Автор работы: Пользователь скрыл имя, 03 Июня 2012 в 20:06, шпаргалка
Работа содержит 13 ответов на вопросы по дисциплине "Математика"
Громадная заслуга Евдокса в том, что он практически ввел вещественные положительные числа. Он ввел аксиоматический подход к величинам, чтобы ввести новые понятия отношений. Евдокс ввел понятие отношений, которые годились не только для соизмеримых величин (натуральных величин), а приводит к появлению вещественного числа. Это первый подход, как выйти из ситуации несоизмеримых величин. А второй подход – чисто геометрический. Греки, как правило, они старались изучаемые ими вещи перевести на геометрический язык. Но действия с геометр. объектами часто были такими - чтобы доказать нужно было построить этот объект. А построения они разрешали только с помощью – не разбитой на деления линейки и циркуля. И в рамках этой геометрии, т.к. в основном несоизмер. величины не позволяли получать новые результаты в обл. геометрии, начиная с периода Евдокса, была создана геометрическая алгебра.
Алгебра Пифагора себя исчерпала. Там где она работает – теория чисел (арифметика), а касаемо неизмеримых величин – возникает геометрическая алгебра.
7 вопрос: Метод предельного перехода. Евклид. Аристотель
Метод исчерпывания. Евдокс. Как Архимед потом применял метод исчерпывания Евдокса.
Евдокс (4 в. до н.э.), школа Евдокса –наибольшее его достижение в области астрономии. В школе были получены важные вещи, послужившие основой для различных исследований в обл. мат-ки. Заложены такие понятия мат-ки, которые только в 19 в. получили полное обоснования, но которые по сей день лежат в основе мат.анализа, теории вероятности. Евдокс занимался вещественным понятием числа, с т.зр. как абстрактного понятия. До Евдокса, между Пифагором и им, можно сказать, что многие математики интересовались вопросом: Как изучать ту часть геометрии, в которой было обнаружено много примеров, когда несоизмеримы даже две линейные.
Евдокс спас математику от трагедии(в школе Пифагора обнаружили, что есть несоизмеримые величины) – встал вопрос, как определить само понятие «величина», чтобы работать и с соизмер. и несоизмерим. величинами? Он рассматривает не только целые числа, но и величину. Понятие величины он вводит с помощью аксиоматики .В 4 в. до н.э. появилась аксиоматика Евдокса. Громадная заслуга Евдокса в том, что он практически ввел вещественные положительные числа. Он ввел аксиоматический подход к величинам, чтобы ввести новые понятия отношений. Евдокс ввел понятие отношений, которые годились не только для соизмеримых величин (натуральных величин), а приводит к появлению вещественного числа.
Это все навело Евдокса на мысль о том, что есть еще такие величины, которые мы сегодня называем бесконечно малые. Он доказал такое утверждение: если есть одна величина А и есть наперед заданная величина Е, то убирая из величины А большую половину, а потом из того что осталось, снова убираем величину большую половины, то через конечное число шагов прейдем, к остатку-величине, которая будет меньше наперед заданного Е (какое бы «эпсилон маленькое» мы не брали). Евдокс доказывал это утверждение
Евдоксу, также, принадлежит метод исчерпывания. Этот метод Евдокс применял тогда, когда гипотеза о формуле высказана (для площади, или для объема) и нужно это доказать. Этот метод основан на лемме (утверждение выше). Неизвестную фигуру помещают в известную, но помещают в такой, у которого площадь больше половины другой площади, из соображения теоретико-множественного сравнения. Затем, в то, что осталось помещаем снова треугольники – сумму считаем и снова выбрасываем, и таким образом исчерпывают этот сегмент. Понимаем, что выбрасываем не до бесконечности – нужно знать какие-то рамки. Т.е. эта лемма дает нам то, что когда мы будем складывать площади выбрасываемых треугольников, то каждый раз будет исчерпываться с точностью как угодно малой величины.
Но этот метод не очень удобный, и Архимед его усовершенствовал. Архимед в плоских случаях обходился методом исчерпывания Евдокса, а в объемных описывал какие-то тела, вписывал, и смотрел потом к чему их площади, объемы стремятся.
Архимед – прежде всего инженер. В миролюбивое время Архимед создал много различных орудий труда и приспособлений, которые облегчили жизнь – например, насос, который из глубоких слоев доставлял воду. Но самые большие достижения были в период, когда Сиракузы отбивались от римских войск. Архимед был инженером. Ему принадлежать так же наработки в области механики – статика (теория равновесия) и гидравлика (закон Архимеда). Зная статику - теорию равновесия («рычага») он смог угадывать формулы которые ему надо будет потом доказывать методом исчерпывания или методом обобщения.
8 вопрос: Математика эпихо эллинизма
Математика эпохи эллинизма.
Эллинизм – пост-греческое государство – эпоха появления империи Александра Македонского. 3 в. до н.э. – к этому времени многие цивилизации, в которых на высоком уровне была развита мат-ка, оказались в рамках Македонской империи. Александр Македонский распорядился развивать все, что на завоеванных территориях существовало в то время.
Наиболее сильным эллинистическим государством с сильным математическим уклоном была Александрия. В Александрии был создан Музейон – научный центр, поддерживаемый государством. . Большинство научных открытий появилось именно в рамках этой александрийской школы. В Александрии была создана библиотека – это был центр куда приглашались крупные мат-ки из других мест. Были приглашены: Евклид, Архимед, Ополоний, Эратосфен, позже будут Герон, Диофант. Все перечисленные, кроме Архимеда жили в этом Музейоне, преподавали. Наукой занималась только определенная часть общества – меньшая часть. Эпоха до эллинизма – это Пифагор, Евдокс и т.д.
В Александрии были созданы «Начала» Евклида, а это значит – хотя впервые аксиоматический подход был заложен у Евдокса, но по-настоящему именно аксиоматика как метод построения какой-то области математики был изложен на достаточно высоком уровне у Евклида.
Архимед – прежде всего инженер. Архимед создал много различных орудий труда и приспособлений, которые облегчили жизнь. Ему принадлежать так же наработки в области механики – статика (теория равновесия) и гидравлика (закон Архимеда).
Ополоний изучал конические сечения 1-го/2-го порядка – одна из задач Др. Греции.
1-3 вв. н.э. Герон (1 в.) – формула площади треугольника Герона. Он знал все работы Аристотеля и продвигал идеи в области физики, механики.
Минехм – открыл сферическую тригонометрию. Это математик-астроном.
Диофант (3 в. до н.э.)– это грек, который занимался алгеброй. Диофант ввел иррациональные числа. С приближенными значениями чисел он работали так же, с т. зр. абстракции, как и с точными значениями. Узаконил действие возведения в степень. Он придумывал оригинальные приемы, для нахождения множества решений для тех уравнений, которые называются Диофантовыми. В основном это ур-ния 1-ой степени с неск. переменными. Диофант ввел символику(появились значки).
8 вопрос: «Начала» Евклида
Аксиоматическое построение математики в «Началах» Евклида и его философские предпосылки.
Наиболее ярко появилась необходимость, полезность аксиоматического подхода в работах Евдокса. Когда он обнаружили несоизм. величины – встал вопрос, как определить само понятие «величина», чтобы работать и с соизмер. и несоизмерим. величинами? В 4 в. до н.э. Евдокс предложил при работе с несоизмеримыми величинами, вводить их аксиоматически. Появилась аксиоматика Евдокса.
Аксиоматика Евклида (3 в. до н.э.) – изучая работа Евдокса, воспользовался его аксиоматич. Подходом. Кроме последней аксиомы, все аксиомы Евдокса – просто отражение какого-то чувства, которое помогает выработать критерий истинности. Величинами называются такие объекты, что: Два объекта равны третьему, то они равны между собой;. Если от равных убавить равное, получатся равные; совпадающие объекты равны при наложении; часть всегда меньше целого; Аксиома Архимаеда(Евдокса): есть две величины a и b, найдется такое n, что n*а>b, найдется такое m, что m*b>а.
Евклид. С его именем связан очень важный результат в области мат-ки – это его работа «Начала». По большей части это геометрическая работа. Хотя в ней есть алгебраические (арифметические) результаты, но они сделаны в основном на языке геометрии. Ценность этой работы: это, в некотор. смысле энциклопедия, в котор. собраны результаты начала 3 в. до н.э. всей греческой мат-ки периода Пифагорейской школы, кроме наработок связанных с коническими сечениями и неквадратичных иррациональностей.
«Начала» Евклида - это первая серьезная работа (опыт), рассматривающая и применяющая аксиоматический метод построения математики на высоком уровне. Работа состоит из 13 книг. Перед первой книгой помещены такие разделы, как понятия - договоры о том, как понимать некоторые объекты (например, точка – это то, что не имеет ни длины, ни ширины, ни глубины и т.д.). И перечисляются основные определения (например, то, каким способом можно чертить чертежи, с помощью только циркуля и линейки ). Дальше предлагаются 5 аксиом: 4 аксиомы Евдокса + 5-ая аксиома («прямые углы при наложении совпадают») и, далее, пять постулатов (т.е. требований):
1. Из любой точки можно провести прямую до другой точки.
2. Любую ограниченную прямую или часть прямой (т.е. отрезок) можно продолжить в любую сторону как угодно далеко.
3. Из любой точки любим раствором циркуля можно провести окружность.
4. Все прямые углы равны.
5. Если 2 прямые пересечены 3й и если внутренние углы при пересечении в сумме составляют меньше двух «пи», то эти две прямые пересекаются. Позже появились эквиваленты: что через точу, не лежащую на прямой можно провести единственную прямую не пересекающуюся с параллельно заданной.
После этого начинаются формулировки, и доказательства различных утверждений (теорем). Метод доказ-в индуктивный, т.е. с помощью логических рассуждений, связанных между собой.
Среди этих книг есть главы, написанные самим Евклидом. Но большинство – то, что наработано раньше. Планиметрия (той части, где учувствуют отношения и площади) состояла из 4 первых книг. В первой изучались линейные фигуры и их свойства (треуг-к, прямоуг-к, трапеция, параллелограмм). Во второй - геометрическая алгебра (только планиметрическая часть, связанная с основн. формулами сокращенного умножения). В третьей – круг, его части и их свойства (вектор, сегмент, площадь круга). Четвертая – размещена т. Пифагора и рассмотрены вопросы построения с помощью циркуля и линейки некоторых правильных многоуг-ков. В пятой книге некоторые изложения отношений Пифагора и Евдокса без применения их к решению задач + упоминание о методе исчерпывания Евдокса. Шестая – применение геометрической алгебры на практике (решение квадратных уравнений). Седьмая, восьмая и девятая – алгебраические книги, содержащие материал, связанный с арифметикой. Через все эти книги проходит идеология теории множеств. От Пифагора – теория чисел. Рассмотрены четные/нечетные, дружественные числа, рациональные/иррациональные числа и т.д. Главная наработка – изучение простых чисел. Десятая и одиннадцатая книги посвящены линейной стереометрии (кроме правильных многогранников – параллелограммов); рассматривается метод исчерпывания не только к плоскому, но и к 3-х мерному случаю. Двенадцатая – стереометрия криволинейных тел (например, сфера). Тринадцатая – теория правильных многогранников.
Именно от Евклида идет такой принцип построения теории, который связан с тем, что не определяются такие объекты, которые называются понятиями. А просто их считают неопределяемыми объектами, о них ничего не говорится, а их чувствует изучающий в связи с той аксиоматикой, которая предложена.
8 вопрос: Неевклидовы геометрии.Гильберт.Платон.
Неевклидовы геометрия. Аксиоматика Гильберта. Место математики в философской концепции Платона и Аристотеля.
Неевклидовы геометрии.
После появления работ Евклида у многих исследователей появилась желание отделить пятый постулат (Если 2 прямые пересечены 3й и если внутренние углы при пересечении в сумме составляют меньше двух «пи», то эти две прямые пересекаются.) от остальных, поскольку он больше похож на теорему, чем на какое-то утверждение В 12 в. н.э. Омар Хайям поставил вопрос иначе: может не надо его доказывать? из этой аксиоматики он не выводится, можно подумать о том, что столь же правомочно положить обратное и строить другие геометрии.
В 19в. первая работа, которая была опубликована ученым Бойяи - он написал работу, в которой построил неевклидову геометрию. Что правомочно заменить пятый постулат на противоположный. Самые первые работы, которые были опубликованы, где была полностью построена геометрия, принадлежали Лобачевскому. Позже появились геометрия Римана, проективная геометрия.
Аксиоматика Гильберта.
Самое крупное возражение против неевклидовой геометрии, в частности в Геометрии Лобачевского, - а не является ли она противоречивой? Этой проблемой стал заниматься Гильберт. А перед ним Клейм, Бертран: геометрия Лобачевского настолько же не противоречива, как и непротиворечива геометрия Евклида. Нужно было проверить непротиворечива ли геометрия Евклида. Гильберт занялся этой проблемой. Гильберт, прежде всего, «навел порядок» именно в самом аксиоматическом методе.
Основные требования Гильберта к аксиоматическому построению (методу) – сейчас являются основополагающими: аксиоматический метод является обоснованным (правомерным), если 1. система аксиом в данной области знаний является полной (т.е. любую теорему можно доказать не прибегая к новым аксиомам), 2. эти аксиомы независимы (т.е. их нельзя вывести как теорему) и 3. выполняется непротиворечивость (нельзя вывести утверждения, противоречащие аксиомам)..
Гильберт, прежде всего, считал, что аксиоматический метод сделан, прежде всего, на примере евклидовой геометрии. Было предложено пересмотреть акиом-ку Евклида, со строгой т.зр., чтоб в ней действительно было легко основать эти три принципа. Важными работами являются работы Пеано, аксиоматика Паша.
Аксиоматика Гильберта для евклидовой геометрии. Убрали раздел «Основные понятия геометрии», расширили раздел «Аксиоматика», нет раздела «Постулаты». Все аксиомы разделены на разные уровни: аксиомы соединения, порядка, конгруэнтности, непрерывности. Например, аксиомы соединения – первая, вторая, третья аксиомы. Аксиомы: