Проблема определения предмета математики

Таким образом, в основу изучения окружающей действительности, а также математики легли элементы «дискретизации».

Все это свидетельствует  о довольно высоком уровне абстрактного мышления тогдашних математиков, которые выделили три центральных понятия: «фигура», «величина» и «число», нашли некоторые классы геометрических фигур (квадрат, прямоугольник, треугольник, прямоугольный параллелепипед, шар и т. д.), отметили типичные связи величин в материальном мире, зафиксировав их в виде типовых задач.

Однако, несмотря на накопление известного теоретического материала, математика того времени еще не была дедуктивной наукой – наряду с результатами, полученными путем тех или иных выводов, она содержала много эмпирических результатов, часть которых была даже ложной.

Задачи в древнеегипетских папирусах классифицировались не по методам решения, а по содержанию. Вместо доказательств писалось: «Делай, как делается», т. е. основой было не логическое рассуждение, а ссылка на авторитет предшественников. Основной задачей обучаемого было не понимание правил, а их запоминание.

К сожалению, до нас не дошли источники, по которым можно было бы судить, каким образом люди получили используемые ими в то время математические сведения: доказательств не было, указывались только правила для вычислений. Таким образом, что-либо о предмете математики в период ее зарождения сказать очень сложно, так как математика содержала много эмпирических результатов, доказательство которых не было проведена, а часть результатов была даже ложной. Только после накопления большого материала в виде разрозненных приемов арифметических вычислений, способов определения площадей и объемов и т. п. возникает математика как самостоятельная наука с ясным пониманием своеобразия ее метода и необходимости систематического развития ее основных понятий и предложений в достаточно общей форме.

2. Предмет математики в период с VI в. до н. э. до XVI в. н. э

Второй период развития математики это период элементарной математики. Он начался в VI в. до н. э. и закончился в XVI в. н. э. Следует отметить, что в этот период математика становится самостоятельной наукой, имеющей собственный предмет и метод. Элементарная математика – это математика, которая изучает все рассматриваемые ею величины, как постоянные.

Основным достижением  математической мысли, характеризующим  начало этого периода, было возникновение  и развитие понятия о доказательстве [8, с. 287]. Греческие математики сознательно стремились расположить математические доказательства в такие цепочки, чтобы переход от одного звена к следующему не оставлял никакого места сомнениям и заставлял всех с ним согласиться.

Первый из философов, применивший в математике доказательства, греческий ученый Фалес из Милета, который жил в VII—VI вв. до н.э. Фалес доказал некоторые простейшие геометрические утверждения: равенство углов при основании равнобедренного треугольника, равенство вертикальных углов, один из признаков равенства треугольников, равенство частей, на которые диаметр разбивает круг, и т. д. Созданный Фалесом метод логического доказательства математических утверждений был развит и усовершенствован учеными пифагорейской школы в период между концом VI в. и серединой V в. до н. э., которые доказали, в частности, утверждение, называемое теперь теоремой Пифагора (формулировка этого утверждения была известна еще вавилонянам).

Пифагорейцы предприняли  первую попытку свести геометрию  и алгебру того времени к арифметике. Они считали, что «все есть число», понимая под словом «число» лишь натуральные числа. В частности, пифагорейцы долгое время были убеждены, что длины любых отрезков соизмеримы друг с другом, а потому для измерения любых величин достаточно рациональных чисел [9, с. 348-359].

Поворотным пунктом  было открытие пифагорейцами того, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Это открытие, сделанное на основе теоремы Пифагора, показало несостоятельность попытки  свести всю геометрию к натуральным числам. Анализ полученного доказательства привел к исследованию начальных вопросов теории чисел (четности и нечетности простых чисел, разложения чисел на простые множители, свойств взаимно простых чисел и т. д.).

После работ Пифагора стало ясно, что не все величины выражаются рациональными числами. Понятие иррационального числа не могло быть создано в ту эпоху, поэтому была предпринята иная попытка – обосновать всю математику на основе геометрических понятий. Они стали развивать геометрическую алгебру, истолковывая, например, сложение величин, как сложение отрезков, а умножение – как построение прямоугольника с заданными сторонами [9, с. 402-416]. При этом говорили о равенстве отрезков, а не о равенстве их длин, поскольку длина отрезка выражается числом, а числа были изгнаны из древнегреческой математики. Следы такого подхода к алгебре сохранились в современных терминах квадрат числа, куб числа, геометрическое среднее, геометрическая прогрессия и т. д.

