Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

Министерство  образования Саратовской  области

ГАОУ ДПО «Саратовский институт повышения квалификации и переподготовки работников образования» 

Кафедра математического образования

«Решение  уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля». 

Творческая работа

 слушателя курсов переподготовки по

дополнительной  профессиональной образовательной  программе

 «Преподавание  математики в средней общеобразовательной школе»

Дубовской Ольги Александровны

Научный руководитель: к.ф.м.н., доцент ___________________О.Ю. Коник

                                                            ^{дата, подпись}

Зав. кафедрой: к.пед.н., доцент ___________________________Т. В. Костаева

                        ^{дата, подпись} 
 

Саратов 2011 

Цели работы:

Проанализировать изучение темы «Модуль числа» в программе школьного курса математики;

Раскрыть основные методические приемы, используемые при  обучении школьников решению уравнений  и неравенств , содержащих переменную под знаком модуля;

Показать необходимость более глубокого рассмотрения темы «Решение уравнений и неравенств с модулем» в школьной программе.

      Введение.  
Многие учителя знают, какие проблемы вызывают у учащихся задания, содержащие модуль. Это один из самых трудных материалов, с которыми школьники сталкиваются на экзаменах.  
Понятие модуля (абсолютной величины) является одной из важнейших характеристик числа как в области действительных, так и в области комплексных чисел. Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в вузах. Например, в теории приближенных вычислений используются понятия абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). В математическом анализе понятие абсолютной величины числа содержится в определениях таких основных понятий, как предел, ограниченная функция и др. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах            в вузы, и на ЕГЭ.

      Несмотря  на все это, программой школьного курса математики не предусмотрены обобщение и систематизация знаний о модулях, их свойствах, полученных учащимися за весь период обучения. На  тему «Модуль числа» по программе отводится очень мало времени: в 6 классе -2 часа,                  в 8 классе - 4 часа.

   Поэтому учителю приходится находить разнообразные методические приемы, использовать различные подходы и методы в обучении решению задач с модулем. Разнообразие методов будет способствовать сознательному усвоению математических знаний, вовлечению учащихся в творческую деятельность, а также решению ряда методических задач.

Модуль  числа

Слово «модуль» произошло  от латинского слова «modulus», что в  переводе означает «мера». Это многозначное слово (омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.

В архитектуре - это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике - это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и .т.п.

Модуль объемного  сжатия (в физике) -отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

Темы, связанные с  модулем являются сложными для восприятия учеников. В различных учебниках  первоначальное понятие модуля вводится по-разному:

 как расстояние от точки изображающей число до начала отсчёта (Математика. Н.Я. Виленкин),

  как длина вектора  (Математика. П.М. Эрдниев),

 как число “без знака” (Математика. Г.В. Дорофеев) и др. 

Как уже говорилось, в математике модуль имеет несколько значений, мы возьмем лишь одно:                                   Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).

Модулем неотрицательного действительного числа a называют само это число:

|а| = а

Модулем отрицательного действительного числа а называют противоположное число:

|а| = - а

Короче это  записывают так:

Модуль числа 5 равен 5, так как точка В(5) удалена  от начала отсчета на 5 единичных  отрезков. Пишут: |5| = 5

Расстояние  точки М(-6) от начала отсчета О  равно 6 единичным отрезкам. Число 6 называют модулем числа -6. Пишут: |-6| = 6

Модуль числа  не может быть отрицательным. Для  положительного числа и нуля он равен  самому числу, а для 

отрицательного  – противоположному числу. Противоположные  числа имеют равные модули:

|-а| = |а|

Модуль числа 0 равен 0, так как точка с координатой 0 совпадает с началом отсчета 0, т.е. удалена от нее на 0 единичных  отрезков:

|0| = 0

На практике используют различные свойства модулей:

|а| ≥  0

|а·b| = |а|  · |b|

|а|ⁿ = аⁿ , n є Z, a ≠ 0, n > 0

|а| = | - а|

|а + b|  ≤  |а| + |b|

|а·q| = q·|а| , где q - положительное число

|а|² = а²

Значение |a - b|  равно расстоянию на числовой прямой между точками, изображающими числа a и b.

 
Основные способы, используемые при  решении уравнений, содержащих модуль.

Уравнением с одной переменной называют равенство, содержащее переменную.

  Корнями уравнения называются значения переменной, при которых уравнение обращается в верное равенство.

 Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что корней нет.

Уравнением  с модулем называют равенство, содержащее переменную под знаком модуля.

 
Существует несколько способов решения уравнений с модулем. Рассмотрим подробнее каждый из них.

 
1 способ. Метод последовательного раскрытия модуля.

Пример 1. Решим уравнение |x - 2| = 3.

Рассуждать будем, исходя из определения модуля.           Если выражение, находящееся под  модулем неотрицательно, т. е.  x - 2  0, тогда оно "выйдет" из под знака модуля со знаком "плюс" и уравнение примет вид: x - 2 = 3.             Если значения выражения под знаком модуля отрицательно, тогда, по определению, оно будет равно   -(x-2)=3                или     x - 2=-3

Таким образом, получаем, либо x - 2 = 3, либо x - 2 = -3. Решая полученные уравнения, находим:  

Ответ:  
Решим этим же способом уравнение, содержащее

«модуль в модуле».  
Пример 2. Решим уравнение ||2х-1|-4|=6.  
Рассуждая аналогично, рассмотрим два случая.  
1). |2х-1|-4=6, |2х-1|=10. Используя еще раз определение модуля, получим: 2х-1=10 либо 2х-1= -10. Откуда х1=5,5, х2= -4,5.  
2). |2х-1|-4= -6, |2х-1|= -2. Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как по определению модуль всегда неотрицателен.  
Ответ: 5,5; -4,5.

 
2 способ. Метод интервалов. 
Другой способ решения уравнений, содержащих модуль- это метод интервалов - способ разбиения числовой прямой на промежутки. В этом случае нам нужно разбить числовую прямую так, что по определению модуля, знак абсолютной величины на данных промежутках можно будет снять. Затем, для каждого из промежутков мы должны будем решить данное уравнение и сделать вывод, относительно получившихся корней(удовлетворяют они нашему промежутку или нет). Корни, удовлетворяющие промежутки и дадут окончательный ответ.

Решим уравнение |x - 2| = 3.

Установим, при каких  значениях x, модуль равен нулю:

x-2=0, x=2

Получим два промежутка, на каждом из которых решим уравнение:

Получим две смешанных  системы:

(1)  (2)

Решим каждую систему:

(1)  (удовлетворяет данному промежутку)

(2)  (удовлетворяет данному промежутку)

Ответ:

3 способ. Графический метод.

Суть данного метода заключается в использовании  графиков функций для нахождения корней уравнения. Этот метод реже других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени  и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными.

Решим это же уравнение: |x - 2| = 3.

Для решения уравнения  графическим способом, надо построить  графики функций у = | x - 2| и у=3

Для построения графика  функции у = | x - 2| , построим график функции у = x - 2 - это прямая, пересекающая ось OX в точке (2; 0), а ось OY в точке (0;-2) а затем часть прямой, лежащую ниже оси OX зеркально отразить в оси OX.

Графиком функции у=3 является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку (0; 3) на оси OY .

 
4 способ. Метод решения при помощи зависимостей между числами а и в, их модулями и квадратами этих чисел.

Помимо приведенных  выше способов существует определенная равносильность, между числами и модулями данных чисел, а также между квадратами и модулями данных чисел:

 a=b или a=-bÛ|a|=|b|

 a=b или a=-b (1)Ûa²=b²

Отсюда в свою очередь получим, что 

a²=b²Û|a|=|b|  

Решим уравнение |x + 1|=|2x – 5| двумя различными способами.

1.Учитывая соотношение  (1), получим: 

x + 1=2x – 5 или            x + 1=-2x + 5

x – 2x=-5 – 1                 x + 2x=5 – 1

-x=-6                           3x=4

x=6                               x=1 1/3

Корень первого  уравнения x=6, корень второго уравнения x=1 1/3

 
Таким образом корни исходного  уравнения x1=6, x2=1 1/3

2. В силу соотношения  (2), получим

(x + 1)²=(2x – 5)², или x² + 2x + 1=4x² – 20x + 25

x² – 4x² +2x+1 + 20x – 25=0

-3x² + 22x – 24=0|(:-1)

3x² – 22x + 24=0

24=121 – 72=49´D/4=121-3      >уравнение имеет 2

  различных корня.

x1=(11 – 7 )/3=1 1/3

x2=(11 + 7 )/3=6 

5 способ. Использование геометрической интерпретации модуля.  
Опорная информация: геометрический смысл модуля разности величин – это расстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения |х-а| - длина отрезка координатной оси, соединяющей точки с абсциссами а и х. Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких решений.  
Пример 4. |х-2|+|х-3|=1.  
Исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки с абсциссой х до двух фиксированных точек с абсциссами 2 и 3. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами, принадлежащими отрезку [2;3] обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка – нет. Отсюда, множеством решений уравнения является отрезок [2;3].  
Ответ: [2;3].  
Пример 5. |х-2|-|х-3|=1.  
Рассуждая аналогично, получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 2 и 3 равна 1 только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 3. Следовательно, решением данного уравнения будет являться луч, выходящий из точки 3, и направленный в положительном направлении оси ОХ.  
Ответ: [3;+∞).  
Проанализировав представленные способы решения уравнений, содержащих модуль, можно сделать вывод, что ни один из них не является универсальным и для получения наилучших результатов необходимо добиваться того, чтобы ученик овладел возможно большим количеством методов решения, оставляя право выбора решения за собой.  
Способы .Достоинства .Недостатки.  
Метод последовательного раскрытия модулей