Проблема определения предмета математики

 

УО “ПОЛОЦКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ”

 

КАФЕДРА СОЦИАЛЬНО-ГУМАНИТАРНЫХ ДИСЦИПЛИН

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РЕФЕРАТ ПО ФИЛОСОФИИ  И МЕТОДОЛОГИИ НАУКИ

 

 

Тема

“Проблема определения  предмета математики”

 

 

 

 

 

 

 

 

Магистрантки

Фамилия           Сальникова

Имя  Лидия  

Отчество  Петровны 

Кафедра вычислительных

систем и сетей

 

 

 

 

 

Новополоцк, 2013 

Содержание

Введение 3

1. Период зарождения математики 5

2. Предмет математики в период с VI в. до н. э. до XVI в. н. э 9

3. Эволюция математики в период с XVII в. до XX в. 15

4. Современные научные представления о предмете математики 19

Заключение 24

Список литературы 25

 

 

Введение

 

Еще с древних времен человеческое познание окружающего мира приобрело двустороннюю направленность. С одной стороны, стремление понять, из чего состоит все многообразие материальной действительности, выявить первичные мельчайшие элементы разнообразного мира вещей. С другой стороны, человек стремится понять мир как нечто целое, единое, объединенное в систему.

Любой объект, не зависимо от того созданный  природой или человеком, можно рассматривать как сложную систему, составленную из отдельных элементов, взаимодействующих между собой.

Математика представляет собой  значительную часть в общей сумме  человеческих знаний, и она приспособлена  к обслуживанию самых разнообразных  областей науки и практической деятельности людей. Однако вопрос о предметности математики не решен и по сей день.

Науки принято делить на естественные и гуманитарные. Следуя этой классификации, ответить на вопрос о предметности многих наук не составляет труда. Естественные науки (химия, физика, биология и другие) – разделы науки, отвечающие за изучение внешних по отношению к человеку природных явлений. Происхождение естественных наук связано с применением философского натурализма к научным исследованиям. Принципы натурализма требуют изучать и использовать законы природы, не привнося в них законы, вводимые человеком. Гуманитарные науки (история, филология, педагогика и другие) – дисциплины, изучающие человека в сфере его духовной, умственной, нравственной, культурной и общественной деятельности. Получается, что главным критерием, разделяющим науки на два больших (а ранее и вовсе непересекающихся) класса, является их предмет изучения.

Вполне закономерно  задать себе следующий вопрос: а  к какому классу наук относится математика? И так же логично предположить, что ответ на этот вопрос можно  получить лишь после осознания предмета математики.

С одной стороны, казалось бы, математика уж точно не изучает человека и его деятельность, а значит, и относить ее стоит к естественным наукам, но как же тогда принципы натурализма? Кант, к примеру, и вовсе отрицал, что математические построения отражают свойства объективной реальности, полагая, что геометрическое пространство реально вне нас не существует [1, с. 53]. Так, представление об отрезке дает туго натянутая нить, но при этом мы абстрагируемся от ее толщины, длины и считаем возможным мыслить ее неограниченно, продолженной в обе стороны – при этом получаем прямую. Однако в действительности же никто такую прямую «в глаза не видывал», «в руки не брал», «не переносил с одного места на другое» [2, с. 4].

Получается, что математику нельзя отнести ни к естественным наукам, ни к гуманитарным, поэтому ученые предложили выделять еще один класс наук – математические науки, однако вопрос о предметности математики это предложение не сняло, и по сей день он остается открытым.

Целью данной работы является рассмотреть, как ученые различных эпох, начиная от древности и до наших дней, давали определение математики как науки, и в контексте этого усмотреть их точку зрения на предмет математики.

Мы совершим экскурс  в историю развития математики и  философии, и проследим, как происходило  становление предмета математики. Как отмечает профессор О.И. Мельников с точки зрения взаимодействия непрерывной и дискретной математики, опираясь на периодизацию, сделанную академиком А.Н. Колмогоровым, историю математики можно разделить на четыре основных периода, причем начало каждого периода ознаменовалось выдающимися научными достижениями, определявшими переход математики в новое качественное состояние: 1) зарождение математики (до VI в. до н.э.); 2) элементарная математика (с VI в. до н.э. до XVI в. включительно); 3) математика переменных величин (с XVII в. до XX в.); 4) современная математика (с XX в. до настоящего времени) [3, с. 359-402].

