связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики. Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем на основе двух задач: 1) о разыскании касательной к произвольной линии2) о разыскании скорости при произвольном законе движения. Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

1.2 Понятие производной,  ее геометрический и физический  смысл

Понятие производной

Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в промежутке (a; b), и пусть х0 - произвольная точка этого промежутка

Дадим аргументу x приращение ∆x, тогда функция y = f(x) получит приращение ∆y = f(x + ∆x) - f(x). Предел, к которому стремится отношение ∆y / ∆x при ∆x → 0, называется производной от функции f(x).

y'(x)=

Геометрический смысл  производной состоит в том, что  она равна угловому коэффициенту касательной. Рассмотрим график функции  (рис.). Видно,

что  , т.е. это отношение равно угловому

коэффициенту секущей  mm. Если  , то секущая, поворачиваясь вокруг точки М, в пределе переходит в касательную  , так как касательная является предельным положением секущей, когда точки пересечения сливаются.

Таким образом, .

Уравнение касательной

, где  - координаты точки касания,

а  - текущие координаты точки касательной прямой.

Физический смысл производной заключается в скорости изменения функции.

-нахождение угла между  пересекающимися прямыми, между  графиками функций;

-исследование и построение  графиков функций;

-решение задач на  оптимум;

-преобразование алгебраических  выражений;

-разложение многочлена  на множители;

-доказательство тождеств;

-вычисление сумм;

-решение уравнений;

-приближенные вычисления  и оценка погрешностей;

-доказательство неравенств  и тождеств;

-решение систем уравнений;

-решение задач с параметрами;

-отбор кратных корней  уравнения;

-сравнение величин;

-определение периода  функции;

-нахождение пределов  функции с помощью правила  Лопиталя;

-разложение функций  в ряд с помощью формулы  Тейлора;

-приближенное решение  уравнений методом проб, хорд  и касательных;

-линеаризация алгебраических  функций и многое другое.

3. Примеры решения прикладных  задач

3.1 Исследование функций  и построение их графиков

Пример 1

Исследовать и построить  график функции

Решение.

1. Функция существует  для всех  .

2. Функция не является  ни четной, ни нечетной,

так как

,

то есть  и  .

3. В точке х=0 функция  имеет разрыв в точке х=0.

При этом 

4. Находим производную:  и приравниваем ее к нулю:

. Точка  будет критической.

Проверим достаточные  условия экстремума в точке  . Так как знаменатель производной всегда положителен, то достаточно проследить за знаком числителя. Получаем:  при  и  при  . Следовательно, в точке функция имеет минимум, ее значение в точке  .

5. Точек пересечения  с осью ОY нет, так как данная функция не определена при х=0. Чтобы найти точки пересечения кривой с осью ОХ, нужно решить уравнение  .

Тогда  или  .

Получим, что при  функция убывает; х= y=0;  функция убывает; при  функция убывает; при х= функция имеет минимум y=3; при  функция возрастает.

График данной функции  представлен на рисунке.

Кривая, рассмотренная в  этой задаче называется «Трезубец Ньютона».

3.2 Нахождение наибольшего  и наименьшего значения функции,  решение прикладных задач (задач  на оптимум)

Пример 1

Из бревна, имеющего радиус R, сделать балку наибольшей прочности.

Решение:

Составляем функцию, выражающую необходимое условие.

В данной задаче высота балки (представляющей собой прямоугольник, вписанный в окружность радиуса R и ширины х), равна  . Поэтому прочность такой балки равна  . При этом х изменяется от 0 до 2R.

Функция  обращается в нуль при х=0 и х=2R и положительна между этими значениями. Значит, она имеет максимум, лежащий между 0 и 2R. Но производная этой функции  обращается в нуль на отрезке  лишь при  . Это и есть оптимальное значение ширины b балки. Высота h балки такой ширины равна  и отношение  равно  . Именно такое отношение высоты вытесываемой балки к ее ширине предписывается правилами производства строительных работ.

3.3 Определение периода  функции

Пример 1.

Является ли периодической  функция  ?

Решение

Воспользуемся следующим  утверждением: если дифференцируемая в каждой точке числовой прямой функция  имеет период Т, то ее производная также имеет период Т.

Предположим, что данная функция  является периодической с периодом Т.

Применяя формулу

,

получаем

где  .

