Шпаргалка по "Математике"

Центры арабского халифата: Багдад, Дамаск, Фуста.

Про арабские числа и алгебру.

Символика Диофанта поздно попала в цивилизацию, которая занималась в большей степени алгеброй, чем другими разделами математики, это Арабский Халифат. Разделы диофантовской арифметики попали туда вначале разрознено.

В области алгебры решения уравнений ситуация была такой:  еще в рецептурный период у вавилонян уже были рецепты решения уравнений 1, 2-й степени. В более поздних табличках из Вавилонии 5 век до н.э.были найдены рецепты для решения конкретных уравнений 3 и 4-й степени(возникают в прикладных вопросах, связанных с оптикой, а задачи оптики связаны с астрономическими наблюдениями).

Особенность алгебры: очень долго числовой материал, которым пользовалась алгебра, состоял из рациональных и иррациональных чисел. Очень долго господствовала в области алгебры геометрическая алгебра.

В 9,10 веке н.э. впервые были общения между Индией и Китаем и математики, которые с  7 века уже жили в Арабском Халифате. В Арабском Халифате благодаря связям с Индией и Китаем  появились арабские цифры – это числа из Индии, десятичные цифры, и появились некоторые действия, которые производили в позиционной десятеричной системе. Так как в Европу эти цифры попали через работы арабских ученых, то они были названы арабскими числами.

Долго не было абстрактного понятия отрицательное число и 0.  Это задерживало появление понятия вещественного числа. Также трудность была в том, что символика слабо была развита в это время.  В рамках Арабского Халифата для неизвестных были введены определенные символы. Но по-прежнему примерно до 15 века оставался риторический язык, на котором писались работы. Очень долго не было общего метода решения уравнений. Когда появилась удобная символика, то она дала возможность не просто решать уравнения, а исследовать эти уравнения или группу уравнений.

Виетта(Виет) – предложил не только неизвестные обозначать какой-то буквой, но и коэф-ты тоже виде букв.

Симон Стевиль – удобная символика при обозначении степеней неизвестного.

Работа Фибоначчи «книга Абака» - собрал результаты арабской алгебры и частично в этой работе есть разделы, связанные с диофантовыми уравнениями.

Появилась новая область в математике – комплексные числа.

12 вопрос: Математика в средневековой Европе

Рим.Им. прекратила свое существование, представители Рим. Им – итальянцы привозили оттуда результаты.  Западная Европа познакомилась с греческой мат-кой, достижениями крупных  ученых через арабов. И в Западной Европе, период мат-ки постоянных величин. Т.е. в начале Зап.Европа не давала оригинальных результатов – нужно было изучать то, что достигнуто. Церковь возглавляла все, люди получали математическое образование в церковных школах. В Западную Европу старались как можно больше привезти известных результатов, чтобы их изучать, и получить какие-то возможности получать что-то оригинальное. На самом деле с 11в. начинается присутствие высокого стиля мат-ки в Зап. Это период мат-ки постоянных величин. В Зап. Ев. стали появляться достижения в обл. мат-ки, превосходящие достижения связанные с греческой дедуктивной мат-кой.

Период средневековья (6-16 вв. н.э.). Это период застоя. Светская наука – светских школ было мало, наука была почти не доступна. Ученые: Пачоли, Герберт, Миллер, Фибоначчи –он вместе с отцом привез из Ар. Халиф. литературу, и получил много достижений – например, числа Фибоначчи. Мучил ученых вопрос – уравнении 2-ой, 3-ей степени решать умеем(приближено), а нельзя ли написать методику записи решений уравнений 3-ей степени (а у итальянцев 3-ей, 4-ой, и выше)? Когда говорят о мат-ке Зап. Европы 15-16 вв., говорят о двух крупнейших достижениях:

- 14-16 вв. н.э. 15 в. – Тарталья, Кардан, Феррари (ученик Кардана) – рецепты решения алгебраических уравнений в алгебраическом виде (формулами) 3-ей, 4ой степеней;

- Зап. Европа(Франция, Италия), изучив Индийскую 10-ную систему позиционную, подарила миру очень удобную символику (десятичные дроби, Виет: предложил переменные обозначать гласными буквами, коэффициенты – согласными. Известен, как крупный криптограф).

Как только появилась символика, сразу появилось много формул алгебраического содержания и свойств решений уравнения.  В это время(если говорить об алгебре период ее расцвета 15-16 век) в алгебре появляются работы, которые способствовали появлению результатов, которые исторически долго были сформулированы, но не были решены. Одним из таких результатов является получение формул корней уравнения 3-й степени. Работы по возможности разрешимости уравнений какой-то степени, решение записывалось  в алгебраическом виде, т.е.через корни. Решение этой проблемы породило несколько ветвей не только в области алгебры, но и в области других разделов математики.

