Фрактал. Історія його виникнення. Класифікація фракталів

              Безумовно, наведені мною приклади  геометричних фракталів не є  єдиними. Існує ще величезна кількість  інших, ще складніших і цікавіших фракталів.

         Наприклад, дуже цікавою, а тому відомою є крива Гильберта. Початковим елементом є відрізки, твірні криву, схожу на букву "П".

  У кожньому з наведених прикладів мі розглянули декілька послідовних стадій перетворення початкової фігури. Кожна з отриманих на окремому етапі фігур називається передфракталом, і їх саме подібність  очевидна. Справжній фрактал вийде, якщо число кроків алгоритму побудови прагнутиме до нескінченності. [4, с. 121]

   Геометричні фрактали мають  колосальне практичне значення. Застосовуючи їх в машинній графіці, учені навчилися отримувати складні об'єкти, схожі на природні : зображення сніжинок, гірських вершин, штучних хмар, дерев, кущів, гілок, берегової лінії тощо.

1.2.2.Алгебраїчні фрактали

Простий приклад алгебраїчних фракталів – це геометрична прогресія 1, 2, 4, 8,16,32,...,2n,2 n +1,.. Якщо відкинути перші три члени, то отримаємо послідовність 8,16,32,...,2n,2n +1,... Це також геометрична прогресія, причому з тим же знаменником. Крім того, її можна отримати з початкової прогресії множенням всіх членів на 8. Вона «подібна» вихідної прогресії з коефіцієнтом 8. Звичайно, аналогічний ефект автоподібності залишиться вірним і при відкиданні будь-якого числа початкових членів. Другий приклад алгебраїчних фракталів – це геометрична прогресія   …, , , , 1, 3, 9, 27, … Помноживши кожен член цієї  прогресії на 3, отримаємо послідовність …, , , 1, 3, 9, 27, 81, …, яка виявилася тією ж самою прогресією.

Алгебраїчні (комплексні) фрактали - це найбільша група фракталів. Свою назву вони отримали за те, що їх будують, використовуючи прості алгебраїчні формули. Отримують їх за допомогою нелінійних процесів в n-мірних просторах. Найбільш вивчені двомірні процеси. Інтерпретуючи нелінійний ітераційний процес, як дискретну динамічну систему, можна користуватися термінологією теорії цих систем: фазовий портрет, сталий процес, аттрактор і т.д. Відомо, що нелінійні динамічні системи володіють декількома стійкими станами. Той стан, в якому опинилася динамічна система після деякого числа ітерацій, залежить від її початкового стану. Тому кожний стійкий стан (або як кажуть - аттрактор) володіє деякою областю початкових станів, з яких система обов'язково потрапить в аналізовані кінцеві стану. Якщо фазовим є двомірний простір, то, забарвлюючи області тяжіння різними кольорами, можна отримати колірний фазовий портрет цієї системи (ітераційного процесу). Міняючи алгоритм вибору кольору, можна отримати складні фрактальні картини з химерними кольоровими візерунками. Несподіванкою для математиків стала можливість за допомогою примітивних алгоритмів породжувати дуже складні нетривіальні структури. [ 7, с. 39]

1.2.3. Стохастичні фрактали

Третя група – це стохастичні фрактали. Фрактали, при побудові яких у ітеративної системі випадковим чином змінюються будь-які параметри. Термін "стохастичність" походить від грецького слова, що означає "припущення".     Також прикладом випадковості в природі є броунівський рух. За допомогою комп'ютера такі процеси будувати досить просто, тому що він дозволяє генерувати послідовності випадкових чисел. Ці фрактали використовуються при моделюванні рельєфів місцевості і поверхні морів, процесу електролізу.

Ініціатором сніжинки є пряма, а точніше три відрізки прямих, що перетинаються в одній точці (Рис. 8 а). Для краси і наочності бажано брати відрізки, для яких точка перетину є середина (назву цю фігуру Z). Потім на кінці цих відрізків поміщаємо такі ж фігури Z (Рис. 8 б, в, г), і робимо це нескінченно. Так ми отримуємо Сніжинку Кох, яка зовні схожа з цією сніжинкою, в цьому є відмінність стохастичних фракталів від інших. [ 5, с. 72]

 

 

Рис. 8

 

 

 

        а            б          в                                      г

      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РОЗДІЛ 2  . Знаходження фрактальної структури у трикутнику Паскаля,

фігурних числах, літературних творах.

2.1.Трикутник Паскаля.

