Шпаргалка по "Теория вероятностей "

14Математическое ожидание дискретной случ\вел и его свойства с выводом. Примеры.

Матем ожиданием дискретной сл\в наз сумма произведений всех возможных значений сл\в на их вероятности.

Матем ожид сущ-т, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно. С точки зрения вер-ти можно сказать, что матем ожид приближенно равно среднему арифм-му наблюд-х значений сл\в.

Свойства математического  ожидания:

1) Мат ожид постоянной величины равно самой постоянной.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак мат-го ожид.

3) Мат ожид произведения 2х независ-х сл\в-н = произведению их матем-х ож-й.

Это свойство справедливо для произвольного  числа сл\в.

4) Мат ожид суммы 2х сл\в = сумме мат ожид-й слагаемых.

Это свойство также справедливо  для произвольного числа сл\в.

Пусть производится п независимых  испытаний, вероятность появления  события А в которых равна  р.

Теорема. Мат ожид М(Х) числа появления события А в п независимых испытаниях = произведению числа испытаний на вер-ть появления события в каждом испытании. Однако, мат ожид не может полностью характеризовать случайный процесс. Кроме мат-го ожид надо ввести величину, которая хар-т отклонение значений сл\в от мат-го ожидания.

Это отклонение равно разности между  сл\в и ее мат-м ожид. При этом мат-е ожид отклонения = 0. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается 0.

15Дисперсия дискретной случ\вел  и её свойства с выводом.  Примеры.

Дисперсией (рассеиванием) дискретной сл\в наз мат ожид квадрата отклонения сл\в от ее мат ожид.

Теорема. Дисперсия равна разности между мат-м ожид квадрата сл\в Х и квадратом ее мат-го ожид.

Доказательство. С учетом того, что мат ожид М(Х) и квадрат мат-го ожид М2(Х) – величины постоянные, можно записать: 

Свойства  дисперсии

С1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

С2. Постоян множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

С3.Дисперсия суммы 2х независимых сл\в = сумме дисперсий этих величин.

С4. Дисперсия разности 2х независимых сл\в = сумме дисперсий этих величин.

Справедливость этого равенства  вытекает из свойства 2. 

С5. Дисперсия = мат ожид квадрата сл\в без квадрата мат ожид.

Доказательство  С5:

Использовние С5, значит-но упрощает процесс нахожд-я дисперсии  по отнош-ю использ-я опр-я, поэтомк, в кач ф-лы нахожднеия дисперсии, использ-ся С5 дисперсии. 

Теорема. Дисперсия числа появления  события А в п независимых испытаний, в каждом из кот вер-ть р появления события постоянна, = произведению числа испытаний на вер-ти появления и не появления события в каждом испытании.

16Математическое ожидание и  дисперсия числа m и частности m\n наступлений события в n-повторных независимых испытаниях, с выводом.

Дискретная сл\в Х имеет гипергеометрическое  распределение, если она принимает  значения 1,2,3,,…min (n,M)с вер-ми , где m=0,1,2,…min (n;M), - натуральные числа. Гипергеометрическое распр имеет сл\в Х=m – число объектов, обладающих заданным св-м, среди n объектов, случайно извлечённых из совокупности N объектов, M из кот-х обладают этим свойством.

Теорема. Мат\ожидание сл\в Х, имеющей гипергеометрическое рапр-е с параметрами n,M,N, есть , а её дисперсия .

Сл\в Х=m, распределённую по биномиальному закону, можно интерпретировать как число m объектов, обладающих данным св-м, из общего числа n объектов, случайно извлечённых из некоторой воображаемой бесконечной совокупности, доля p объектов которой обладает этим св-м. Поэтому гипергеометричесоке рапр можно расм-ть как модификацию биномиального распр-я для случая конечной совокупности, состоящей из N объектов, М из кот обладают этим св-м.

17Случайная величина, распределённая по биномиальному закону, её математическое ожидание и дисперсия. Закон распределения Пуассоана.

Биномиальным наз-ся распределение сл\в, в кот она принимает последовательность целых неотрицательных значений с вер-ми определяемыми по формуле Бернулли.  

мат\о и дисперсия биномиально распределённой сл\величины.

Законом распределения  Пуассона наз распр-е сл\в, в кот она принимает последовательность целых неотрицательных значений с вер-ми определ-ся по формуле Пуассона. Если имеет место распределение Пуассона заданного распр-я , то мат\о находится

Распределение Пуассона. Пусть производится n независимых испытаний, в кот появление соб А имеет в-ть р. Если число испытаний n достаточно велико, а в-ть появления соб А в каждом испытании мало, то для нахождения в-ти появления события А k раз находится след образом: Произведение np сохраняет постоянное значение: , это  означает, что среднее число появления соб в различных сериях испытаний (при разном n) остается неизменным.