 

1. Период зарождения математики

 

Ретроспективный взгляд на развитие философии и математики говорит о том, что обе науки  претерпевали различные этапы своего становления.

Период зарождения математики начался с древнейших времен и  закончился в VI в. до н.э. Это был период накопления фактического материала, тесно связанного с потребностями хозяйственной жизни – развитием ремесла, земледелия, обмена и торговли, исчислением податей, обеспечением войска продовольствием и оружием, измерением площадей земельных участков и объемов сосудов и т.д. Накопленные эмпирические знания подвергались систематизации, что привело к выделению особого вида понятий и методов решения задач, явившихся зачатками будущей математической науки.

Первоначальные представления человека о числе и форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века – палеолита. «Пока не произошел переход от простого собирания пищи к активному ее производству, от охоты и рыболовства к земледелию, люди мало продвинулись в понимании числовых величин и пространственных отношений, - пишет голландский математик и историк Д. Стройк. - Лишь с наступлением этого фундаментального перелома, переворота, когда пассивное отношение человека к природе сменилось активным, произошло вступление в новый каменный век, в неолит» [4, с. 21]. Первобытный человек постепенно стал различать понятия единица и много, когда он обычно выхватывал один предмет из некоторого множества, как отмечал русский математик В.В. Бобынин [5, с. 57]. «По мнению профессора А.Н. Сендер, в течение тысячелетий возникали операции, которые в дальнейшем легли в основание математики. К таким операциям относятся: разделение целого на части, составление нового целого из частей, установление однозначного соответствия, простейшие парные отношения и т.д. В связи с необходимостью определять количество различных объектов появляются числа» [2, с. 5].

Наряду с появлением числа возникла и необходимость измерять длину и емкость предметов. Но в то время единицы измерения были грубы, и при этом часто исходили из размеров человеческого тела, например, палец, фут (то есть ступня), локоть. Когда начали строить дома, появилась необходимость вырабатывать правила: как строить по прямой линии и под прямым углом. Так английское слово «straight» (прямой) родственно глаголу «stretch» (натягивать), что указывает на использование веревки. Английское слово «line» (линия) родственно слову «linen» (полотно), что указывает на связь между ткацким ремеслом и зарождением геометрии.

«Человек неолита обладал  острым чувством геометрической формы. Обжиг и раскраска глиняных сосудов, изготовление камышовых циновок, корзин и тканей, позже – обработка  металлов, выработали представление о плоскостных и пространственных соотношениях… Первоначально ранние орнаменты, возможно, имели религиозное или магическое значение, но постепенно преобладающим стало их эстетическое значение» [4, с. 25-26].

На начальном этапе  становления математики, связанной с появлением числа – она носила дискретный характер. Но при решении многих практических задач, в которых приходилось проводить измерения длин, площадей, объемов происходило соприкосновение с непрерывными объектами: прямая линия, плоскость.

Говоря о восточной  математике, следует отметить, что она возникла, как прикладная наука, имевшая цель облегчить календарные расчеты, распределение урожая, организацию общественных работ.

Египтяне пользовались двумя системами письма: иероглифической (встречается на памятниках и могильных плитах), где каждый символ (пиктограмма) изображает какой-нибудь предмет, и иератической, где использовались условные знаки, происшедшие от иероглифов в результате упрощения и стилизации. Вторая система лучше приспособлена для письма от руки и чаще встречается на папирусах, которые являются основными источниками сведений о египетской математике. Самые известные среди таких папирусов – папирус Ринда, Московский папирус, Кожаный свиток египетской математики [14, с 84]. В папирусе Ринда приведены 84 задачи прикладного характера. Там имеются действия с дробями и вычисления площадей и объемов, задача на сумму геометрической прогрессии. В Московском папирусе содержатся решения 25 задач. Кроме задач, аналогичных задачам папируса Ринда, в нем есть задача на объем усеченной пирамиды с квадратным основанием и на площадь боковой поверхности полуцилиндра.