Облаштування трикутника Паскаля - бічні сторони одиниці, кожне число дорівнює сумі двох розташованих над ним. Трикутник можна продовжувати необмежено.Трикутник Паскаля  служить для обчислення коефіцієнтів розкладання виразів виду(x+1) n.  Розпочавши з трикутника з одиниць, обчислюють значення на кожному послідовному рівні шляхом складання сусідніх чисел; останньою ставлять одиницю. Таким чином, можна визначити, наприклад, що (x + 1) 4 = 1x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1x0

При виділенні непарних чисел в трикутнику Паскаля  виходить трикутник Серпінського. Візерунок демонструє властивість коефіцієнтів, вживану при «арифметизації» комп'ютерних програм, яка перетворить їх в рівняння алгебри.

 

 

2.2. Фігурні числа.

Піфагор уперше, в VI до нашої ери, звернув увагу на те, що, допомагаючи собі при рахунку камінчиками, люди іноді вибудовують камені в правильні фігури. Можна просто класти камінчики в ряд: один, два, три. Якщо класти їх в два ряди, щоб виходили прямокутники, ми виявимо, що виходять усі парні числа. Можна викладати камені в три ряди: вийдуть числа, що діляться на три. Всяке число, яке на що-небудь ділиться, можна представити прямокутником, і тільки прості числа не можуть бути « прямокутниками». [ 3, с. 144]

• Лінійні числа — числа, що не розкладаються на співмножники, тобто їх ряд співпадає з рядом простих чисел, доповненим одиницею :(1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,...). Це прості числа.
• Плоскі числа — числа, уявні у вигляді твору двох співмножників (4,6,8,9,10,12,14,15,...)
• Тілесні числа — числа, що виражаються твором трьох співмножників (8,12,18,20,24,27,28,...) і т. д.

Многокутні числа:

Розглянемо кожну групу чисел.

• Трикутні числа:(1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...)

Перше число - 1. Наступне число - 3. Воно виходить збільшенням до попереднього числа, 1, двох точок, щоб шукана фігура стала трикутником. На третьому кроці ми додаємо три точки, зберігаючи фігуру трикутник. На подальших кроках додається n точок, де n - порядковий номер трикутного числа. Кожне число виходить додаванням до попереднього певної кількості точок. З цієї властивості вийшла рекурентна формула для трикутних чисел:

t n=n+t n - 1.

• Квадратні числа є твором двох однакових чисел, тобто є повними квадратами:(1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ..., n2, ...)

             Перше число - 1. Наступне число - 4. Воно виходить збільшенням 3 точок до попереднього числа у вигляді прямого кута, щоб вийшов квадрат. Формула для квадратних чисел дуже проста, вона виходить з назви цієї групи чисел : gn = n2. Але також, окрім цієї формули, можна вивести рекурентну формулу для квадратних чисел. Для цього розглянемо перші п'ять квадратних чисел:

g1 = 1

g2 = 4 = 1+3 = 1+2 2-1

g3 = 9 = 4+5 = 4+2 3-1

g4 = 16 = 9+7 = 9+2 4-1

g5 = 25 = 16+9 = 16+2 5-1

• П'ятикутні числа:(1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ...)

     Перше число - 1. Наступне число - 5. Воно виходить збільшенням чотирьох точок, таким чином, фігура, що вийшла, набуває форми п'ятикутника. Одна сторона такого п'ятикутника містить 2 точки. На наступному кроці на одній стороні буде 3 точки, загальна кількість точок - 12. Спробуємо вивести формулу для обчислення п'ятикутних чисел. Перші п'ять п'ятикутних чисел: 1, 5, 12, 22, 35. Вони утворюються таким чином:

f1 = 1

f2 = 5 = 1+4 = 1+3 2-2

f3 = 12 = 5+7 = 5+3 3-2

f4 = 22 = 12+10 = 12+3 4-2

f5 = 35 = 22+13 = 22+3 5-2 

• Шестикутні числа(1, 6, 15, 28, 45, ...)

 

 

 

 Перше число - 1. Друге - 6. Фігура виглядає як шестикутник із стороною в 2 точки. На третьому кроці вже 15 точок вибудовуються у вигляді шестикутника із стороною 3 точки. Виведемо рекурентну формулу:

u1 = 1

u2 = 6=1+4 2-3

u3 = 15 = 6+4 3-3

u4 = 28 = 15+4 4-3

u5 = 45 = 28+4 5-3

Якщо подивитися уважніше, то можна помітити зв'язок між усіма рекурентними формулами.

Для трикутних чисел: tn=t n - 1+n= t n - 1+1n-0

Для квадратних чисел: gn = g n - 1+2n-1

Для п'ятикутних чисел: fn = f n - 1+3n-2

Для шестикутних чисел: un = u n - 1+4n-3

Ми бачимо, що фігурні числа побудовані на повторюваності: це добре видно на рекурентних формулах. Можна сміливо стверджувати, що фігурні числа у своїй основі мають фрактальну структуру.