По формуле Бернулли получаем:

;  

Найдем предел этой вероятности  при n à ∞.

Получаем формулу распределения  Пуассона:

18Функция и распределения случайной величины, её определение, свойства и график.

Функцией распределения сл\в Х наз-ся ф-я F(x), выражающая для каждого х вер-ть т\ч сл\в Х примет значение, меньшее х.

ФР также наз интегральной ф-ей распр-я. ФР любой дискретной сл\в есть разрывная ступенчатая ф-я, скачки кот происходят в точках, соотв-х возможным значениям сл\в и равны вер-м этих значений. Сумма всех скачков ф F(X) =1. Она полностью характеризует сл\в и явл-ся одной из форм закона распределения.

Для дискретной сл\в ф-я  распр-я имеет вид:

Знак неравенства под  знаком суммы показывает, что суммирование распр-ся на те возможные знач сл\в, кот меньше аргумента х. Ф-я распр-я дискретной сл\в Х разрывна и возрастает скачками при переходе через каждое значение хi.

Свойства функции  распределения

1) ФР сл\в есть неотрицательная  ф-я, заключенная м\у 0 и 1:

2) ФР сл\в есть неубывающая  ф-я на всей числовой оси.  при

3) На минус бесконечности ФР = нулю, на плюс бесконечности  ФР = единице.

;

4) Вер-ть попадания сл\в в интервал  (включая ) равна приращению её ФР на этом интервале, т.е.

19Непрерывная случайная величина (НСВ). Вероятность отдельного взятого значения НСВ. Математическое ожидание и дисперсия НСВ. Функция распределения НСВ.

Сл\в Х наз-ся непрерывной, если её Функция Распределения непрерывна в любой точке и дифференцируемая во всюду, кроме отдельных точек (точки излома).

Мат\ожиданием дискретной сл\в называется сумма произведений всех возможных значений сл\в на их вероятности.

Мат\о существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно. С точки зрения вер-ти можно сказать, что м\о приближенно = среднему арифметическому наблюдаемых значений сл\в.

Пусть НСВ Х задана ФР F(x). Допустим, что все возможные значения сл\в принадлежат отрезку [a,b].

Мат\ож-м  НСВ Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], наз-ся определенный интеграл . Если возможные значения сл\в рассм-ся на всей числовой оси, то мат\о нах по формуле: , при этом предпол-ся, что несобственный интеграл сходится.

Дисперсией НСВ наз мат\ож квадрата ее отклонения. . По аналогии с дисперсией, дискретной сл\в, для практического вычисления дисперсии используется формула: .

Функция распределения  НСВ:

, в качестве способа задания  НСВ используется функция распределения НСВ.

ФРНСВ наз вер-ть т\ч она примет значение меньшее заданного. -обознач ф-ии распр в-тей

 à

Основные свойства ф-ии распределения НСВ:

С1.

С2.

С3.

С4. Вер-ть т\ч НСВ примет значение из интервала, равна приращению ф-ии на этом интервале

1)

2)

20Плотность вероятности НепрерывныхСВ, её определение, свойства. Кривая распределения. Связь между функцией распределения и плотностью вероятности НСВ. Математическое ожидание и дисперсия НСВ.

Скорость изменения функции  распределения хар-ся плотностью распр-я. Обозначается символом . Плотностью вер-ти (плотностью распр-я) НСВ Х наз-ся производная её ф-ии распр-я

Свойства плотности распр-я (ПР):

С1. ПР – неотрицательная функция. ;

С2. Вер-ть попадания НСВ в интервал [a,b] равна определённому интегралу от её плотности вер-ти в пределах от a до b, т.е.

С3. Ф-я распр НСВ м\б выражена через плотность вер-ти по формуле:

С4. Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вер-ти  НСВ =1.

Из выражений, связывающих плотность и функцию распределения следует, что м\у ними существует взаимно однозначное соответствие, те каждое из них определяет выражение другой.

Плотность вер-ти, как и ф-ция рапр-я явл-ся одной  из форм закона распределения, но в  отличии от ф-ции рапр, она существует только для НСВ. Плотность вер-ти называют и дифференциальной функцией. График плотности вер-ти называется кривой распределения.

ПР составляет основания определения хар-к сл\в: мат\о и дисперсии.

Мат\ожиданием   НСВ Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл . Если возможные значения сл\в рассматриваются на всей числовой оси, то м\о находится по формуле: . При этом предполагается, что несобственный интеграл сходится.

Дисперсией  НСВ называется мат\о квадрата ее отклонения.

По аналогии с дисперсией дискретной сл\в, для практического вычисления дисперсии используется формула:

Мат\о определяется: ,если интеграл абсолютно сходится и , если интеграл сходится. С3 дисперсии имеет вид: или

21Определение нормального  закона распределения. 21Теорико-вероятный смысл его параметров. Нормальная кривая и зависимость её положения и формы от параметров.

Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности .Нормальный закон распр также называется законом Гаусса. НЗР занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда сл\в является результатом действия большого числа различных факторов. К НЗ приближаются все остальные законы распределения.

Можно легко показать, что параметры  и , входящие в плотность распределения являются соответственно мат\ожиданием и средним квадратическим отклонением сл\в Х.

Найдем функцию распределения F(x).

График плотности нормального  распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

1) Функция определена на всей  числовой оси.

2) При всех х ф-я распр принимает только положительные значения.

3) Ось ОХ является горизонтальной  асимптотой графика плотности  вер-ти, т.к. при неограниченном  возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции стремится к нулю.

4) Найдем экстремум функции:

; Т.к. при y’ > 0 при x < m и y’ < 0 при x > m , то в точке х = т функция имеет максимум, равный

5) Функция является симметричной относительно прямой х = а, т.к. разность (х – а)  входит в функцию плотности распределения в квадрате.

6) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности:

При x = m + s и x = m - s вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб. В этих точках значение функции равно

Построим график функции  плотности распределения. 

Построены графики при т =0 и трех возможных значениях среднего квадратичного  отклонения s = 1, s = 2 и s = 7. При увеличении знач среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается..

Если а > 0, то график сместится в положительном направлении, если а < 0 – в отрицательном. При а = 0 и s = 1 кривая называется нормированной. Уравнение нормированной кривой:

22Функция распределения нормальной  распределённой сл\величины и  её выражение через функцию Лапласа.

Функция Лапласа

Найдем в-ть попадания  сл\в, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал.

  Обозначим   ; ;     Тогда  . Т.к. интеграл не выражается через элементарные функции, то вводится в рассмотрение функция , кот наз ф-ей Лапласа или интегралом вероятностей. Значения этой ф-ии при различных знач х посчитаны и приводятся в специальных таблицах. График функции Лапласа.  

Ф-я Лапласа обладает следующими свойствами:

1) Ф(0) = 0;

2) Ф(-х) = - Ф(х);

3) Ф(¥) = 1. 

Ф-ю Лапласа также  называют ф-ей ошибок и обозначают erf x. 

23Формулы для определения вероятности: а)попадания нормально распределённой сл\вел в заданный интервал; б) её отклонения от математического ожидания. Правило «трёх сигм».

а) Найдем в-ть попадания сл\в, распределенной по нормальному  закону, в заданный интервал.

  Обозначим   ; ;     Тогда  . Т.к. интеграл не выражается через элементарные функции, то вводится в рассмотрение функция , кот наз ф-ей Лапласа или интегралом вероятностей. Значения этой ф-ии при различных знач х посчитаны и приводятся в специальных таблицах.

б) В-ть того что  отклонение сл\в от её мат\ожидания по абсолютной величине превзойдёт не больше дроби, числ кот – дисперсия сл\в, а знаменатель – квадрат .

или

Правило трёх сигм

При рассм нормального  закона распределения выделяется важный частный случай, известный как  правило трех сигм. Запишем в-ть т\ч отклонение нормально распр сл\в от мат\ожидания меньше заданной величины D: 

Если принять D = 3s, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:

Т.е. в-ть т\ ч сл\в отклонится от своего мат\о на величину, большую  чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю. Это правило называется правилом трех сигм.На практике считается, что если для какой – либо сл\в выполняется правило трех сигм, то эта сл\в имеет нормальное распределение.

Пример. Нормально распределенная сл\в Х задана своими параметрами – а =2 – мат\о и s = 1 – среднее квадратическое отклонение. Требуется написать плотность вер-ти и построить ее график, найти в-ть того, Х примет значение из интервала (1; 3), найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от математического ожидания не более чем на 2. Плотность распределения имеет вид:

Построим график:

Найдем в-ть попадания  случайной величины в интервал (1; 3).

Найдем в-ть отклонения сл\в от мат\о на величину, не большую чем 2.

Тот же результат может  быть получен с использованием нормированной функции Лапласа.

24Центральная предельная теорема.  Понятия о теореме Ляпунова  и её значение. Пример.

Теорема. Если сл\в Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых сл\в, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распр, близкое к нормальному.

На практике для большинства  сл\в выполняются условия теоремы  Ляпунова.

