Фрактал. Історія його виникнення. Класифікація фракталів

 

 

 

 

Вступ

У сучасному світі все стрімко змінюється. Це стосується і найстарішої науки - математики. На уроках геометрії ми вивчаємо кола, паралелограми, трикутники, квадрати і т.і. Проте в природі здебільшого об'єкти «неправильні» - зазубрені, поїдені ходами і отворами. З цього приводу родоначальник фракталів Б. Мандельброт у своїй книзі «Фрактальна геометрія природи» звертає увагу на  наступне:

«Чому геометрію часто називають «холодною» та «сухою»? Одна з причин полягає в її непристосованості описувати форму хмари, гори, берегової лінії або дерева. Хмари - не сфери, гори - не конуси, берегові лінії - не кола, деревна кора не гладка, а блискавка поширюється не по прямій. У більш загальному плані я стверджую, що багато об'єктів у природі настільки іррегулярні (від латинського неправильний, не підпорядкований певному положенню, порядку) і фрагментовні, що в порівнянні з Евклідом - термін, який в цій роботі означає всю стандартну геометрію, - природа володіє не просто більшою складністю, а складністю зовсім іншого рівня. Число різних масштабів довжин природних об'єктів для всіх практичних цілей нескінченно[ 5, с. 25]».

Перш за все, фрактали - область дивного математичного мистецтва, коли за допомогою простих формул і алгоритмів утворюються картини надзвичайної краси і складності! У контурах побудованих зображень часто вгадуються листя, дерева і квіти.

Актуальність теми.

Достоїнства алгоритмів фрактального стискування зображень - дуже маленький розмір упакованого файлу і малий час відновлення картинки. Фрактальне упаковані картинки можна масштабувати без пікселізації. Але процес стискування займає тривалий час і інколи триває годинами. Алгоритм фрактальної упаковки з втратою якості дозволяє задати міру стискування, аналогічно формату jpeg. У основі алгоритму лежить пошук великих шматків зображення подібних деяким маленьким шматочкам. І у вихідний файл записується лише який шматочок до якого подібний. При стискуванні зазвичай використовують квадратну сітку (шматочки - квадрати), що приводить до невеликої втрати якості при відновленні картинки, шестикутна сітка позбавлена такого недоліку.

  Одні з найбільш потужних додатків фракталів лежить у  комп'ютерній графіці. По-перше, це фрактальне стискування зображень, і по друге,  побудова ландшафтів, дерев, рослин і генерування фрактальних текстур. Сучасна фізика і механіка тільки- тільки починають вивчати поведінку фрактальних об'єктів. І звичайно ж фрактали застосовуються безпосередньо в самій математиці.

   Мене зацікавило одне з відкриттів тридцятирічної давності - відкриття фракталів - дивно красивих і таємничих геометричних об'єктів.

У своїй роботі я приділив основну увагу різним визначенням фракталів, класифікації фракталів, зв'язку фракталів з природою і мистецтвом.

Мета, задачі дослідження.

• З'ясувати, що таке фрактал;
• Виділити основні види фракталів;

З'ясувати, в яких областях науки і техніки використовуються фрактали.

Гіпотези:

Чи існує зв'язок між фракталами і

• трикутником Паскаля.
• фігурними числами.
• літературними творами

Мета  роботи :

Спростувати або довести гіпотези, поставлені в роботі.

Завдання дослідження :

• Опрацювати і проаналізувати літературу по темі дослідження.
• Розглянути різні  види фракталів, їх класифікацію.
• Зібрати колекцію фрактальних образів для первинного ознайомлення зі світом фракталів.
• Встановити взаємозв'язки між  трикутником Паскаля, літературними творами, фігурними числами і.

Методи  дослідження :

- теоретичний(вивчення і теоретичний аналіз наукової і спеціальної літератури;  узагальнення досвіду);

- практичний( складання розрахунків, узагальнення результатів)

Наукова новизна одержаних результатів.

З'ясовано, в яких областях науки і техніки використовуються фрактали.

Встановлений  зв'язок між фракталами трикутником Паскаля, літературними творами, фігурними числами і золотим перерізом.

Практичне значення одержаних результатів.

Роль фракталів сьогодні досить велика. Вони приходять на допомогу коли потрібно за допомогою декількох коефіцієнтів задати лінії і поверхні дуже складної форми. Фактично, знайдений спосіб допомогає знайти зв'язок між фракталами та іншими галузями науки

Особистий внесок автора роботи.

