Управленческие решения. Производственные функции

Задание 1 Производственные функции

1. Дайте понятие производственной функции и изокванты. Что означает взаимозаменяемость ресурсов?

Производственной функцией называется зависимость количества продукта, которое может произвести фирма, от объемов затрат ресурсов. Производственная функция характеризует  чисто техническую зависимость  между количеством применяемых  ресурсов и объемом выпускаемой  продукции в единицу времени. Производственная функция описывает  множество технически эффективных  способов производства заданного объема продукции. Изокванта (в теории производственных функций) - это геометрическое место точек в пространстве ресурсов, в которых различные сочетания производственных ресурсов дают одно и то же количество выпускаемой продукции. Взаимозаменяемость ресурсов - это возможность использования разных видов ресурсов для достижения народно-хозяйственного оптимума. Различают взаимозаменяемость ресурсов техническую и экономическую. Разработаны экономико-математические модели расчетов эффективности взаимной замены ресурсов.

2. Производственная функция для фирмы имеет вид f(x1,x2)=10√x1*√x2, где f – товарооборот, млн.руб.; x1 – производственная площадь, тыс.кв. м; x2 – численность работников, сотни чел. Рассмотрите изокванту уровня y0 =√100+β и найдите на ней точку С1 с координатами x1, x2, где x1=(β-100)/100, и точку С2 с координатами x1, x2, где х1=(β-300)/100. Сделайте вывод о возможности замены ресурсов (x1, x2) и (x1, x2). Полученные результаты изобразите графически.

Решение: число β=556, тогда уравнение изокванты 10√x *√x=√556, ( 100+556= 656).

Возводя обе части в  квадрат и деля их на 100, получим: х1*х2=6,56.

Найдем координаты точки  С1. Так как х1=(556-100)/100=4,56, то из уравнения изокванты находим х2=6,56/4,56=1,43. Аналогично находим координаты точки С2. Так как х2=(556-300)/100=2,56, то х1=6,56/2,56=2,56.

Итак, 143 работника фирмы, используя 4,56 тыс.кв.метров производственной площади, обеспечат товарооборот √656≈25,0 (млн.руб.), и такой же товарооборот могут обеспечить 256 работников фирмы, используя площадь 2,56 тыс.кв. метров (рис.1).

Задание 2. Классификация товаров

1. Дайте понятие малоэластичных, среднеэластичных и высокоэластичных товаров. Какие товары называются взаимозаменяемыми?

Если ценовая эластичность больше единицы, то такой товар принято  называть высокоэластичным; если меньше единицы — низкоэластичным; если равен единице — товар с единичной эластичностью.

Если небольшие изменения  в цене на товар приводят к значительным изменениям в количестве покупаемой продукции, то такой спрос называют относительно высокоэластичным. Если существенное изменение в цене ведет к небольшому изменению в количестве покупок, то такой спрос - малоэластичный. Когда процентное изменение цены и последующее изменение количества спрашиваемой продукции равны по величине, то такой случай называют среднеэластичностью.

Взаимозаменяемые товары — по определению Закона РФ "О  конкуренции и ограничении монополистической  деятельности на товарных рынках" от 22 марта 1991 г. "группа товаров, которые могут быть сравнимы по их функциональному назначению, применению, качественным и техническим характеристикам, цене и другим параметрам таким образом, что покупатель действительно заменяет или готов заменить их друг другом в процессе потребления (в том числе производственного)".

При повышении цены на один из таких товаров растет спрос  на другой, заменяющий его товар.

2. Произведите классификацию  товаров по следующей таблице  эластичностей:

 

Товар	Первый	Второй	Третий
Первый
Второй
Третий

 

Пусть β=556. Тогда таблица эластичностей принимает вид:

Товар	Первый	Второй	Третий
Первый	-0,54	-0,05	0,14
Второй	-0,04	-0,84	-0,35
Третий	0,12	-0,39	-1,24

 

Так как |Е11| =-0,54 ‹ 1, то первый товар малоэластичный;

так как |Е22¦ = -0,84 ‹ 1, то второй товар малоэластичный;

так как |Е33| =-1,24 › 1, то третий товар высокоэластичный.

Поскольку Е13 =0,14 › 0 и Е31=0,12 › 0, то второй и третий товары взаимозаменяемые.

Поскольку Е12 =-0,05‹ 0 и Е21=-0,04 ‹ 0, то первый и третий товары взаимозаменяемые.

Поскольку Е23 =-0,35 ‹ 0 и Е32=-0,39 ‹ 0, то второй и третий товары взаимодополняемые.

Задание 3. Использование метода теории игр в торговле

 

1. Объясните смысл элементов  платежной таблицы и способы  выбора стратегий с позиций  крайнего пессимизма, крайнего оптимизма  и оптимизма-пессимизма. Рассмотрим  проблему уценки неходового товара  с целью получения возможно  большей выручки от реализации. Предположим, что эластичность  спроса в зависимости от цены  неизвестна, т.е. неясно, как отреагирует  рынок на то или иное снижение  цены. Иными словами, нужно принять  решение в условиях неопределенности. В таком случае можно использовать  методы теории игр. Обозначим  А1, А2, …, Аm – стратегии снижения цены на товар на α1%, α2%,…, αm% соответственно. Возьмем достаточно подробный перечень возможных значений эластичности ε1, ε2 ,…, εn. Если выбрать определенную стратегию Аi и знать эластичность товара εj, то, используя еще некоторые, обычно известные величины, можно подсчитать выручку от реализации товара аij. Проделав это для всех Аi и для всех εj, получим платежную таблицу. В таблице представлен подробный перечень различных ситуаций. Для принятия решения можно использовать следующие способы.