Центральная предельная теорема представляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределния. Среди этих теорем важнейшее место принадлежит теореме Ляпунова. Если Х1,Х2,…,Хn – независимые СВ, у каждой из которых существует математическое ожидание М(Xi)=a, дисперсия D(Xi)=σ², абсолютный центральный момент третьего порядка М(|Хi-ai_|³)=m_i   и lim ∑m_i / (∑σ_i)^3/2  =0 (*), то закон распределения суммы Yn=X1+X2+…+Xn при n→∞ неограниченно приближается к нормальному с мат. Ожиданием          ∑а_i  и дисперсией ∑σ_i².   смысл условия (*) состоит в том, чтобы в сумме Yn=∑ Х_i  не было слагаемых, влияние которых на рассеяние Yn подавляюще велико по сравнению с влиянием всех остальных, а также не должно быть большого числа случайных слагаемых, влияние которых очень мало по сравнению с суммарным влиянием остальных. Таким образом, удельный вес каждого отдельного слагаемого должен стремиться к нулю при увеличении числа слагаемых. Абсолютным центральным моментом k-го порядка (n_k) СВ Х наз. Мат. Ожидание СВ (Х-М(Х)), т.е. nk=∫_-∞^+∞ (х-а)^kφ(х)dх.. например, при устойчивом и отлаженном режиме работы станков, однородного обрабатываемого материала и т.д. варьирование качества продукции принимает форму нормального закона распределения в силу того, что производственная погрешность представляет собой результат суммарного действия большого числа СВ: погрешности станка, инструмента, рабочего и т.д.                                                                                                                                                                             

25Понятие двумерной (n-мерной) сл\вел. Примеры. Таблица её распределения. Условные распределения и их нахождение по таблице распределения.

Существуют сл\в, которые  определяются двумя, тремя и т.д. числами. Такие сл\в называются двумерными, трехмерными и т.д. В зависимости от типа, входящих в систему сл\в, системы могут быть дискретными, непрерывными или смешанными, если в систему входят различные типы сл\в.

Рассм системы двух сл\в.  

Законом распределения системы сл\в называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы сл\в и вероятностями появления системы в этих областях.  

Функцией распределения  системы двух сл\в наз ф-я двух аргументов F(x, y), равная в-ти совместного выполнения двух неравенств X<x, Y<y.

Свойства функции  распределения системы двух сл\в: 

1) Если один из аргументов  стремится к плюс бесконечности,  то ф-я распр системы стремится  к ф-ии распр одной сл\в, соответствующей  другому аргументу.

2) Если оба аргумента стремятся  к бесконечности, то ф-я распр системы стремится к 1.

3) При стремлении одного  или обоих аргументов к минус  бесконечности ф-я распр стремится  к 0.

4) Ф-я распр является  неубывающей функцией по каждому  аргументу. 

5) В-ть попадания случайной точки (X, Y) в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, вычисляется по формуле:

Распределение одной  сл\в, входящей в систему, найденное  при условии, что другая сл\в приняла  определенное значение, называется условным законом распределения.

26Ковариация и коэффициент корреляции (КК) сл\величин. Связь между некоррелированностью и независимостью сл\величин.

Коэффициентом корреляции сл\в Х и Y называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин

 КК является безразмерной  величиной. КК независимых сл\в  = нулю.

Абсолютная величина КК не превышает единицы. Сл\в называются коррелированными, если их корреляционный момент отличен от нуля, и некоррелированными, если их корреляционный момент равен нулю. Если случайные величины независимы, то они и некоррелированы, но из некоррелированности нельзя сделать вывод о их независимости. Если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. Часто по заданной плотности распределения системы сл\в можно определить зависимость или независимость этих величин. Наряду с КК степень зависимости сл\в можно охарактеризовать и другой величиной, которая называется коэффициентом ковариации. Коэффициент ковариации определяется формулой:

27Понятие о двумерном нормальном  законе распределения. Условные  математические ожидания и дисперсии.

Распределение одной  сл\в, входящей в систему, найденное при условии, что другая сл\в приняла определенное значение, называется условным законом распределения.

Усл закон распр можно  задавать как функцией распределения  так и плотностью распределения.

Усл плотность  распределения вычисляется по формулам:

; . Усл плотность распр обладает всеми св-ми плотности распределения одной сл\в.

Условным м\о  искретной сл\в Y при X = x (х – определенное возможное значение Х) называется произведение всех возможных значений Y на их условные вероятности.

Для непрерывных сл\в: , где f(y/x) – усл плотность сл\в Y при X=x.

Усл м\о  M(Y/x)=f(x) является функцией от х и называется функцией регрессии Х на Y.

Пример. Найти условное математическое ожидание составляющей Y при X= x1=1 для дискретной двумерной сл\в, заданной таблицей: 

;

Аналогично определяются усл дисперсия и условные моменты  системы сл\в.