Рассчет временных характеристик методом преобразований Лапласа

ВВЕДЕНИЕ

 

 

 Прежде всего, если речь идет об управлении, то имеется объект управления, т.е. некий механизм, агрегат или устройство, некий технологический, энергетический или транспортный процесс, желаемое поведение или протекание которого должно быть обеспечено.

Поведение объекта управления, результат его действия определяется некоторыми показателями. Чаще всего ими являются значения каких-то физических величин, которые называют выходными величинами или выходными координатами объекта управления.

В реальных условиях на каждое устройство или процесс многочисленные воздействия оказывает внешняя среда. Все воздействия, с точки зрения их влияния на действие объекта, на его выходные величины, разделяются на две принципиально отличительные группы. Некоторые из воздействий обеспечивают желаемое изменение поведения объекта, достижение поставленных целей. Такие воздействия называют управляющими, при их отсутствии задача управления вообще не имеет решения.

Другие воздействия, напротив, мешают достижению цели, и изменить их, как правило, невозможно. Такие воздействия называют возмущающими (или просто возмущениями).

Задача управления, по существу, заключается в формировании такого закона изменения управляющих воздействий, при котором достигается желаемое поведение объекта независимо от наличия возмущений.

Сложная и разностороння задача управления включает более узкую задачу регулирования, которую главным образом и будем рассматривать в дальнейшем. Задача регулирования заключается в поддержании выходных величин объекта равными (или пропорциональными) некоторым эталонным функциям времени - задающим воздействиям. Последние могут быть постоянными или изменяющимися как по заданному, так и по заранее неизвестному закону.

Объект управления может принадлежать как к неживой природе, в частности, быть техническим устройством, так и к живой природе (коллектив людей). В свою очередь, само управление также может осуществляться как человеком (пилот управляет самолетом), так и техническим устройством (самолетом управляет автопилот).

Управление, осуществляемое без участия человека, называется автоматическим управлением. Предметом настоящей дисциплины является теория автоматического управления техническими объектами. Общая теория управления, охватывающая как неживую, так и живую природу, является предметом науки кибернетики. Теория автоматического управления - часть кибернетики.

Для осуществления автоматического управления создается система, состоящая из объекта управления и управляющего устройства, или регулятора. Такая система соответственно называется системой автоматического управления.

Впервые, по-видимому, с необходимостью построения регуляторов столкнулись создатели высокоточных механизмов, в первую очередь - часов. Даже небольшие, но все время действующие в них помехи приводили в конечном итоге к отклонениям от нормального хода, недопустимым по условиям точности. Противодействовать этим помехам (возмущениям) чисто конструктивными средствами, например, улучшая обработку деталей, повышая их массу или увеличивая развиваемые устройствами полезные усилия, не удавалось, и для решения проблемы точности в состав системы стали вводить регуляторы. На рубеже нашей эры арабы снабдили поплавковым регулятором уровня водяные часы. Гюйгенс в 1657 г. встроил в часы маятниковый регулятор хода.

Хотя отдельные автоматические регуляторы и появились в те далекие времена, они оставались любопытными для истории техники эпизодами и сколько-нибудь серьезного влияния на формирование техники и теории автоматического регулирования не оказали. Развитие промышленных регуляторов началось на рубеже XVIII и XIX столетий, в эпоху промышленного переворота в Европе. Первыми промышленными регуляторами являются автоматический поплавковый регулятор питания котла паровой машины, построенный в 1765 г. И.И. Ползуновым, и центробежный регулятор скорости паровой машины, на который в 1784 г. получил патент Дж. Уатт. Эти регуляторы как бы открыли путь потоку предложений по принципам регулирования и изобретений регуляторов, относящимся к механике.

Первые публикации исследований в этой области начинаются с 30-х годов прошлого века (первая известная публикация Д.С. Чижова была в 1823 г.). Наиболее важными, признанными фундаментальными, явились три теоретические работы, содержащие основы новой науки. Это работы Д.К. Максвелла "О регуляторах" (1866) и работы И.А. Вышнеградского "Об общей теории регуляторов" (1876) и "О регуляторах прямого действия" (1877). Д.К. Максвелл и И.А. Вышнеградский рассмотрели машину (т.е. объект) и регулятор как единую динамическую систему, обосновали общий методологический подход к исследованию самых разнородных по физике и конструкции систем, заложили основы теории устойчивости, установили ряд важных общих закономерностей регулирования по принципу обратной связи.