Древнегреческие математики продвинулись очень далеко. Они провели, например, классификацию квадратичных иррациональностей, открыли все виды правильных многогранников, вывели формулы для объемов многих тел, исследовали разнообразные кривые линии (эллипс, гиперболу, параболу, спирали). Выдающуюся роль в формировании математики как теоретической науки сыграла знаменитая книга Евклида «Начала», представлявшая синтез и систематизацию основных результатов древнегреческой математической мысли и длительное время служившая источником знаний и образцом строгого математического изложения [10].

Книга Евклида является первой из дошедших до нашего времени  попыток аксиоматического изложения  математической дисциплины. Хотя во времена  Евклида не вставал еще вопрос об описании логических средств, применяемых  для извлечения содержательных следствий из аксиом, в системе Евклида была уже четко проведена основная идея получения всего основного содержания геометрической теории чисто дедуктивным путем из небольшого числа утверждений – аксиом, истинность которых представлялась наглядно очевидной.

В XIX в. было показано, что список аксиом Евклида неполон и многие теоремы он доказывал, привлекая утверждения, не вошедшие в этот список. Не было у Евклида и аксиом порядка. Признаки же равенства треугольников доказывались на основе понятия наложения фигур, т. е., по сути дела, на основе идеи движения, относящейся скорее к механике, чем к математике [10].

В течение двух тысячелетий  основное внимание критиков и комментаторов  Евклида было направлено на аксиому  о параллельных, поскольку предполагалось, что ее можно доказать на основе остальных аксиом. Лишь открытие в начале XIX в. неевклидовой геометрии показало безнадежность попыток такого доказательства.

На формулировку аксиом Евклида сильное влияние оказали  длившиеся долгое время споры между сторонниками и противниками атомизма. Атомисты (Демокрит, Левкипп) утверждали, что материя состоит из неделимых атомов, причем существует предел делимости пространства (т. е. что и пространство состоит из неделимых далее частиц). Их противники полагали, что пространство безгранично делимо и потому недопустимо считать, что линии состоят из точек, поскольку точки не имеют ни частей, ни размеров, а линии имеют определенную длину.

Хотя атомисты достигли больших успехов в геометрии (например, Демокрит вывел формулу объема пирамиды), их попытки дать логическое обоснование геометрии не увенчались успехом. Дело в том, что из атомистических воззрений вытекала соизмеримость любых двух отрезков, а это противоречило известной уже в то время теореме о несоизмеримости стороны и диагонали квадрата. В то же время Евклиду удалось построить логически замкнутую систему геометрии, в которой считалось, что любой отрезок безгранично делим, а потому не существует неделимых элементов пространства.

Книга Евклида подвела  также итог длительному развитию идеи бесконечности, приведшему к формированию, с одной стороны, понятия о бесконечном ряде натуральных чисел, а с другой – понятия о безгранично делимых геометрических фигурах (отрезках, кругах и т. д.). Однако бесконечность понималась лишь как потенциальная возможность продолжать определенный процесс (прибавления единицы к натуральному числу, деления пополам отрезка и т. д.). Идея об актуальной (законченной) бесконечности изгонялась из работ Евклида и его последователей (Архимеда, Аполлония и др.). Эта идея была дискредитирована в результате открытия греческим философом Зеноном затруднений, к которым вело ее использование. Например, Зенон «доказывал», что стрела не может пролететь свой путь, поскольку она должна сначала пролететь половину пути, а до этого – половину половины и т. д. – значит, он никогда не сдвинется с места.

Поэтому формулы для  объема шара и конуса, площади круга  и т. д. излагались без применения предельного перехода, без разложения на бесконечно малые части, хотя для отыскания этих формул математики применяли «запрещенные приемы». Архимед решил такие сложные для тогдашней математики задачи, как отыскание объема сегмента параболоида вращения и площади сектора архимедовой спирали.

Недостатком геометрического  подхода к математике было то, что он препятствовал развитию алгебры (хотя греки и умели, например, в геометрической форме решать квадратные уравнения) – невозможно было представить геометрически четвертую и высшие степени длины, а, кроме того, нельзя было складывать выражения разных степеней: эта сумма геометрического смысла не имела.

По той же причине  в греческой математике не было отрицательных  чисел и нуля, иррациональных чисел  и буквенного исчисления. Лишь в III в. н. э. в работах александрийского математика Диофанта появляются зачатки буквенного исчисления. Но этим работам не суждено было иметь продолжения в греческой математике, так как после принятия христианства в V в. н. э. языческая культура, составной частью которой была математика, оказалась разрушенной, а в 529 г. император Юстиниан под страхом смертной казни запретил занятия математикой.