Те задачи, которая решила итальянская школа(Фиеро, Ферро, Феррари, Тартили, Тарталья, Кардан). Формулы называются формулами Кардана. 1945 год работа «Великое искусство» - посвящена тому, как записать корни через корень 2 и 3-й степени уравнений 3 и 4-й степени. Кардан опирается на результаты Тарталья. После того как распалась Римская Империя, после того как ученые Италии, Испании смогли общаться с математиками Арабского Халифата, в Зап.Европе появилась эта задача о разрешимости уравнений 3-й степени.

Первые представители этого периода(самостоятельная история математики в Зап.Европе с 11-12 век) в Зап.Европе это 12 век – Фибоначчи. Другой крупный представитель – Почелли. Работа Фибоначчи «книга Абака» - это то, что касается линейной алгебры. В ней он собрал результаты арабской алгебры и частично в этой работе есть разделы, связанные с диофантовыми уравнениями.

Первые университеты. Первые университеты появились в Италии. Италия была ближе всех к Арабскому Халифиту, ближе всех была связана с римской империей.

13 вопрос: Алгебра Виета. 10-я работа Стивина

Алгебра Виета. Стивин.

Говорят о мат-ке Зап. Европы 15-16 вв, то здесь два крупнейших достижениях:

- 14-16 вв. н.э. 15 в. – Тарталья, Кардан, Феррари –период когда были решены задачи о представлении решения уравнений 3-4ой степени с помощью иррациональности т.е. в алгебраическом вид е;

- Зап. Европа(Франция, Италия), изучив Индийскую 10-ную позиционную систему, подарила миру очень удобную символику (десятичные дроби. Имя, с которым это связано  - Виет: предложил переменные обозначать гласными буквами, коэффициенты – согласными.  Это облегчило запись, но самое главное, когда появилась символика – алгебра начинает заниматься классами этих уравнений и их свойств.    Известен, как крупный криптограф).

Особенность алгебры: очень долго числовой материал, которым пользовалась алгебра, состоял из рациональных и иррациональных чисел. Очень долго господствовала в области алгебры геометрическая алгебра.

Долго не было абстрактного понятия отрицательное число и 0.  Это задерживало появление понятия вещественного числа. Работа с десятичными числами была трудной, дробные числа записывались через отношения. Из Вавилонии пришли таблицы дробных чисел(числа вида 1/n). Когда пришли в математику отрицательные числа и ноль, то оставались трудности, связанные с тем, что символика слабо была развита в это время.  По-прежнему примерно до 15 века оставался риторический язык, на котором писались работы. Очень долго не было общего метода решения уравнений.

Появилась удобная символика, которая дала возможность в области алгебры перейти к более серьезным задачам, не просто решать уравнения, а исследовать эти уравнения или группу уравнений, постепенно перейти к более сложным абстрактным образованиям(к теории групп). Потому что, если не записаны уравнения в общем виде, то трудно ставить и решать задачу о свойствах в зависимости от коэф-тов, решений уравнений, наличие решения уравнений.

Виетта(Виет) – предложил использовать при записи различных алгебраических выражений и тригонометрических выражений в алгебраической форме предложил при записи этих объектов использовать буквы: предложил неизвестные обозначать гласными буквами, коэффициенты – согласными. Виет является автором Теорем, которые говорят о том, как связаны решения уравнения с коэф-тами уравнения.

Симон Стевиль – удобная символика при обозначении степеней неизвестного(можно было записывать, используя небольшое число символов, уравнение любой степени). Научился десятичные дроби складывать, умножать – как это мы сегодня делаем. Степени неизвестного появились еще у Диофанта(не выше 6-й степени).

13 вопрос: Математика в эпоху Возрождения

Леонардо да Винчи - художник, знаменитый человек. Поддерживал математику. В совеем  искусстве использовал теорию перспективы, золотое сечение. Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении) — деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине. Он хорошо общался с такими математиками, как Лука Почелли.

В рецептурный период у вавилонян уже были рецепты решения уравнений 1, 2-й степени. В более поздних табличках из Вавилонии 5 век до н.э.были найдены рецепты для решения конкретных уравнений 3 и 4-й степени. Китай и Индия довольно поздно стали общаться с математическим миром, примерно в 9-10 веках н.э. Появились арабские числа и некоторые действия с использованием удобной записи. В Европу числа попали через арабских ученых, отсюда их название. Долго не было понятий нуля и вещественного числа, работа с десятичными числами была трудной, дробные числа записывались через отношения.

Говорят о мат-ке Зап. Европы 15-16 вв, то здесь два крупнейших достижениях:

- 14-16 вв. н.э. 15 в. – Тарталья, Кардан, Феррари –период когда были решены задачи о представлении решения уравнений 3-4ой степени с помощью иррациональности т.е. в алгебраическом вид е. На 5-убю замахивались – но ничего не вышло;

- Зап. Европа(Франция, Италия), изучив Индийскую 10-ную позиционную систему, подарила миру очень удобную символику (десятичные дроби. Имя, с которым это связано  - Виет: предложил переменные обозначать гласными буквами, коэффициенты – согласными. Это облегчило запись, но самое главное, когда появилась символика – алгебра начинает заниматься классами этих уравнений и их свойств Известен, как крупный криптограф).

Хорошая символика способствовала тому, что в это время в алгебре появляются работы, которые способствовали появлению великолепных результатов, которые исторически долго были сформулированы, но не были решены. Одним из таких результатов является получение формул корней уравнения 3-й степени. Работы по возможности разрешимости уравнений какой-то степени, решение записывалось  в алгебраическом виде, т.е.через корни.  Омар Хайям уравнения 3-ей степени решал с помощью конических сечений. Аль Хорезми ставил вопрос о формуле решения уравнений 3-ей степени, как для квадратных уравнений.

Задачи, которая решила итальянская школа(Фиеро, Ферро, Феррари, Тартили, Тарталья, Кардан). Формулы называются формулами Кардана. 1945 год работа «Великое искусство» - посвящена разрешению важного вопроса, как написание корней через корень 2 и 3-й степени уравнений 3 и 4-й степени. Кардан опирается на результаты Тарталья.

Задача о возможности записать с помощью удобных формул решение уравнений различных степеней – появилась вначале в период Зап.и Вост.Римской Империи, еще в Александрии. Но отошла на второй план, так как не было необходимости решать такую задачу. Потом задача привлекла внимание западных ученых. После того как распалась Римская Империя, после того как ученые Италии, Испании смогли общаться с математиками Арабского Халифата, в Зап.Европе появилась эта задача о разрешимости уравнений 3-й степени.

Тарталья решил уравнение с определенными коф-тами.  Кардана получил общую формулу кубического уравнения. Методика была такая: научились решать квадратное уравнение, сводя решение квадратного уравнения к решению уравнения первой степени. Не так выводил уравнение Аль Харезми. Он придумывал замену переменного, чтобы после замены переменного получалось простое уравнение первой степени. Такой же подход решили применить Тарталья, затем Кардано. Хотя это алгебраические задачи, но сделаны они на геометрическом языке. Эта тема ведет дорожку к изучению различных иррациональностей. И во-вторых, это случай, когда величина является отрицательной(а это период, когда отрицательных чисел как таковых еще не было в математике).

Другой крупный ученый Гарделий вместе с Кардано стал изучать такие числа.

Самое главное – это задача, которая в математике стояла очень долго, задача трудная. Это первое величайшее оригинальное достижение математики Зап.Европы.  И появилась новая область в математике – комплексные числа, но работа с ними особо не привлекала математиков.

Доказано, что любое решение кубического уравнения позволяет быть записанным с помощью алгебраических корней, действий. Возникает вопрос: а уравнение 4-й степени? В книге Кардано есть формулы уравнения 4-й степени, и методика вывода этих корней такая же –  сводится решение уравнения 4-й степени к решению уравнения 3-й степени. Естественно гипотеза: может быть к уравнению 5-й степени можно найти таким же образом? Ответ: не для всякого уравнения пятой степени можно записать решение в алгебраическом виде.

Впервые довольно серьезный прорыв в этом направлении появился в работе Абеля.

14 вопрос: Математика 17 века

Если условно всю историю математики поделить на 4 периода(периодизация по Колмогорову): подготовительный (накопительный) период(30в. до н.э. – до 7 в. до н.э.), период математики постоянных величин (условно 7,6 в. до н.э. – 16-нач.17вв. н.э.), период  математики переменных величин (17-18в.), современная математика (19в. – 20в.).

Это период математики переменных величин (17-18в.). Внесли больший вклад в это время: Англия и Германия (период создания мат.анализа, теории бесконечно малых), Франция, Италия. Это вызвано тем, что развитие общества – другие обл. знаний: физика, механика, биология, астрономия, право, медицина, - пришли к необходимости решать задачи, связанные с движением. Появление таких задач, они вызвали в жизни необходимость ввести переменные величины, а раз они есть – есть понятие функции. А с этим понятием, связанны какие-то свойства, законы.

Ученые: Кеплер, Галилей, Декарт, Ферма, Паскаль, Торричелли, Робирвиль, Кавальери – внесли вклад в развитие дифференциального исчисления.    Древние греки не хотели заниматься какими-то прикладными вопросами. Связанно это было с понятием бесконечности. Бесконечность обычно делим на  принципы актуальной и потенциальной бесконечности. Первую они боялись. Беск-ть нахождения, например, площади какой-то фигуры. Разбить фигуру на малые частички, просуммировать площади этих частей, перейти к пределу. Когда заменяем фигуру набором бесконечного(с точки зрения практики) числа частичек – это и есть работа с актуально бесконечностей, которая приводила к парадоксам, тупик.

Декарт и Ферма создали аналитическую геометрию. Аналитическая геометрия связана с задачами диф-ния, так как там кривые. Нужно было изучать кривую, которую механически делаем каким-то образом. Ее нужно было записать в виде уравнения. Появляется аналитическая геометрия.