У процесі дослідження була виконана наступна робота:

1. Аналіз і опрацювання літератури по темі дослідження.
2. Розгляд і вивчення різних  видов фракталів.
3. Збір колекції фрактальних образів для первинного ознайомлення зі світом фракталів.
4. Встановлення взаємозв'язків між фракталами і трикутником Паскаля, літературними творами, фігурними числами.

Ця тема дуже захоплива і змістовна, розвиває пізнавальний інтерес до математики. Дуже сподіваюся, що цей проект принесе користь і  ровесникам, і старшокласникам, і вчителям. Історія математики повна несподіваних і цікавих фракталів, і дуже часто їх розв’язок служив поштовхом до нових відкриттів, з яких,у свою чергу, зростали нові фрактали.

 

 

 

 

РОЗДІЛ 1 Фрактал. Історія його виникнення. Класифікація фракталів

1.1. Фрактал. Історія його виникнення

Все, що створено людиною, обмежено площинами. Коли зустрічається об’єкт у природі, то спочатку можна побачити, що описати його форму можна лише наближено і допоможуть у цьому фрактали. Де закінчуються правильні форми Евклідової геометрії, там зустрічаються фрактали. [ 6, с. 125]

Фракта́л (лат. fractus — подрібнений, дробовий) – нерегулярна, самоподібна структура. У широкому розумінні фрактал означає фігуру, малі частини якої в довільному збільшенні є подібними до неї самої « рис.1».Об'єкти, які тепер називаються фракталами, досліджувались задовго до того, як їм було дано таку назву. В етноматематиці, наприклад в роботах Рона Еглаша "Африканські Фрактали", задокументовано поширені фрактальні геометричні фігури в мистецтві тубільців. У 1525 році німецький митець Альбрехт Дюрер опублікував свою працю “Керівництво художника”, один із розділів якої має назву "Черепичні шаблони, утворені пентагонами". Пентагон Дюрера багато в чому є схожим на килим Серпінського, але замість квадратів використовуються п'ятикутники. Джексон Поллок (американський експресіоніст 50-тих років) малював об'єкти, дуже схожі на фрактали. Ідею "рекурсивної самоподібності" було висунуто філософом Лейбніцом, який також розробив багато з деталей цієї ідеї. У 1872 Карл Веєрштрасс знайшов приклад функції з неінтуїтивною особливістю, скрізь неперервної, але ніде недиференційованої — графік цієї функції тепер називався б фракталом. У 1904році Хельга Фон Кох, незадоволена занадто абстрактним та аналітичним означенням Веєрштрасса, розробила більш геометричне означення схожої функції, яка тепер має назву сніжинки Коха. Ідею самоподібних кривих, котрі складаються із частин, схожих на ціле, було далі розвинено Полем П'єром Леві, який у своїй роботі «Криві та поверхні на площині та у просторі», виданій 1938 року, описав нову фрактальну криву, відому тепер як Крива Леві (рис.2 а, б, в).

а)                                          б)                                        в)

Рис. 2

Ґеорг Кантор навів приклади підмножин дійсних чисел із незвичними властивостями — ці множини Кантора тепер також визнаються як фрактали. [ 1, с. 32]

Ітераційні функції на комплексній площині досліджувались в кінці XIX та на початку XX століття Анрі Пуанкаре, Феліксом Кляйном, П'єром Фату та Ґастоном Жюліа. Проте за браком сучасної комп'ютерної графіки у них не вистачило засобів відобразити красу багатьох із відкритих ними об'єктів.

У 1975 році Мандельброт використав слово фрактал як назву для об'єктів Хаусдорфа, розмірність яких є більшою за топологічну розмірність, наприклад Крива Хильберта (Рис.3 а,б,в,г).

 

 

 

 

 

 

Рис.3

Бенуа Мандельброт (фр. Benoît Mandelbrot)

(20 листопада 1924 — †14 жовтня 2010) —  французький математик польського  походження, засновник фрактальної  геометрії. Його ім'я відоме багатьом  в зв'язку з фракталом, названим  на його честь, — множиною Мандельброта. Математик також займався економікою, теорією інформації, космологією та іншими науками. Мандельброт є лауреатом премії Вольфа з фізики у 1993 році, Японської премії за інноваційні ідеї в науці у 2003 році та інших численних нагород.

Бенуа Мендельброт народився у єврейській родині у Варшаві в 1924 році. Але вже у 1936 році родина Бенуа емігрувала у Францію, в Париж. У Парижі він потрапив під вплив свого дядька Шолема Мандельброта, відомого паризького математика, викладача Колеж де Франс, члена групи математиків, відомої під загальним псевдонімом «Ніколя Бурбакі».

Після початку війни Мандельброти переїхали на південь Франції, у містечко Тюль. Там Бенуа навчався у школі. У нього відкрився незвичайний математичний дар, який дозволив йому після війни стати студентом Політехнічної школи (1945—1947). Виявилося, що в Бенуа чудова просторова уява. Він навіть алгебраїчні завдання розв'язував геометричним способом. Оригінальність його рішень дозволила Мандельброту вступити до університету.

Після Політехнічної школи у 1947—1949 р.р .Бенуа вивчав аеронавтику у Каліфорнійському технологічному інституті. Він захистив докторську дисертацію з математики («Ігри комунікацій») у 1952 в Сорбонні. У 1958 він переїхав у США, де приступив до роботи в науково-дослідному центрі IBM в Йорктауні, оскільки IBM у той час займалася саме цікавими для Бенуа Мандельброта областями математики. [ 5, с. 8]

1.2. Класифікація фракталів. (Додаток А)

            Головна відмінність фракталів, створених людиною і природних  фракталів це те, що ті фрактали, які були придумані вченими,  при будь-якому масштабі мають фрактальні властивості. А якщо розглядати природні фрактальні об'єкти, то при більш детальному їх розгляді ми, врешті-решт, підійдемо до масштабу, де починають проявлятися квантові ефекти. Це означає, що природні фрактали не мають субструктур, що нескінченно повторюються, і не можуть демонструвати нескінченну самоподібність. У цьому полягає особливість природних фракталів. Для природних фракталів у класифікаційній таблиці використаний термін - "фізичні фрактали", щоб підкреслити їх «нерукотворність».

Фрактали створені вченими також мають класифікацію(Додаток Б)

Зі схеми видно, що весь неосяжний світ фракталів поділяється  на три групи.

1.2.1. Геометричні фрактали

Геометричні (детерміновані, лінійні, прості) фрактали найнаочніші оскільки відразу видно самоподобність. Саме з них почалася історія фракталів. Це і є ті функції-монстри, яких так називали за недиференційованість у кожній точці. У двомірному випадку їх отримують за допомогою деякої ламаної (чи поверхні в тривимірному випадку), званої генератором. За один крок алгоритму кожен з відрізків, складових ламаої, замінюється на ламану-генератор у відповідному масштабі. У результаті нескінченного повторення цієї процедури, виходить геометричний фрактал. У машинній графіці використування геометричних фракталів потрібне при отриманні зображень дерев, кущів, берегової лінії. Двомірні геометричні фрактали використовуються для створення об'ємних текстур (малюнка на поверхні об'єкту). Фрактали цієї групи не лише найнаочніші, але і простіші. [ 1, с. 62]

 Канторовська множина (Додаток В)

Рецепт її побудови полягає в наступному.

Спочатку береться відрізок прямої одиничної довжини. Потім він поділяється на три рівні частини, і виймається відрізок в середині, що знаходиться між точками  1/3 і 2/3. Це перший крок ітераційної процедури. На другому кроці подібній же процедурі ділення на три рівні частини і наступного видалення середини піддається кожен з двох відрізків, що залишився. Так триває до безкінечності. Легко побачити, що сумарна довжина відрізків дорівнює нулю, оскільки ми виключили в результаті довжину, рівну 1:

    Отже, виникла множина  яка є нескінченним числом  ізольованих точок, яке і дістало  назву Канторовська множина.

Рис 4. Крива Кох

Ще одним дуже відомим геометричним фракталом є крива Кох, названа так на честь шведського математика Хельги фон Кох, що відкрила її ще в 1904 році. Різновиди цієї кривої дуже часто використовуються при наведенні прикладів по даній темі. Один з найбільш відомих різновидів кривої Коха і буде розглянута далі в моїй роботі.

Для того, щоб побудувати цей фрактал, треба послідовно виконати нескінченне число кроків. Початковий крок - нульовий. Візьмемо відрізок довільної довжини (мал. 6, а) і поділимо його на три рівні частини. На середньому відрізку CD побудуємо правильний трикутник CED, чию основу CD ми потім видалимо. Ми отримаємо криву ACEDB, у якої усі ланки рівні (Рис. 5, б).

Другий крок: кожна з ланок AC, CE, ED, DB знову поділимо на три рівні частини і побудуємо на середніх відрізках правильні трикутники, чиї підстави ми потім видалимо. Ми отримаємо нову ламану AMKNCLPFEQRSDTUXB (Рис. 5, в). Другий крок закінчений. Продовжуючи цей процес до безкінечності, ми і отримаємо шуканий фрактал - криву Кох. Як видно на малюнку 7, крива Кох дуже точно імітує сніжинку, тому замкнуту криву Кох називають ще і сніжинкою Кох (Рис. 6).