Проблема определения предмета математики

Положение вещей изменила научная революция XVII века. В производство стали внедрять все более сложные машины и вопросы прогрессирующей техники уже не могли быть разрешены только с помощью средств геометрии и элементарной математики. Переворот в математике был произведен трудом Декарта «Геометрия», выросшим из его концепции «универсальной математики», к которой следовало бы, по его мнению, отнести не только арифметику и геометрию, но и астрономию, механику, оптику, музыку. Декарт писал: «К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера и совершенно не существенно будут ли это число, фигура, звезды, звуки или что-нибудь другое» [11, с. 176]. В качестве применения своего общего метода объединения, в данном случае объединения алгебры и геометрии, Декарт опубликовал свою «Геометрию». В своей аналитической геометрии Декарт изучает различные кривые как линии, получаемые движением точек: последние же определяются координатами – числами, выступающими в роли переменных величин.

Кеплер в 1609-1619 гг. открыл и математически сформулировал законы движения планет. Галилей к 1638 г. создал механику свободного движения тел, основал теорию упругости, применил математические методы для изучения движения, для отыскания закономерностей между путем движения, его скоростью и ускорением. Ньютон к 1686 г. сформулировал закон всемирного тяготения.

Для ликвидации разрыва  между понятием непрерывной величины и понятием числа Декарт выражает любую величину отрезком прямой. Он вводит единичный отрезок, и тем самым каждому арифметическому действию над числами ставит в соответствие геометрическую операцию (построение) с отрезками. «Таким образом, рассматривая каждое вещественное число как отрезок, вводя отрезок – единицу исчисления отрезков и давая наглядную интерпретацию отрицательных чисел, Декарт фактически заполнил разрыв между понятиями числа и геометрической величины и открыл путь к полному признанию как иррациональных, так и отрицательным чисел, к обобщению понятия числа и к новому его определению» [11, с. 213-220].

Декарт, как и многие другие великие математиками семнадцатого века, искал общий метод мышления, который бы позволял быстрее делать изобретения и выявлять истину в науке. Так как единственной наукой о природе, обладающей в известной мере систематическим строением, была тогда механика, а ключ к пониманию механики давала математика, то математика стала наиболее важным средством для понимания вселенной. Кроме того, математика со своими убедительными утверждениями сама была блестящим примером того, что в науке можно найти истину. Таким образом, механическая философия этого периода приводила к выводам, сходным с тем, к которому пришли платоники, но исходя из других соображений. И платоники, верившие в авторитет, и картезианцы, верившие в разум, считали математику царицей наук [4, с. 47].

Вместе с этим Декарт дает определение предмета математики как некой общей науки, объясняющей  все относящееся к порядку  и мере, не входя в исследование никаких частных предметов. Хотя Декарт все еще и утверждает, что  математика должна стать главным  средством познания природы, однако само понятие «природы» Декарт существенно преобразовал, оставив в нем только те свойства, которые составляют предмет математики: протяжение (величину), фигуру и движение [11, с 116].

Чтобы понять, каким образом  Декарт дал новую трактовку понятия природы, а также для более глубокого понимания предмета математики по Декарту, рассмотрим особенности его метафизики.

Центральным понятием метафизики является понятие субстанции, корни  которого лежат в античной онтологии.

Декарт определяет субстанцию как вещь (под «вещью» в этот период понимали не эмпирически данный предмет, не физическую вещь, а всякое сущее вообще), которая не нуждается для своего существования ни в чем, кроме самой себя. Строго говоря, если исходить только лишь из этого определения, то субстанцией, по Декарту, является только Бог; а к сотворенному миру это понятие можно применить лишь условно, с целью отличить среди сотворенных вещей те, которые для своего существования нуждаются «лишь в обычном содействии Бога», от тех, которые для этого нуждаются в содействии других творений, а потому носят название качеств и атрибутов, а не субстанций [11, с. 197].

Декарт делит сотворенный  мир на два рода субстанций –  духовные и материальные. Важнейший  признак духовной субстанции – ее неделимость, главное определение материальной – делимость до бесконечности. Таким образом, основные атрибуты субстанций – это мышление и протяжение, а все остальные их атрибуты производны от этих первых. Нематериальная субстанция имеет в себе, согласно Декарту, идеи, которые присущи ей изначально, а не приобретены в опыте. К таким идеям Декарт относил идею Бога как существа всесовершенного, затем – идеи чисел и фигур, а также некоторые общие понятия, как, например, известную аксиому: «Если к равным величинам прибавить равные, то получаемые при этом итоги будут равны между собой» – или положение «Из ничего ничего не происходит» [11, с. 78]. Эти идеи и истины рассматриваются Декартом как воплощение естественного света разума.

То, что касается материальной субстанции, главным атрибутом которой является протяжение, то ее Декарт отождествляет с природой, и поэтому заявляет, что все в природе подчиняется чисто механическим законам, которые могут быть открыты с помощью математической науки.

Таким образом, предметом математики, исходя из определения природы по Декарту, являются все те «вещи», которые обладают величиной или протяжением и вместе с тем научное знание должно быть построено как единая система, а не выступать собранием случайных истин.

Декарт, в отличие от греческих математиков, сводивших алгебраические проблемы к геометрии, начал алгебраически решать геометрические задачи. Этим было положено начало аналитической геометрии.

Рассматривая вопросы  геометрии и механики в конце XVII в., английский физик и математик И. Ньютон и почти одновременно с ним Г. В. Лейбниц создали основы дифференциального и интегрального исчислений. Они и их ученики развили аппарат математического анализа, ставший одним из основных орудий в решении задач механики и гидродинамики, астрономии и оптики. Триумфом методов математического анализа явилось предсказание возвращения в 1759 г. кометы Галлея [4, с. 153]. Математический анализ был в ту эпоху основным каналом связи математики с естествознанием. Большие успехи в этом направлении были достигнуты в XVIII—XIX столетиях: математики научились решать уравнения в частных производных, к которым сводились многие вопросы математической физики, создали вариационное исчисление, позволившее решать экстремальные задачи, недоступные для первоначальных методов математического анализа, нашли истолкование и приложения для комплексных чисел. Большую роль в этих исследованиях сыграли работы члена Петербургской Академии наук Л. Эйлера.

В 1935 году во Франции выпускниками парижской Высшей нормальной школы  была основана группа математиков, выбравших себе весьма громкий псевдоним Николя Бурбаки. Изначально целью создания группы являлось написание книг, отражающих состояние современной на тот момент математики, основанной на теории множеств, однако позже участники этого союза стали заниматься и проблемами философии математики.

Теперь ответить на вопрос о предмете математики стало еще  сложней хотя бы потому, что со времен Декарта сфера математики существенно  расширилась. В своей статье «Архитектура математики» Н. Бурбаки задается вопросом: едина ли математика либо же «существуют несколько математик»? Выделяя три базовые структуры математики – алгебраическую, топологическую и структуры порядка, которые служат базисом, порождающим конкретные математические теории, Бурбаки все же выдвигает гипотезу о единстве математики, которая обосновывается единым аксиоматическим методом и единым предметом ее изучения – базовыми абстрактными структурами.

Таким образом, Бурбаки  дает определения математики как  «учения об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, – именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание теории».

То есть, если раньше считалось, что, например, арифметика – это  наука о числах, то теперь арифметика является скорее наукой о теоретико-числовых структурах. Тоже самое получалось и с геометрией: геометрия изучает не геометрические фигуры – ведь в идеале ту же прямую, окружность, точку никто никогда не встречал, а скорее базовые геометрические структуры с заданными заранее свойствами, характеризующие лишь только эти структуры. По своей онтологической природе структуры являются априорными конструкциями, и их совпадение с эмпирической реальностью чисто случайно. «В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм — математических структур, и оказывается (хотя, по существу, и неизвестно почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм» [14, с. 174].

В советское время  классическим определением математики считалось определение из Большой Советской Энциклопедии, данное А. Н. Колмогоровым: «Математика (греч. mathematike, от máthema — знание, наука) – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира».

«Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное». «Абстрактность математики, однако, не означает её отрыва от материальной действительности. В неразрывной связи с запросами техники и естествознания запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется, так что данное выше общее определение математики наполняется всё более богатым содержанием».

Это определение Энгельса, но Колмогоров поясняет, что все  использованные термины надо понимать в самом расширенном и абстрактном  смысле. Также указывалось, что это  определение вполне приемлемо для математики вплоть до начала XIX в., но оно неадекватно описывает математику более позднего периода. Что касается последующего ее развития, то для сохранения верности данного Колмогоровым определения требуется чрезвычайно расширительное толкование входящих в него терминов: только при достаточно «широком понимании терминов «количественные отношения» и «пространственные формы» приведенное в начале статьи определение математики применимо и на новом современном этапе ее развития».