Крупный вклад в теорию регулирования внесен Н.Е. Жуковским, автором труда "О прочности движения" и первого учебника "Теория регулирования хода машин" (1909).

В первые десятилетия XX в. теория автоматического управления, вышедшая из рамок прикладной механики, формируется как общетехническая дисциплина. В этот период появляется целый ряд работ, рассматривающих приложение теории и распространяющих ее выводы на самые разнообразные технические процессы: на регулирование электрических машин и систем; двигателей внутреннего сгорания; тепловых и паросиловых устройств; турбин; различных производственных процессов. В 1932 г. появляется работа Х. Найквиста, в которой предлагается критерий устойчивости радиотехнических усилителей с обратной связью.

Исключительно интенсивным и многогранным было развитие теории автоматического управления в послевоенный период. Это обусловлено в первую очередь развитием военной и космической техники, бурным прогрессом вычислительной техники и электроники.

В настоящее время буквально все окружающие нас технические устройства содержат в своем составе то или иное число автоматических регуляторов. Ограничиваясь для примера бытовой электроникой, перечислим лишь некоторые характерные термины: автоматическая регулировка усиления; автоподстройка частоты; стабилизация напряжения и т.д.

Системы автоматического управления (САУ) различной физической природы и совершенно различного функционального назначения могут иметь одинаковое математическое описание, то есть описываться одинаковыми уравнениями (отличаться будут лишь размерности величин). Но в САУ с одинаковым математическим описанием и процессы при управлении будут протекать одинаково, хотя действовать в них будут различные физические величины. Какие процессы могут происходить при управлении?

Во-первых, в результате приложения конечного по величине воздействия САУ должна перейти из одного равновесного состояния в другое (в противном случае она будет неустойчивой).

Во-вторых, переход из одного состояния в новое осуществляется за некоторое определенное время, на протяжении которого величина (или величины), характеризующая состояние САУ, изменяется по какому-либо закону.

В-третьих, переход САУ в новое равновесное состояние осуществляется с какой-либо точностью.

Эти вопросы, а также влияние на процесс управления отдельных параметров САУ и изучаются в настоящей дисциплине.

Причем необходимо отметить, что составление математического описания отдельных элементов или систем в целом может быть произведено лишь на основе четкого понимания физических процессов, протекающих в этих объектах и алгоритмах их функционирования. Поэтому задача получения исходного математического описания относится к предмету специальных дисциплин, в которых эти элементы изучаются.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ  РАЗДЕЛ

 

1. Метод преобразований Лапласа

 

1.1.1 Основные понятия

 

Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинала). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями.

Преобразованием Лапласа функции действительной переменной , называется функция комплексной переменной , такая что:

 

 

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного , называется функция действительного переменного, такая что:

 

 

где — некоторое вещественное число. Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

 

 

1.1.2 Свойства преобразований  Лапласа

 

• Абсолютная сходимость

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при σ = σ0, то есть существует предел

 

 

то он сходится абсолютно и равномерно для и F(s) — аналитическая функция при ( — действительная часть комплексной переменной s). Точная нижняя грань σa множества чисел σ, при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции f(x).

• Условия существования прямого преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:

1. Случай : преобразование Лапласа существует, если существует интеграл

 

 

 

2. Случай σ > σa: преобразование Лапласа существует, если интеграл

 

существует для каждого конечного

 

x1 > 0 и для

 

3. Случай σ > 0 или σ > σa (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции f'(x) (производная к f(x)) для σ > σa.

Примечание: это достаточные условия существования.

• Условия существования обратного преобразования Лапласа

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

1. Если изображение F(s) — аналитичная функция для и имеет порядок меньше −1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём

 

для

 

2. Пусть 

 

,

 

так что

 

аналитична относительно каждого zk и равна нулю для

 

, и 

 

тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.

Примечание: это достаточные условия существования.

• Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов.

 

 

• Умножение изображений

 

 

Левая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем.

• Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа.

 

 

В более общем случае (производная n-го порядка):

 

 

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала деленное на свой аргумент.

 

 

 

• Дифференцирование и интегрирование изображения. Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком.

 

 

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, деленный на свой аргумент.

 

 

• Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения:

 

 

Запаздывание оригинала:

 

 

Примечание: u(x) — Функция Хэвисайда.

Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы):

 

Все полюсы в левой полуплоскости. Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, к примеру, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы.