Система одночасних рівнянь

Отже, перехід від структурної  до зведеної форми системи рівнянь  хоча й дає змогу усунути проблему корельованості пояснюючої змінної та випадкового відхилення, однак призводить до іншої не менш серйозної проблеми — проблеми ідентифікоеаності.

Щоб зрозуміти проблему ідентифікованості, необхідно усвідомити суть принципових розбіжностей між  структурними та зведеними

рівняннями. Наприклад, у  моделі “попит - пропозиція”

оцінки коефіцієнтів поведінкових рівнянь визначають функції  попиту та пропозиції. Оцінюючи коефіцієнти  зведених рівнянь, ми визначаємо точку  перетину кривих попиту та пропозиції, тобто рівноважну ціну товару та його рівноважну кількість. Очевидно, обчисливши ці значення, неможливо відновити функції попиту та пропозиції, тому що через одну точку на площині можна провести нескінченно багато ліній.

Побудуємо зведені рівняння для цієї моделі. Використавши умову рівноваги, отримаємо

Останнє рівняння, розв’язане відносно pt, має вигляд

  випадкова складова.

Підставляючи знайдене значення pt у початкові рівняння, отри-

маємо   випадковий член.

Рівняння утворять систему  зведених рівнянь. Однак система структурних рівнянь має чотири невідомих коефіцієнти. З курсу алгебри відомо, що для однозначного визначення k невідомих необхідно мати щонайменше k (незалежних) рівнянь. Отже, ми не зможемо однозначно визначити чотири коефіцієнти, маючи лише систему з двох рівнянь:

Неважко помітити, що, відкинувши випадкові залишки у зведених рівняннях, можна встановити значення pt = λ0 та qt = X,, яке фактично визначає точку перетину кривих попиту та пропозиції (точку ринкової рівноваги). Але через  одну точку можна провести як завгодно багато ліній (рис. . Тому для визначення конкретних прямих необхідна додаткова інформація, яку можна отримати за рахунок екзогенних змінних, що входять до структурних рівнянь.

Наприклад, нехай до функції  попиту додано ще одну пояснюючу (екзогенну) змінну yt - прибуток споживачів. Тоді модель “попит -пропозиція” матиме вигляд:

Таке доповнення до моделі дає деяку додаткову інформацію про поведінку споживача. Згідно з економічною теорією, для нормальних товарів a₂> 0 .

Прирівнявши обсяг попиту і обсяг пропозиції, матимемо

 

Прирівнявши ціну попиту та ціну пропозиції в точці рівноваги, отримаємо

 

Рівняння є зведеними. Застосувавши МНК, неважко знайти оцінки їх параметрів Х0, Ъ, Х2, Х3. Однак цього недостатньо для того, щоб оцінити п’ять параметрів а0, а1, а2, М1 початкової системи структурних рівнянь. Ми можемо визначити параметри р₀ і р₁ функції пропозиції системи:

Але а₀, а₁, а₂ визначити однозначно не можна. Отже, потрібно деяке довизначення. Зауважимо, що введенням пояснюючої змінної у функцію попиту (перше рівняння системи ми визначили функцію пропозиції (друге рівняння цієї самої моделі).

Якщо у функцію пропозиції ввести пояснюючу змінну (наприклад, заздалегідь визначену змінну), виключивши при цьому з функції попиту змінну, що визначає прибуток, можна отримати конкретну функцію попиту при невизначеній функції пропозиції. Цей висновок обґрунтовується за аналогією з попередньо описаною схемою та рекомендується як вправа для самостійної роботи.

Зазначимо, що якщо в кожне  зі структурних рівнянь моделі “попит - пропозиція” поряд із ціною товару буде введено по одній пояснюючій (екзогенно визначеній) змінній (наприклад, yt у функцію попиту й pt-1 у функцію пропозиції), то коефіцієнти структурних рівнянь можуть бути оцінені однозначно. У цьому разі модель буде однозначно визначеною, тобто ідентифікованою.

Розглянемо модель “попит - пропозиція” з кількістю екзогенних змінних, що перевищує кількість  структурних рівнянь:

де зміннаst - обсяг  заощаджень до моменту часу t.

З умови ринкової рівноваги нескладно отримати такі зведені рівняння:

Для оцінки семи структурних  коефіцієнтів а₀, а₁, а₂, а₃, р₀, p₁, р₂ у цьому разі отримано вісім рівнянь. Як наслідок, однозначне визначення структурних коефіцієнтів неможливе через суперечливість співвідношень. Наприклад, з (8.26) випливає неможливість визначення f1. Але це можливо лише за умови X6X2=X5IX1, що нереально, оскільки коефіцієнт p1, який міститься в усіх рівняннях для оцінки зведених коефіцієнтів, також недосконалий. У цьому разі маємо ситуацію пере-визначеності або надідентифікованості, тобто “занадто багато” інформації (обмежень) для визначення лінії доходу. Через суперечливість інформації неможливо отримати шуканий розв’язок.

У ситуації неідентифікованості  “занадто мало” інформації, а тому існує кілька різних ліній, що задовольняють обмеження моделі.

Необхідні й достатні умови ідентифікованості

Щоб швидше формально  визначити ідентифікованість структур-них  рівнянь, застосовують такі необхідні  й достатні умови. Нехай система  одночасних рівнянь містить N рівнянь відносно N ендогенних змінних, а також M екзогенних або заздалегідь визначених змінних. Крім того, для деякого рівняння кількість ендогенних і екзогенних змінних у перевірці на ідентифікованість дорівнює відповідно n і m. Змінні, що не входять у дане рівняння, але входять в інші рівняння системи, назвемо виключеними змінними (з даного рівняння). їх кількість дорівнює N-n для ендогенних і M–m для екзогенних змінних.

Перша необхідна умова. Рівняння ідентифіковане, якщо воно виключає принаймні N–1 змінну (ендогенну чи екзогенну), що присутня в моделі:

Друга необхідна умова. Рівняння ідентифіковане, якщо кількість  виключених з нього екзогенних змінних  не менше кількості ендогенних змінних  у цьому рівнянні, зменшеної на одиницю: M-m>n-1.

Знаки рівності в обох необхідних умовах відповідають точній ідентифікованості рівняння.

Наведемо приклади використання зазначених умов для визначення ідентифікованості структурних рівнянь.

У простій моделі “попит - пропозиція”

N = 2, M = 0. Для кожного з рівнянь n = 2, m = 0. Отже, перша необхідна умова, а саме(N - n) + (M - m) ≥ N - 1, не виконується для обох рівнянь, тому що в цьому разі (N - n) + (M - m) = 0 < N-1 = 1. Це означає, що вони обидва неідентифіковані.

2. У моделі (8.21) до функції  попиту додано екзогенну змінну yt (прибуток споживачів):

N = 2, M = 1. Для кожного  з рівнянь n = 2. Для першого рівняння m=1, для другого m=0. Тоді для  першого рівняння (N -n) + (M -m) = 0<1 = N-1. А це означає, що перша необхідна  умова не виконується і дане рівняння неідентифіковане. Для другого рівняння цієї системи (N-n) + (M-m) = 1 = N-1, тобто дане рівняння точно ідентифіковане. Отже, функція пропозиції може бути визначена однозначно. 3. У моделі

N = 2, M = 2. Для кожного  рівняння n = 2, m = 1. У цьому разі для кожного з рівнянь виконується умова (N -n) + (M -m) = 1 = N-1. Отже, обидва рівняння цієї системи точно ідентифіковані.

3. У моделі “попит - пропозиція”, де враховано три  екзогенні змінні:

N = 2 , M = 3. Для кожного  рівняння системи n = 2. Кількість виключених змінних у першому рівнянні m = 2. Тоді перше рівняння точно ідентифіковане, тому що для нього (N-n) + (M-m) = 1 = N-1. Для другого рівняння m=1. Отже, для нього

(N-n) + (M-m) = 2>1 = N-1. Це рівняння  є перевизначеним.

Для однозначної оцінки коефіцієнтів функції пропозиції в цьому разі необхідно використовувати інші спеціальні методи оцінювання параметрів.

Необхідна і достатня умова ідентифікованості

У моделі, що містить N рівнянь  відносно N ендогенних змінних, умова  ідентифікованості виконується тоді і тільки тоді, коли ранг матриці, складеної з виключених з даних рівнянь змінних, але таких, що містяться в інших рівняннях системи, дорівнює N -1.

 

Список використаної літератури

1. Грубер Й. Економетрія: Вступ до множинної регресії та економетрії: У 2 т. - К: Нічлава, 1998-1999.
2. Джонстон Дж. Эконометрические методы. — М.: Статистика, 1980. — 444 с.
3. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. — М.: ИНФРА-М, 1997. - 402 с.
4. Дрейпер П., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Финансы и статистика, 1986. — Т. 1 — 365 с; Т. 2 — 379 с.
5. Емельянов А. С. Эконометрия и прогнозирование. — М.: Экономика, 1985. - С. 82-89.
6. Єлейко В. Основи економетрії. — Львів: "Марка Лтд", 1995. — 191с.
7. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. Введение в количественный экономический анализ. — М.: Статистика, 1977. — 254с.
8. Корольов О. А. Економетрія: Навч. посіб. — К: Європейський ун-т,2002. - 660 с.
9. Ланге О. Введение в эконометрию. — М.: Прогресс, 1964. — 360 с.
10. Лук'яненко I. Г., Краснікова Л. І. Економетрика: Підручник. — К.: Т-во "Знання", КОО, 1998. - 494 с
11. Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика: Навч. курс. - М.: Дело, 1997. - 248 с.
12. Маленво Э. Статистические методы эконометрии. — М.: Статистика, 1975. - 423 с.
13. Наконечний С. I., Терещенко Т .О., Романюк Т. П. Економетрія: Навч. посіб. - К: КНЕУ, 1997. - 352 с.
14. Тинтнер Г. Введение в эконометрию. — М.: Статистика, 1965. — 368 с.
15. Толбатое Ю. А. Економетрика: Підруч. для студ. екон. спец. вищ. навч. закл. — К.: Четверта хвиля, 1997. — 320 с.
16. Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. — М.: Статистика, 1978. - 224 с.
17. Хеш Д. Причинный анализ в статистических исследованиях. — М.: Финансы и статистика, 1981. — 224 с.
18. Венецкий И. Г., Венецкая В. И. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе: Справочник. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Статистика, 1979. — 448 с.