Центр математических исследований переместился на Восток – в Индию, Китай и арабский мир. Индийские математики ввели нуль и отрицательные числа, проводили исследования по комбинаторике (Ариабхатта, V в. н. э.). Основной заслугой арабских математиков (аль-Беруни, Омар Хайям, Гиясэддин Джемшид, IX—XIII вв. н. э.) следует считать развитие тригонометрии (в связи с астрономическими исследованиями) и, особенно, создание новой области математики – алгебры.

Алгебра, которую теперь рассматривают  как общее учение о формальных действиях и их свойствах, появилась  у арабов как наука о решении  уравнений. Само слово «алгебра»  арабского происхождения и означало «восстановление», т. е. перенос отрицательных слагаемых в другую часть уравнений.

С начала XIII в. вновь возрождаются математические исследования в Европе. Но лишь в XVI в. были получены первые научные результаты, превзошедшие достижения греков и арабов, – итальянские математики дель Ферро, Тарталья, Кардано, Феррари и др. вывели формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней. Одновременно с этим формируется система алгебраических обозначений, словесная алгебра постепенно заменяется буквенной. В начале XVII в. в трудах французских и английских математиков (Виета, Декарта, Гэрриота) завершается развитие алгебраической символики, создаются правила буквенного исчисления. Одновременно с развитием символики происходит расширение понятия о числе: еще в середине XVI века в математике окончательно утверждаются отрицательные числа, а вскоре за тем появляются и комплексные числа (хотя они долгое время не находили признания, поскольку не допускали истолкования известными в то время средствами). При этом оказалось, что правила буквенной алгебры в равной мере применимы к числам любого вида.

Этот период характеризуется  тем, что математика выступает как  самостоятельная научная дисциплина, имеющая свой предмет (число, фигура) и свои методы исследования. Возникает  новая математическая дисциплина – алгебра, характеризующаяся специальной символикой. Возникли знаменитые задачи древности – квадратура круга, трисекция угла, удвоение куба, были построены первые иррациональные числа. Был написан первый систематический учебник геометрии, предложены методы определения объёмов тел, разработана теория пропорций [14, с. 165].

Значительного развития достигла математика в древних Китае и Индии. Китайским математикам свойственны высокая техника производства вычислений и интерес к развитию общих алгебраических методов. Индийской математике принадлежит заслуга употребления современной десятичной нумерации, а также нуля для обозначения отсутствия единиц данного разряда, и заслуга более широкого развития алгебры, оперирующей не только с положительными рациональными числами, но также с отрицательными и иррациональными числами.

Интенсивные торговые отношения  между арабскими территориями привели  к расцвету науки: впервые была изложена алгебра как самостоятельная  наука; многие геометрические задачи получили алгебраическую формулировку; были введены в рассмотрение десятичные дроби, вычислено число с семнадцатью верными десятичными знаками.

3. Эволюция математики в период с XVII в. до XX в.

В XVII в. начинается новый период истории математики – период математики переменных величин. Его возникновение связано, прежде всего, с успехами астрономии и механики. Математика переменных величин – это математика, которая изучает величины, характеризующиеся множеством значений, которые они могут принимать.

К XVII – XX вв. в среде ученых выделяются те, кто непосредственно стал заниматься только философскими вопросами и проблемами. Одного из этой плеяды философов, пожалуй, можно выделить Г.Ф. Гегеля (1770 – 1831), который использовал прерывность и непрерывность, причем рассматривая оба понятия в их диалектической взаимосвязанности, для разработки своей диалектики.

Одним из основных достижений этого периода явилось введение общего понятия функции, сделанное в конце XVII в. немецким математиком и философом Г. В. Лейбницем [3, с. 340]. В этом понятии нашла свое отражение общефилософская идея о всеобщей связи явлений материального мира.

Следует отметить, что  математические понятия переменной и функции представляют собой не что иное, как абстракции конкретных переменных величин (координат, скорости и ускорения движущегося тела и т. д.) и конкретных зависимостей между ними (например, законов движения планет вокруг Солнца или законов свободного падения). Значениями математической переменной являются числа, служащие отвлеченным образом значений любой переменной. Исследование общих свойств зависимостей между, переменными величинами привело к созданию математического анализа.