Подход с позиции крайнего пессимизма

Он заключается в том, чтобы считать, что при выборе любой стратегии А_i эластичность товара будет самая неблагоприятная и выручка α_i будет минимально возможной, т.е.

 

α_i = min (α_i1, α_i2,…,α_im).

 

Вычислив все величины α_i (α₁, α₂,…,α_m), нужно взять наибольшую из них α: α = max (α_i).

Та стратегия, которая  соответствует числу α, и есть стратегия крайнего пессимизма. Иначе  говоря, такая стратегия есть наилучший  выбор из плохих ситуаций, и эта стратегия гарантирует, что, как бы ни сложилась действительная ситуация, выручка будет не меньше, чем α.

Подход с позиции крайнего оптимизма 

Он заключается в том, чтобы считать, что при выборе любой стратегии А_i эластичность будет наиболее благоприятной и выручка β_i наибольшая, т.е.

 

β_i= max (α_i1, α_i2,…,α_im).

 

Вычислив все β_i, нужно взять наибольшую из них: β = max (β_i).

Та стратегия, которая  соответствует величине β, и есть искомая.

Подход с позиции пессимизма-оптимизма 

Рассмотрим величину H = max [(1- ) + ], где

λ – числовой параметр, 0 1

Предлагается выбирать стратегию, соответствующую величине H.

При λ = 0 Н = max α_i= α, и этот подход превращается в подход с позиции крайнего пессимизма. При λ = 1 Н = max β_i=β , и этот подход превращается в подход с позиции крайнего оптимизма. Вообще, величина Н при изменении λ от 0 до 1 непрерывно изменяется от α до β, и выбор некоторого промежуточного λ соответствует сочетанию пессимизма и оптимизма при выборе стратегии. Возьмем, например, λ=0,5 и вычислим

 

,

 

 а затем выберем  наибольшее из них

 

 

Стратегию, на которой достигается  величина γ, будем называть соответствующей  подходу с позиции пессимизма-оптимизма.

2. Выберите стратегии  с позиций крайнего пессимизма, крайнего оптимизма и оптимизма-пессимизма  для следующей платежной таблицы.  Укажите соответствующие выигрыши.

 

А Е	Е1	Е2	Е3
А1	β -490	β -480	620- β
А2	610- β	620- β	630- β
А3	Ι550-βΙ +10	Ι560- βΙ+10	640- β

 

Для числа β=556 таблица приобретает вид:

А Е	Е1	Е2	Е3
А1	66	76	64
А2	54	64	74
А3	4	14	84

 

Выберем по каждой строке таблицы  минимальное из чисел αi, максимальное βi ,а затем вычислим их полусумму γi.

 

А Е	Е1	Е2	Е3	αi	βi	γi
А1	66	76	64	66	64	65
А2	54	64	74	54	74	64
А3	4	14	84	4	84	44

 

Получим:

 

α= max (α 1, α 2, α 3,)=(66,54,4)=66;

β= max (β1, β2, β3)=max (64;74;84)=84;

γ= max (γ1, γ2, γ3)=max (65,64,44)=65.

 

Так как α =66 и это число находится в строке, соответствующей А1, то А1 – стратегия крайнего пессимизма, ожидаемый выигрыш равен 66 единицам. Так как β =84 и это число находится в строке, соответствующей А3, то А3 стратегия крайнего оптимизма, ожидаемый выигрыш равен 84 единицам. Так как γ =65 и это число находится ни в одной из трех строк, то стратегии оптимизма-пессимизма не существует.

 

Задание 4. Системы массового обслуживания

 

1. Дайте описание входящего потока требований и каналов обслуживания. Какие экономические показатели характеризуют работу СМО?

Системы массового обслуживания - это такие системы, в которые  в случайные моменты времени  поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются  с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания. С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если такое имеется в блоке ожидания. Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.

Обслуживание требований в СМО производится обслуживающими приборами. Классическая СМО содержит от одного до бесконечного числа приборов. Основными элементами СМО являются: входящий поток требований, очередь требований, обслуживающие устройства, (каналы) и выходящий поток требований Входящий поток требований - совокупность требований, поступающих в СМО. В общем случае под требованием обычно понимают запрос на удовлетворение некоторой потребности. Входящий поток требований изучается с целью установления закономерностей этого потока и дальнейшего улучшения качества обслуживания. В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также интервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными. Среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за единицу времени, называется интенсивностью поступления требований, и она показывает, сколько в среднем требований поступает в единицу времени.

Средства, обслуживающие  требования, называются обслуживающими устройствами или каналами обслуживания. Одной из важнейших характеристик  обслуживающих устройств, которая  определяет пропускную способность  всей системы, является время обслуживания. Время обслуживания одного требования - случайная величина, которая может  изменяться в большом диапазоне. Она зависит от стабильности работы самих обслуживающих устройств, так и от различных параметров, поступающих в систему, требований. Интенсивность обслуживания показывает, сколько в среднем требований обслуживается одним каналом  в единицу времени.

Экономические показатели, характеризующие работу СМО:

 

Pk - доля времени работы k каналов, k=0,1,+,n;

L - средняя длина очереди

P0 - вероятность того, что  система свободна

П - вероятность образования очереди

Pотк - вероятность отказа в обслуживании

g - относительная пропускная способность

А - абсолютная пропускная способность

nзан - среднее количество занятых каналов

tож - среднее время нахождения в очереди

 

2. В магазине самообслуживания работают две кассы с интенсивностью µ=(β+300)/100 (треб./мин.) каждая. Входящий поток требований имеет интенсивность λ=(β+400)/100 (треб./мин.). Рассчитай те долю времени простоя касс и среднюю длину очереди. Если интенсивность входящего потока станет равной λ =(700- β)/10 (треб./мин.), то будет ли выполнено условие стационарности? Если будет, то во сколько раз увеличится средняя длина очереди?