Рассчет временных характеристик методом преобразований Лапласа

Y(s)=• U(s),

Выражение, состоящее перед множителем U(s) является передаточной функцией системы:

W(s)== .

Полюса передаточной функции W(s)

s1= -5,         s2= -10,

являются вещественными и различными.

1. Подставляя в выражение Y(s)=• U(s), U(s)=(по таблице, приложение 1, для входного сигнала u(t)=1(t) находим изображение U(s)=1/s, получаем:

 

Y(s)=.

Для нахождения y(t) необходимо выполнить обратное преобразование Лапласа функции Y(s). Разложим правую часть выражения на элементарные дроби:

Y(s)==A+B+ C,

 

Y(t)=A•1(t)+B+C;

 

y(t)=.

 

Прировняем коэффициенты при одинаковых степенях s в числителях, получим систему алгебраических уравнений:

s2: A+B+C=0,

s1: 15A+10B+5C=20,

s0: 50A=50,

Относительно коэффициентов A,B,C. Решая данную систему, находим

A=1;        B=2;        C=-3.

 

1+2-3.

Выполняя обратное преобразование Лапласа Y(s) получаем:

y(t)=L-1(Y(s))= 1+2-3= 2- 3.

 

2. Для сигнала u(t)=δ(t) изображение U(s)=1.

Y(s)=,

Разложив дробь в правой части на табличные выражения получим:

Y(s)=A+ B,

 

Y(t)=AB;

 

y(t)=

 

Прировняем коэффициенты при одинаковых степенях s в числителях, получим систему алгебраических уравнений:

s1: A+B=20,

s0: 10A+5B=50,

Относительно коэффициентов A,B. Решая данную систему, находим

A=-50;        B=30.

 

-50+30.

Выполняя обратное преобразование Лапласа Y(s) получаем:

y(t)=L-1(Y(s))= -50+30= -50+30.

 

 

2.2 Нахождение  частотных характеристик

 

Дано:

 

 

, где

1. Комплексно Частотная Функция:

 

Выражение для частотной характеристики необходимо  максимально упростить, для этого раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые. Получаем:

 

 

Выполняем замену передаточной функции

 

 

 

Выделим в знаменателе вещественную и мнимую части

 

В результате выражение для комплексной частотной характеристики примет вид:

 

 

Для нахождения вещественной и мнимой частотных характеристик необходимо избавиться от мнимой единицы в знаменателе выражения. Для этого домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженный знаменателю множитель.

 

 

 

 

Полученную дробь можно представить в виде двух дробей

 

Первая дробь представляет собой вещественную характеристику Р, вторая – мнимую Q

 

 

 

           Найдем амплитудно-частотную характеристику.

 

 

 

Найдем фазо-частотную характеристику. Так как arctg является нечетной функцией, можно вынести минус за скобки

 

 

 

 

Ответ:  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В данной работе были рассмотрены общие теоретические сведения о методе преобразования Лапласа, временных характеристиках, а так же разобраны частные случаи на представленных примерах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования, издание третье, исправленное. Москва, издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1995
2. Зайцев Г. Ф. Теория автоматического управления и регулирования.— 2-е изд., перераб. и доп. Киев, Издательство Выща школа Головное издательство, 2004
3. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 288 с. - ISBN 5-9221-0379-2.
4. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы: Учеб. пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 64 с. - ISBN 5-9221-0534-5.
5. Паршуков А.Н. Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Теория автоматического управления»; ТюмГНГУ 2011