Системы уравнений

2dx
(А також багатьма іншими способами).
Для функцій, заданих таблично, досить поширеним критерієм згоди є критерій Чебишева, який визначає відстань між аппроксіміруемой і апроксимуючої функціями як максимум величини відхилення між функціями у вузлах сітки (див. табл. 4.1): (4.1)
Якщо = 0, тобто F (xi) = G (xi) = yi, то відповідний спосіб апроксимації називають інтерполяцією, а процедуру обчислення значень F (x) за допомогою G (x) в точках, які не є вузлами сітки, - інтерполяцією.
З геометричної точки зору графік функції G (x) при інтерполювання повинен проходити через всі точки A0 (x0, y0), A1 (x1, y1), ..., An (xn, yn). Підкреслимо, що для значень x, що не є вузловими, значення функції G (x) нічим не регламентовані, і в принципі можуть значно відрізнятися від значень функцій F (x)).
Часто процедура апроксимації пов'язана з іншим критерієм згоди: (4.2)
Застосовуваний на його основі спосіб апроксимації отримав назву методу найменших квадратів.
Вибір критерію згоди дозволяє будувати методи, що дозволяють однозначно визначати параметри апроксимуючої функції (якщо задано її вид).
Поліном Лагранжа.
Нехай Функція F (x) задана табл. 4.1. Побудуємо многочлен Ln (x), ступінь якого не вище, ніж n, і для якого виконані умови інтерполяції
Ln (x0) = y0, Ln (x1) = y1, ..., Ln (xn) = yn. (4.6)
Будемо шукати Ln (x) у вигляді
Ln (x), = l0 (x) + l1 (x) + ... + ln (x), (4.7)
де l1 (x) - многочлен ступеня n, причому

l1 (xл) = (4.8)
Очевидно, що вимога (4.8) з урахуванням (4.7) цілком забезпечує виконання умов (4.6).

Поліноми l1 (x) складемо наступним чином:
l1 (x) = Сi (x - x0) (x - x1) (Xi - xi-1) (xi - xi = 1) (Xi - xn) (4.9)
де Ci - коефіцієнт, значення якого знайдемо з першої частини умови (4.8):
Сi =
(Зауважимо, що жоден множник у знаменнику не дорівнює нулю). Підставимо Ci в (4.9) і далі з урахуванням (4.7) остаточно маємо:
Ln (x) = (4.10)
Це і є інтерполяційний многочлен Лагранжа. По таблиці вихідної функції F формула (4.10) дозволяє досить просто скласти «зовнішній вигляд» многочлена.
Метод найменших квадратів.
1) На практиці часто доводиться вирішувати таке завдання. нехай для двох функціонально пов'язаних величин x і y відомі n пар відповідних значень (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn). Необхідно в наперед заданої формулою y = f (x, a1, a2, ..., am) визначити m параметрів a1, a2, ..., am (m <n) так, щоб в цю x і y.
Вважається (виходячи з принципів теорії ймовірностей), що найкращими є ті значення a1, a2, ..., am, які звертають в мінімум суму
(Тобто суму квадратів відхилень значень y, обчислених за формулою, від заданих), тому сам спосіб і отримав назву способу найменших квадратів.
Ця умова дає систему m рівнянь, з яких визначаються a1, a2, ..., am: (1)
(F = 1,2, ..., m).
На практиці задану формулу y = f (xk, a1, a2, ..., am) іноді доводиться (на шкоду строгості отриманого рішення) перетворювати до такого виду, щоб систему (1) було простіше вирішувати (див. нижче підбір параметрів у формулах y = Aecx і y = Axq). Окремі випадки: а) y = a0xm-1 + ... + am (m +1 параметрів a0, a1, ..., am;; n> m +1).
Система (1) приймає наступний вигляд: (2)

Ця система m +1 рівнянь з m +1 невідомими завжди має єдине рішення, так як її визначник відмінний від нуля.

Для визначення коефіцієнтів системи (2) зручно скласти допоміжну таблицю
В останньому рядку записують суму елементів кожного стовпця, які і є коефіцієнтами системи (2).
Систему (2) зазвичай вирішують методом Гаусса.
б) y = Aecx.
Для спрощення системи (1) цю формулу, що пов'язує х і у, попередньо логарифмують і замінюють формулою
1g y = 1g .
Система (1) візьме в цьому випадку наступний вигляд: (3)
Допоміжна таблиця має вигляд

З систему (3) визначають с і 1g A.
в) y = Axq.
Цю формулу також попередньо логарифмують і замінюють наступною:
Система (1) тепер набуде вигляду (4)
Відповідним чином змінюється і допоміжна таблиця.
2) Часто буває необхідно замінити найкращим чином деяку задану функцію у = f (x) на відрізку [a, b] многочленом m-го ступеня: Застосування способу найменших квадратів у цьому випадку призводить до відшукання коефіцієнтів а0, а1, ..., аm з умови мінімуму інтеграла


Необхідні умови мінімуму цього інтеграла призводять до системи m +1 рівнянь з m +1 невідомими a0, a1, a2 ,..., am, з яких визначають всі ці коефіцієнти: (5)
4. Чисельні методи розв'язання звичайних диференціальних рівнянь. Метод Ейлера. Метод Рунге - Кутта
1. Метод Ейлера. Диференціальне рівняння y '= f (x, y) визначає на площині так зване поле напрямків, тобто в кожній точці площини, в якій існує функція f (x, y) задає напрям інтегральної кривої рівняння, що проходить через цю точку. Нехай потрібно розв'язати задачу Коші, тобто знайти рішення рівняння y '= f (x, y), що задовольнить початкового умові y (x0) = y0. Розділимо відрізок [x0, X] на n рівних частин і покладемо (X-x0) / n = h (h - крок зміни аргументу). Припустимо, що всередині елементарного проміжку від x0 до x0 + h функція y 'зберігає постійне значення f ( x0, y0,). Тоді де y1 - значення шуканої функції, що відповідає значенню х1 = x0 + h. Звідси отримуємо Повторюючи цю операцію, отримаємо послідовні значення функції:


Таким чином, можна наближено побудувати інтегральну криву у вигляді ламаної з вершинами Mr (xr; yr), де Цей метод називається методом ламаних Ейлера, або просто методом Ейлера.
2. Метод Рунге - Кутта. Нехай функція у визначається диференційним рівнянням y '= f (x, y) при початковому умови y (x0) = y0. При чисельному інтегруванні такого рівняння методом Рунге - Кутта визначають чотири числа:  
Якщо покласти то можна довести що Схема обчислень має вигляд

5. Практичний розділ
1.Рішення не лінійний рівнянь.
1. Відокремити коріння графічний і уточнити один з них методом дотичних з точністю

тому що то

x1 = 6,488
x2 = 6,401
x3 = 6,39756
x4 = 6,397567
2. Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
1. Вирішити систему методом Жордана - Гаусса

http://ua-referat.com