Становится очевидным, что к рассмотрению предмета математики А. Н. Колмогоров подошел с позиций исторических, полагая, что дать адекватное формальное определение ее предмета просто невозможно. Он дал ее определение через ее историю. Итак, определение Ф. Энгельса Колмогоров использовал как раз для характеристики математики вплоть до конца XVIII в., чтобы противопоставить ее математике XIX-XX вв., которая уже не имеет своим единственным объектом «пространственные формы и количественные отношения действительного мира».

Этот период можно  охарактеризовать, как круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, уже не исчерпывается числами, величинами и геометрическими фигурами. В основном это было обусловлено явным введением в математику идей движения и изменения. Уже в алгебре в скрытом виде содержится идея зависимости между величинами (значение суммы зависит от значений слагаемых и т. д.). Однако чтобы охватить количественные отношения в процессе их изменения, надо было самые зависимости между величинами сделать самостоятельным объектом изучения. Поэтому на первый план выдвигается понятие функции, играющее в дальнейшем такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения, как ранее понятия величины или числа. Изучение переменных величин и функциональных зависимостей приводит далее к основным понятиям математического анализа, вводящим в математику в явном виде идею бесконечного, к понятиям предела, производной, дифференциала и интеграла. Создается анализ бесконечно малых, в первую очередь в виде дифференциального исчисления и интегрального исчисления, позволяющий связывать конечные изменения переменных величин с их поведением в непосредственной близости отдельных принимаемых или значений [14]. Основные законы механики и физики записываются в форме дифференциальных уравнений, и задача интегрирования этих уравнений выдвигается в качестве одной из важнейших задач математики. Разыскание неизвестных функций, определенных условиями другого рода (условиями минимума или максимума некоторых связанных с ними величин), составляет предмет вариационного исчисления. Таким образом, наряду с уравнениями, в которых неизвестными являются числа, появляются уравнения, в которых неизвестны и подлежат определению функции.

Предмет изучения геометрии  также существенно расширяется с проникновением в геометрию идей движения и преобразования фигур. Геометрия начинает изучать движения и преобразования сами по себе. Например, в проективной геометрии одним из основных объектов изучения являются сами проективные преобразования плоскости или пространства.

Рассмотрение переменных величин и связей между ними привело  к понятиям функции, производной и интеграла, к возникновению новой математической дисциплины – математического анализа. Введение и систематическое употребление координат дало универсальный метод перевода задач геометрии на язык алгебры и анализа, в результате чего возникли новые ветви геометрии – аналитическая геометрия, дифференциальная геометрия. Методы математического анализа, в особенности дифференциальные уравнения, стали основой математического описания законов механики и физики, а также технических процессов; с ними неразрывно связан прогресс естествознания и техники. Под влиянием математического анализа складываются новые области в смежных дисциплинах – аналитическая механика, математическая физика и т.д. Одним из основных достижений этого периода явилось введение общего понятия функции, сделанное в конце XVII в. немецким математиком и философом Г. В. Лейбницем.

4. Современные научные представления о предмете математики

Обратимся к работе А. Д. Александрова «О геометрии Лобачевского», в которой он утверждает, что до возникновения геометрии Лобачевского «математика была наукой о количественных отношениях и пространственных формах реальной действительности, рассматриваемых «в чистом виде», в отвлечении от всяких качеств». В этом утверждении он явно ссылается на определение предмета математики Колмогоровым и Энгельсом. Но после этого следуют главные слова: «Появление неевклидовой геометрии было важным шагом в превращении математики в науку о логически мыслимых формах и отношениях».

Е. Е. Семенов считает, что данное утверждение выражает предмет математики не только современного периода, но и долобачевского, а поэтому его можно взять за определение математики и приводит доказательства этому.[2, с. 3]

Во-первых, считает Е. Е. Семенов, Александров снял с определения Энгельса цепь материалистического догмата. В словах «математика есть наука о логически мыслимых формах (ЛМФ) и логически мыслимых отношениях (ЛМО)» нет отсылки к реальной действительности, а именно к пространственным формам и количественным отношениям».

Во-вторых, из сказанного следует, что у логически мыслимых форм и отношений могут быть реальные прообразы, но их может и не быть, в то же время даже при наличии реальных прообразов у исследуемых и рассматриваемых форм, вовсе не говорится о том, что эти формы не являются «логически мыслимыми» [2, с. 4].