Имеем

Поскольку по предположению  функция  имеет период Т, то функция  , а следовательно, и функция  также имеют период Т.

Значит, и функция 

Также имеет период Т. Отсюда следует, что существует число  ,  , такое, что Т= . Аналогично показывается, что существует число  , такое, что Т= .

Но тогда 

т.е. число  является рациональным, что неверно. Следовательно, данная функция НЕ является периодической.

3.4 Нахождение приближенных  значений функции

Пример 1.

Найти приращение и дифференциал функции в точке х=2 при  и при  . Найдите абсолютную и относительные погрешности, которые мы допускаем при замене приращения функции ее дифференциалом.

Решение

При х=2 и  имеем

Абсолютная погрешность 

Относительная погрешность  то есть относительная погрешность будет около 4%.

При х=2 и  имеем

Абсолютная погрешность  а относительная погрешность  то есть относительная погрешность будет уже около 0,4%.

Пример 2

Пользуясь понятием дифференциала  функции вычислите приближенно изменение, претерпеваемое функцией  при изменении х от значения 5 к значению 5,01.

Решение.

В данном случае будем считать  х=5, а  . Изменение функции

3.5 Нахождение величины  угла между прямыми и кривыми.

Углом между графиками  функций  и  в точке их пересечения называется угол между касательными к их графикам в этой точке (рис.).

Пример 1.

Найти угол между графиками  функций  и 

в точке их пересечения (с положительной абсциссой).

Решение.

Абсциссы точек пересечения  данных графиков удовлетворяют уравнению

И тем самым следующей  системе: 

Отсюда находим, что графики  функций пересекаются в двух точках, абсциссы которых равны 0 и 2. Найдем тангенсы углов наклона касательных  к обоим графикам функций в  точке с абсциссой, равной 2. Имеем

Отсюда  и  Так как  , то уравнения касательных к графикам функций  и  в точке (2;2) соответственно имеют вид

и 

т.е.

и 

Следовательно, величина угла  между касательными удовлетворяют уравнению

3.6 Разложение на множители  и упрощение выражений.

Пример 1.

Разложить на множители  выражение

.

Решение:

Считая х переменной величиной, рассмотрим функцию  . Имеем  .

.

Получаем  , где С не зависит от х, но зависит от y и z.

Так как последнее равенство  верно при любом х, то, полагая, например, в нем х=0 и учитывая, что  , найдем  .

Таким образом,

Итак,  = .

3.9 Решение неравенств

Пример 1.

.

Решение

Найдем участки возрастания  и убывания функции  . Производная  этой функции равна  . Так как дискриминант квадратного трехчлена  является отрицательным числом и коэффициент при  этого квадратного трехчлена больше нуля, то для каждого действительного х имеем неравенство  .

Таким образом, функция  является непрерывной и возрастающей на всей числовой прямой; поэтому ее график может пересекать ось ОХ только в одной точке.

3.10 Доказательство тождеств

Пример 1.

Решение

Рассмотрим функцию

.

При х=1 имеем  . Пусть  ; тогда

и

Поэтому  следовательно, функция  при  является тождественно равной постоянной. Чтобы найти эту постоянную, вычислим, например,  ; имеем:

.

Таким образом, данное тождество  доказано для всех  .

3.11. Решение уравнений

Пример 1.

Решение

Переписав данное уравнение  в виде

, заметим, что его корнями являются  абсциссы точек пересечения или  касания графиков функций  и  .

Для выяснения взаимного  расположения графиков этих функций  найдем их точки экстремумов.

Так как  , то эта функция достигает своего наименьшего значения, ровно 1, в точке х=1. Область существования функции  состоит из всех х таких, что  . Так как

то  при  ,

при  ,

при  .

Так как функция  непрерывна на  , то отсюда заключаем, что функция  возрастает на промежутке  и убывает на промежутке  . Следовательно, точка х=1 является наибольшим значением функции  на ее области существования.

Таким образом, при любом 

,

.

Следовательно, уравнение  имеет один единственный корень х=1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

В ходе написания работы были использованы такие ключевые понятия  дифференциального исчисления как  производная, дифференциал, геометрический и физический смысл производной, касательная к графику функции  и многое другое, которые используются для решения прикладных задач  в математике, физике, экономике. Установили, что Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).  А также процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.