По утверждению китайского историка математики Ли Яня, математические познания китайцев восходят к XIV в. до и. э. В истории математики Древнего Китая имеются сведения о десятичной системе счета, об использовании вспомогательных счетных устройств (узелки, счетная доска), об оперировании циркулем, линейкой и угольником. Государственный деятель и ученый Чжан Цан собрал и систематизировал все известные в то время математические знания в собрании «Математика в девяти книгах». Состоит эта «Математика» из формулировок 246 задач, ответов к ним и правил решения типовых задач без выводов этих правил. Наряду с арифметико-алгебраическими задачами в Китае развивались элементы комбинаторики; был найден треугольник биномиальных коэффициентов. Попыток систематического дедуктивного построения математики в Древнем Китае не отмечено [14, с 93].

Самыми ранними памятниками математической культуры индийцев являются религиозные книги: Сутры и Веды. Их происхождение относят к VIII—VII вв. до н.э. В них описаны геометрические построения, первые способы вычисления площади круга. Европа заимствовала начала арифметики и алгебры у арабов (чем и объясняется название «арабские цифры»), а арабы, в свою очередь, заимствовали их у индийцев. Лаплас 200 лет назад писал: «Индия дала нам остроумный метод выражения всех чисел посредством десяти знаков, причем, кроме величины каждого знака, имеет значение и его расположение. Эта глубокая и важная мысль кажется нам сейчас настолько простой, что мы не замечаем ее истинных достоинств, но ведь сама ее простота и большая легкость, которую она придала всем вычислениям, делают нашу арифметику одним из самых полезных изобретений». Арифметика и вычислительные возможности интересовали индийцев несравненно больше, чем дедуктивные схемы рассуждений, и основной вклад они внесли именно в развитие арифметики и разработку практических приемов вычислений. Главной особенностью индийской математики является преобладание вычислительных приемов. Многие математические тексты написаны стихотворными размерами с целью, облегчить запоминание [14, c. 104].

Отличительной чертой всей математики Древнего Востока является отсутствие доказательств. Результаты предоставлялись сводом правил без обоснований их достоверности.

Как отмечают большинство  историков науки, появление математики как теоретической дисциплины можно  отнести к греческому периоду  ее развития, т.е. к VII – VI вв. до н.э. Д, Стройк пишет: «Первоначально греки занимались математикой, имея одну основную цель – понять, какое место занимает во вселенной человек в рамках некоторой рациональной схемы. Математика помогала найти порядок в хаосе, связать идеи в логические цепочки, обнаружить основные принципы. Она была наиболее теоретической из всех наук» [4, с. 54].

Появление математики как  систематической науки оказало  в свою очередь громадное влияние  на философское мышление, которое  оказалось в определенном смысле подчиненным математике. Познание того времени не выходило еще за рамки антропоморфного и мифологического объяснения природы. На фоне такого рода неустойчивых представлений математика появилась как знание особой природы, достоверность которого не вызывает никакого сомнения, исходные посылки которого ясны, а выводы совершенно непреложны.

«Неудивительно, что в  математике греки увидели не просто практически полезное средство, но, прежде всего, выражение глубинной  сущности мира, нечто связанное с  истинной и неизменной природой вещей. Они космологизировали и мистифицировали математику, сделав ее исходным пунктом во всех подходах к описанию действительности. Эта мистификация математики нашла свое выражение в философском учении Пифагора и его последователей. Основной тезис пифагореизма состоит в том, что «все есть число».

Греческая философия  того времени ориентировалась на отыскание первоосновы мира, начала, из которого можно было бы объяснить  все происходящее. Если Фалес таким  началом считал воду, Гераклит –  огонь, Анаксимандр – невидимые  частицы – апейроны, то для пифагорейцев именно числа играли роль такого начала, роль исходных сущностей, определяющих некоторым образом видимые явления и процессы. Чувственно воспринимаемые вещи стали истолковываться в своей структуре лишь как «подражание» числам, свойства их стали рассматриваться в соответствии со свойствами того или иного числа или числового соотношения, как проявление числовой гармонии» [6, с. 13-14].

У пифагорейцев философия  превратилась в мистику чисел  и геометрических фигур, убеждения в истинности некоторого утверждения об окружающем мире достигалось сведением его к числовой гармонии. Заимствованное из индийской философии учение о четырех стихиях природы, было тотчас же объединено с геометрическим фактом существования пяти правильных многогранников. Математические формы (числа и фигуры), будучи истолкованы в качестве глубинной основы вещей, превратилась и в универсальное орудие их понимания [6, с. 15-16].