2.3.Літературни твори.

 Розглянемо фрактал саме як витвір мистецтва, причому що характеризується двома основними характеристиками:

1) частина його деяким чином подібна до цілого(в ідеалі, ця послідовність подібностей поширюється на нескінченність, хоча ніхто ніколи не бачив дійсно нескінченної послідовності ітерацій, що будують сніжинку Кох;

2) його сприйняття відбувається  по послідовності вкладених рівнів. Помітимо, що чарівність фрактала якраз і виникає на шляху дотримання по цій заворожливій і запаморочливій системі рівнів, повернення з якої не гарантоване.

Як же можна створити нескінченний текст? Це питання ставив герой розповіді Х.-Л.Борхеса «Сад стежинок», що розходяться : «Я задавався питанням, як може книга бути нескінченною. У голову не приходить нічого, окрім циклічного тому, тому, в якому остання сторінка повторює першу, що йде по кругу, що і дозволяє йому тривати скільки завгодно».

Подивимося, які ще рішення можуть існувати. Найпростїшим нескінченним текстом буде текст з нескінченної кількості елементів, що дублюються, або куплетів, частиною якого, що повторюється, є його « хвіст» - той же текст з будь-якою кількістю відкинутих початкових куплетів. Схематично такий текст можна зображувати у вигляді дерева, що не розгалужується, або періодичної послідовності куплетів, що повторюються. Одиниця тексту - фраза, строфа або розповідь, починається, розвивається і закінчується, повертаючись у вихідну точку, точку переходу до наступної одиниці тексту, що повторює початкову. Такий текст можна уподібнити нескінченному періодичному дробу: 0,33333., її ще можна записати як 0,(3). Видно, що відсікання « голови» - будь-якої кількості початкових одиниць, нічого не змінить, і « хвіст» в точності співпадатиме з цілим текстом.

Серед таких нескінченних творів - вірші для дітей або народні пісеньки, як, наприклад, вірш про попа і його собаку з російської народної поезії, або вірш М.Яснова «Чучело-мяучело», що оповідає про кошеня, яке співає про кошеня, яке співає про кошеня.

 Їду я і бачу міст, під мостом ворона мокне

Узяв ворону я за хвіст, поклав її на міст, нехай ворона сохне.

Їду я і бачу міст, на мосту ворона сохне

Узяв ворону я за хвіст, поклав її під міст, нехай ворона мокне.

            На відміну від нескінченних куплетів, фрагменти фракталів Мандельброта все ж не тотожні, а подібні один до одного, і ця якість і надає їм чарівність. Тому у вивченні літературних фракталів встає завдання пошуку подібності, схожості(а не тотожності) елементів тексту.

У разі нескінченних куплетів заміна тотожності на подібність була здійснена різними способами. Можна привести, принаймні, дві можливості:

1) створення віршів з варіаціями, 

2) тексти з нарощуваннями.

Вірші з варіаціями - це, наприклад, українська народна пісня (Додаток Г)

Ще одна можливість криється в текстах з « приростами». Такі відомі нам з дитинства казки про ріпку або про колобка, в кожному епізоді яких кількість персонажів збільшується: (Додаток Д)

           Такі тексти мають структуру « ялиночки» або « матрьошки», у яких кожен рівень   повторює попередній зі збільшенням розміру зображення.

В Українській літературі аналогом є казка «Рукавичка».  

          Поетичний твір, в якому кожен куплет може бути прочитаний незалежно, як окремий « поверх» ялиночки, а також разом, складаючи текст, що розвивається від Одного до Іншого, і далі до Природи, Світу і Всесвіту, створений Т.Васильевой:(Додаток Е)

Тепер, я думаю, можна зробити висновок, що існують літературні твори, що мають фрактальну структуру.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Висновоки

 Результати дослідження

У моїй роботі ви прочитали цікаву інформацію про фрактали, їх види, розмірність і властивості, про їх застосування, а також про трикутник Паскаля, фігурні числа, про фрактальні літературні твори і багато що інше.

В процесі дослідження була виконана наступна робота:

5. Проаналізована і опрацьована література по темі дослідження.
6. Розглянуті і вивчені різні  види фракталів.
7. Зібрана колекція фрактальних образів для первинного ознайомлення зі світом фракталів.
8. Встановлені взаємозв'язки між фракталами і трикутником Паскаля, літературними творами, фігурними числами і золотим перерізом.

Я переконався, що тим, хто займається фракталами, відкривається прекрасний, дивовижний світ, в якому панують математика, природа і мистецтво. Я думаю, що після знайомства з моєю роботою, ви, як і я, переконаєтеся в тому, що математика прекрасна і дивовижна.