Решение логарифмических уравнений и неравенств в свете требований ФГОС

Пример 1. Решить уравнение 2– log2x3 +1=0.

Решение.  Используя свойства логарифмов получим уравнение равносильное данному 2 -3 log2x +1=0 и введя новую переменную log2x=t, получим уравнение 2t2-3t+1=0, корни которого t1=1 и t2=0,5. Поэтому, данное уравнение равносильно

Ответ:  2, .

Пример 2. Решить уравнение 2ln2x2- lnx6 -2 =0.

Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению 8 ln2|x| - 6 ln |x| -2=0,  так как ln2x2=4 ln2|x| ;   ln x6 =6 ln |x|  или уравнению 4 ln2|x| - 3 ln |x| -1=0. Очевидно, что ln |x| =1 и ln |x| = , корни уравнения х=e-0,25.

Ответ: 

Пример 3. Решить уравнение 3lg x2- lg (-x) =5.

Решение. Область определения хlg x2=2 lg |x|=2lg (-x), и получим уравнение lg2(-x)-6lg(-x)+5=0, lg(-x)=5 и lg(-x)=1, x=-105 и x=-10.

Ответ: -105 ; -10.

Пример 4. Решить уравнение =3.

Решение. Область определения уравнения Тогда уравнение равносильное данному в области определения  имеет вид: =3. Откуда + – 2 =0, и =-2.Корнями уравнения являются числа х=5 и х= . Заметим, что первый из них не входит в область определения и, следовательно, не является крнем исходного уравнения, а х= корень данного уравнения.

Ответ:  .

Пример 5. Решить уравнение (9x) + log3 = 8.

Решение. Воспользуемся теоремами о логарифме произведения и частного, получим (log39 +log3x)2+ log3 x2 – log3 8=8; log3x-7=0. Полагая log3x=t, получаем уравнение t2+6t-7=0, корни которого t1=1 , t2= -7. Значит, данное уравнение равносильно совокупности уравнений log3x=1 и log3x=-7,

Ответ: 3; .

Пример 6. Решить уравнение log9 (3x-2) ·log9 (3x+1-6) = .

Решение. Очевидно, что log9 (3x+1-6)= log9(3· (3x-2))= + log9 (3x-2), поэтому, полагая log9 (3x-2)= t, получим уравнение t·( ; 2t2 + t -1=0, откуда имеем t1= -1 и t2= Значит, данное уравнение равносильно двум уравнениям вида log9 (3x-2) =-1 и log9 (3x-2) = х = log3 и х =log35.

Ответ: log3  и  log35.

 

 

5. Решение логарифмических уравнений с помощью формул перехода от одного основания логарифма к другому.

     При решении логарифмических уравнений довольно часто приходится использовать модуль перехода от одного основания к другому:

loga b =   (a                         (1)

Если в этой формуле положить с=b, то

loga b= .                                         (2)

Очевидно, что loga b и – взаимно обратные числа.

Еще одна полезная формула :

= .                                (3)

Рассмотрим применение этих формул при решении логарифмических уравнений на конкретных примерах.

Пример 1.    Решить уравнение  log8 x + log4 x + log2 x = 3

Решение. Область определения уравнения х˃0. Согласно формуле (3) получаем

  x=4.

Ответ:  4.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. 1). Решим уравнение и сделаем проверку. Так как нахождение области определения уравнения потребует больших усилий:

; Ведя в квадрат обе части уравнения, получим откуда

 

Проверка.

При х=4 получаем верное равенство

2).Положим х=2у. Исходное уравнение примет вид

 y2 +2y-8=0, откуда у=2 (у˃0) и х=22=4.

Ответ:  4.

Пример 3. Решить уравнение log5x +

Решение. Область определения уравнения задается объединением двух промежутков: (0;1) Заметим, что поэтому исходное уравнение принимает вид log5x+logx5= (log5x+logx5)2 – 2- . Далее , введя новую переменную                =t, получим уравнение t2 – t - = 0, откуда t1= ;  t2= . Остается решить уравнение log5x+logx5= и log5x+logx5= . Превое уравнение корней не имеет. Решение второго уравнения дает log5x+=2+  откуда log5x=2, log5x= 0,5. Значит,  х= 25 и х= .

Ответ: 25; .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Область определения уравнения задается системой неравенств Перейдем в логарифмах к основанию 2, воспользовавшись формулой (1): Обозначив получим уравнение которое после преобразований принимает вид t3+4t2-14t+9=0. Это уравнение имеет очевидный корень t=1 (1+4-14+9=0). Разложим левую часть полученного уравнения на множители

t3+4t2-14t+9= (t -1) (t2+5t-9) =0; t= . Значит,

.

Ответ: 2; .

6. Уравнения, содержащие неизвестные

 в основаниях  логарифмов и показателях степеней.

     Рассмотрим уравнение (f(x))g(x) =1.

Область определения уравнения задается областями определения функций f(x) и g(x), а также неравенством f(x)>0. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию а (а>0, а) при условии f(x)>0, получим                  g(x) logaf(x) = 0, откуда, используя условие равенства нулю произведении двух сомножителей, получаем

Пример 1. Решить уравнение 

Решение. Область определения уравнения х поскольку области определения функций есть х

Имеем совокупность    откуда  х=3.

 Ответ: 3.

Пример 2. Решить уравнение 

Решение. Область определения уравнения выражается неравенствами Решаем совокупность систем

 Уравнение первой системы дает корни х=1 Неравенству первой системы удовлетворяет только значение х = 1+ Значит, х = 1+ - корень данного уравнения.

     Решим уравнение  второй системы  откуда х=-4 и х=1. Неравенству второй системы удовлетворяет только значение х=-4; 1+

Ответ: -4; 1+

Пример 3.  Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения х Используя равенство

аmbm (ab)m (a, получим Далее необходимо решить совокупность систем    Из нее следует, что х= .

Ответ:  .

     Рассмотрим уравнение .

     Корни этого уравнения должны удовлетворять неравенству и, конечно же, входить в область определения функций .

 Прологарифмируем обе части уравнения, например, по основанию 10: (. Откуда

   Необходимо сделать проверку, принадлежат ли корни первого уравнения системы областям определений функций

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Так как (х – 2)2= то уравнение может быть переписано в виде . Согласно сделанным ранее замечаниям  получаем или    Корни первого уравнения 1 и 3, а вторая система имеет единственное решение х=1.

Ответ: 1; 3.

Пример 5. Решить уравнение =.

Решение. Корни уравнения должны удовлетворять системе неравенств    откуда Данное уравнение равносильно совокупности     из которой легко получить х=0,1 и х=100.

Ответ:  0,1; 100.

7. Уравнения, содержащие логарифм в показателе степени.

     Такие уравнения  решаются логарифмированием обеих  частей уравнения по одному  и тому же основанию. Как правило, выбирается основание, содержащееся в основании логарифма. Другой способ решения таких уравнений – введение новой переменной.

Пример 6. Решить уравнение хlg x+1 = 106.

Решение. Область определения уравнения устанавливается неравенством   Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, получим         (lg x+1) lg x=6. Ввод новой  переменной  lg x=t преобразует наше уравнение к виду t2+ t – 6=0, корни которого  числа 2 и -3. Значит lg x=2, х=100 и          lg x=-3, х=10-3.

Ответ: 100; 0,001.

Пример 7. Решить уравнение   х

Решение. Логарифмируем обе части уравнения по основанию 2, полагая, что х Получаем уравнение

  Решим это уравнение, обозначив =t, тогда хt =2,  x=. Исходное уравнение принимает вид

  .

Ответ: 2.

8. Решение уравнений вида .

     Область определения  уравнения складывается из областей определения функций f(x), g(x), p(x).  Кроме того, корни уравнения должны удовлетворять неравенствам f(x), g(x). Считая, что последние условия выполнимы, логарифмируем обе части уравнения по основанию 10 ( можно и по любому другому основанию), получаем  p(x) (lg f(x) – lg g(x) ) =0, откуда или Последнюю систему можно заменить на систему Решая находим их корни и проверяем выполнение неравенств решать которые нет необходимости.При этом над помнить, что найденные корни должны принадлежать области определения каждой из функций f(x), g(x), p(x).  Нахождение области определения уравнения существенно упрощает его решение.

Пример 9. Решить уравнение

Решение. Так как логарифмы определены только для положительных чисел, то  х-7 но тогда  поэтому достаточно решить два уравнения:

х2 – 6х – 16=0. Неравенству   из двух корней  х=-2  и  х=8 последнего уравнения удовлетворяет только 8.

Ответ: 8.

Пример 10. Решить уравнение (2х2-х-1)2х+2 = (х2+2х-2) 2х+2.

Решение. Согласно сделанным выше общим рассуждениям необходимо решить две системы: Уравнение дает х=-1, при этом первоенеравенство системы выполняется, а второе –нет. Решений нет.

  откуда х=3.

Ответ: 3.

 

2. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА.
1. Избранные методы решения логарифмических неравенств.

    Различают несколько  подходов в решение логарифмических  неравенств : алгебраический, функциональный  или геометрический.

     При алгебраическом  подходе выполняются равносильные  общие или частичные преобразования  неравенств. При функциональном  подходе используются свойства  функций, входящих в данное неравенство, такие как монотонность, ограниченность  и т.д. В некоторых случаях эти  подходы взаимозаменяемы.

     Основой геометрического  подхода является интерпретация  неравенств и их решений на  координатной прямой, координатной плоскости или в пространстве, что позволяет перейти к равносильным неравенствам,  опираясь на геометрические утверждения.

1. Метод равносильных преобразований.

В средней школе учащиеся, как правило, знакомятся с такими приемами решения логарифмических неравенств, которые основаны на построении цепочки равносильных преобразований:

Неравенство вида logaf(x) > b, a >0, a

если 01, то  , если а.

Неравенство вида logaf(x) b, a >0, a

если 01, то если а   

Пример1. Решить неравенство .

Решение.              

                Ответ: (1;3)

Неравенство вида loga f(x) loga g(x), a>0, a

если 01, то      если а

 

Неравенство вида loga f(x) loga g(x), a>0, a

если 01, то     если а, то 

Пример 2. Решить неравенство lg (x+27) – lg (16-2x) lg x.

Решение. Перепишем неравенство в виде lg (x+27)  lg (16-2x)+ lg x,

 

Ответ: (0;3)

Неравенство вида logh(x) f(x) log h(x)  g(x) равносильно совокупности систем:

Неравенство вида logh(x) f(x) log h(x)  g(x) равносильно совокупности систем

 

Пример 3. Решить неравенство  log2x(x2-5[+6)

Решение.

 log2x(x2-5[+6)                       

Ответ: (0;0,5)

2. Решение логарифмических неравенств методом интервалов

     При решении неравенств методом интервалов, находят область определения функции, затем определяют нули функции, которые разбивают область определения на промежутки, в каждом из которых функция сохраняет постоянный знак.

Пример1. Решить неравенство log3

Решение. Запишем неравенство в виде log3 и введем функцию log3

   Итак, D(f): (0;1) Найдем нули функции

  x2+2x-5=0;  x=-1±x=-1- -посторонний корень.

    

 

Ответ: (0;1)

Пример 2. Решить неравенство lg2x-2lgx-8

Решение. f(x)= lg2 x- 2lg x-8; D(f): (0; +∞). Для нахождения нулей функции решим уравнение lg2 x- 2lg x-8=0, откуда lgx =-2;lgx =4 и х= ; х=10000.

 Несколько контрольных значений для

функции дают f(105)=25-10-8=7˃0; f(1)˂0; f(10-1)=9+6-8=7˃0.

Ответ: .

Пример 3. Решить неравенство log0.3(x2-x-20) - log0.3(x+4) ˃0.

Решение. Областью определения функции f(x) является решение системы неравенств    то есть х˃ 5.Решение уравнения х2-х-20-            - (х+4)=0 дает нам нули функции. Области определения х˃5 удовлетворяет корень уравнения х=6.

Ответ: (5;6)

2. Метод рационализации.  

     Многие неравенства, в том числе и логарифмические, сводятся к решению неравенств  методом интервалов. Однако, при решении неравенств этим методом могут возникнуть проблемы вычислительного характера  с вычислением значений функций в промежуточных точках. Хотя , для рациональных функций такие вычисления несколько проще.

 Поэтому, для расширения  возможности применения метода  интервалов при решении неравенств  используется идея рационализации  неравенств упоминаемую в математической  литературе как метод декомпозиции -Моденов В.П., метод замены множителей - Голубев В.И.

     Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при которой неравенство G(x)∨0 равносильно неравенству F(x)∨0 в области определения выражения F(x). (Под знаком ∨ подразумевается один из знаков >,<,≥,≤.)

Рассмотрим, например, выражение f(x)−g(x). Заметим, что оно принимает значения таких же знаков, что и выражение f−g на своей области определения, действительно: f(x)<g(x)⇔f(x)<g(x), f(x)>g(x)⇔f(x)>g(x) в силу возрастания функции t(x)=x. Любое неравенство приводимо к виду где u1, u2, ..., un,v1,v2,..., vk некоторые функции. Довольно часто каждую из них можно заменить на другую знакосовпадающую функцию на области определения. Приведём основные типы выражений, для которых можно использовать метод рационализации.

В первом столбце таблицы — функция F(x), которую мы рационализируем. Во втором столбце — функция G(x) — знакосовпадающая с функцией F(x) на области её определения. При этом, используя метод рационализации, нельзя забывать про область определения функций. При решении задачи исходное неравенство преобразуется в систему: рационализированное неравенство и ОДЗ исходного неравенства.

Выражение F	Выражение G	ОДЗ
logh(x)f(x)−logh(x)g(x)	(h(x)−1)·(f(x)−g(x))	f(x)>0,g(x)>0,h(x)>0,h(x)≠1
logh(x)f(x)−1	(h(x)−1)·(f(x)−h(x))	f(x)>0,h(x)>0,h(x)≠1
logh(x)f(x)	(h(x)−1)·(f(x)−1)	f(x)>0,h(x)>0,h(x)≠1
logf(x)h(x)−logg(x)h(x)	(f(x)−1)·(g(x)−1)·(h(x)−1)· (g(x)−f(x))	h(x)>0,f(x)>0,f(x)≠1, g(x)>0,g(x)≠1
h(x)f(x)−h(x)g(x)	(h(x)−1)·(f(x)−g(x))	h(x)>0
h(x)f(x)−1	(h(x)−1)·f(x)	h(x)>0
f(x)h(x)−g(x)h(x)	(f(x)−g(x))·h(x)	f(x)>0,g(x)>0
|f(x)|−|g(x)|	(f(x)−g(x))·(f(x)+g(x))	любые значения f(x) и g(x)