Многокритериальные методы принятия решений

Разработанный метод решения включает в себя два этапа. Первый – этап формального анализа – проводится без участия ЛПР. На этом этапе на основе информации об объектах и субъектах определяются идеальные назначения, если таковые существуют. Второй состоит в получении дополнительной информации от ЛПР и определении на ее основе наиболее близких по своим характеристикам пар объект – субъект.

Идея метода решения этой типовой задачи заключается в следующем: ЛПР последовательно осуществляет сравнения оценок субъектов (объектов) по паре критериев, по которым эти оценки противоречивы (т.е. у одного субъекта оценки лучше по одному критерию, а у другого – по другому). Цель сравнений – попарно скомпенсировать оценки по таким критериям, с тем, чтобы преимущества одного из субъектов стали очевидными. При этом предусматривается проверка информации ЛПР на непротиворечивость.

 

3. Методы принятия решений в других типах задач с объективными моделями.

Существуют постановки и методы решения еще ряда многокритериальных задач с объективными моделями. Среди них упомянем задачу о заполнении контейнеров объектам, имеющими оценки по многим критериям [11], многокритериальную задачу о рюкзаке [1].

Общими элементами во всех этих задачах являются: 1) наличие объективной и субъективной составляющих, причем вторая существенно определяет весь ход решения; 2) постепенный процесс выработки решения у ЛПР, в котором важную роль играет знакомство с возможностями, определяемыми объективной моделью.

Методы решения задач данного типа использовались обычно для критериально-экспертного выбора, для новых и повторяющихся решений, для самой различной размерности (хотя обычно количество критериев не превышало 10). Цель решения обычно состояла в поиске одного наилучшего варианта.

Если рассматривать проблемы конструирования механизмов и машин, то в них построение объективной модели является сложной самостоятельной задачей, требующей часто усилий больших коллективов исследователей. После построения модели важный этап состоит в исследовании многокритериального пространства возможных решений, для чего предложено использовать ЛП-последовательность точек. Выделенные эффективные точки предъявляются ЛПР для непосредственного анализа, в процессе которого ЛПР определяет интересующие его сочетания оценок по многим критериям.

 

 

3. Принятие решений в многокритериальных задачах с субъективными моделями
1. Аксиоматические методы.

Аксиоматические методы направлены на построение функции полезности ЛПР. Выдвигаются утверждения о виде функции полезности, тех или иных ее свойствах, которые и называются аксиомам. Часть аксиом не проверяется (аксиомы слабого порядка и транзитивности). Обычно проверке подвергаются так называемые аксиомы независимости, позволяющие установить конкретный вид функции полезности. Аксиоматический подход подробно описан в книге Р. Кини и Х. Райфа [4]. При использовании этого подхода каждый многокритериальный вариант решения получает оценку полезности, размерность задачи обычно не учитывается.

 

2. Прямые методы.

Прямыми методами называются такие, в которых вид зависимости функции полезности от оценок по многим критериям задается без всяких теоретических оснований, а параметры этой зависимости либо также задаются, либо «впрямую», непосредственно оцениваются ЛПР.

Наиболее известными из прямых методов являются:

а) метод взвешенной суммы оценок критериев, в соответствии с которым полезность U многокритериального объекта равна

 

где xi – оценка объекта по i-му критерию (i=1, …, N), измеренная по количественной шкале; ωi – вес i-го критерия, измеряемый также по количественной шкале;

б) метод деревьев решений. Этот метод предусматривает получение от ЛПР оценок полезности и субъективной вероятности для каждого из вариантов решений.

Прямые методы обычно приводят к полному упорядочиванию вариантов решений, причем размерность задачи обычно не играет роли.

 

3. Методы компенсации.

Эти методы основаны на идее компромисса между противоречивыми оценками по паре (или большему количеству) критериев.

Впервые такая идея была изложена в 1752 г. В частном письме Б. Франклина, где Франклин замечает, что при сравнении трудно держать одновременно в голове все достоинства и недостатки каждой из альтернатив. Поэтому он вписывает в два отдельных списка достоинства и недостатки альтернативы. После тщательного анализа определяет, какой недостаток (или их совокупность) можно считать эквивалентным определенному достоинству (или их совокупности), после чего вычеркивает их из списка.

Теоретическое обоснование одного из методов данной группы – метода суммы разностей оценок альтернатив, – дано А. Тверским [10]. Методы компенсации обычно приводят к квазипорядку на множестве вариантов решений.

 

4. Методы порогов сравнимости.

К ним относится серия методов ЭЛЕКТРА, предложенных французским ученым Б. Руа [8]. Идея этой группы методов состоит в использовании бинарных отношений между вариантами решений. Бинарное отношение определяет условия, при которых один вариант превосходит другой, они эквивалентны или несравнимы. При изменении условий меняется количество сравнимых альтернатив. При этом изменяется состав так называемого ядра, куда входят альтернативы, оказавшиеся не худшими при всех сравнениях. Отмечу, что при использовании данных методов выделяется класс лучших вариантов решений.

Исходными данными для применения метода ELECTRE являются:

Перечень критериев – С1, С2, …, Сi, …, Cm; множество альтернатив А = (А1, А2, …, Аi, …, Ad); значения критериальных оценок для каждой из альтернатив – аis, i = s = .

Необходимо упорядочить альтернативы по степени их перспективности.

Реализация метода включает выполнение следующих этапов.

Этап 1. Для каждого критерия эксперт устанавливает его важность wi, i =. Значение важности – это целое положительное число.

Этап 2. Формируется таблица для индексов согласия, строки и столбцы которой соответствуют множеству альтернатив. Индекс согласия определяет степень согласия перспективности -й альтернативы по отношению к -й альтернативе:

 

где I+ - множество критериев, по которым альтернатива предпочтительный альтернативы , т.е. аis > аir , i = I=.

Таблица индексов согласия имеет следующий вид (таблица – 1):

Таблица – 1. Индексы согласия

Альтернативы	Альтернативы
	А1	А2	…	Аr	…	Аd
А1	*	z12	…	z1r	…	z1d
А2	z21	*	…	z2r	…	z2d
…	…	…	…	…	…	…
Аs	zs1	zs2	…	zsr	…	zsd
…	…	…	…	…	…	…
Аd	zd1	zd2	…	zdr	…	*

 

Этап 3. Конструируется таблица индексов несогласия, строки и столбцы которой соответствуют множеству альтернатив. Индекс несогласия определяет степень отрицания гипотезы о перспективности альтернативы по отношению к альтернативе . Для вычисления необходимо определить множество I критериев, по которым альтернатива превосходит альтернативу и для каждого элемента этого множества найти текущий индекс несогласия:

 

Индексы несогласия заносятся в таблицу – 2.

Таблица – 2. Индексы несогласия

Альтернативы	Альтернативы
	А1	А2	…	Аr	…	Аd
А1	*	u12	…	u1r	…	u1d
А2	u21	*	…	u2r	…	u2d
…	…	…	…	…	…	…
Аs	us1	us2	…	usr	…	usd
…	…	…	…	…	…	…
Аd	ud1	ud2	…	udr	…	*

 

Устанавливаются предельные значения для индекса согласия z(1) и индекса несогласия u(1).

Этап 5. Для каждой пары альтернатив и производится сравнение индекса согласия zsr и индекса несогласия usr с предельными значениями z(1) и u(1). Если zsr > z(1) и usr > u(1), то альтернатива доминирует над альтернативой при условии, что одно из неравенств выполняется как строгое.

Переход на этап 6. В противном случае альтернативы и объявляются несравнимыми либо эквивалентными. Переход на этап 7.

Этап 6. Доминируемая альтернатива удаляется из числа конкурирующих. Оставшиеся альтернативы образуют первое ядро недоминируемых альтернатив.

Этап 7. Производится ослабление требований к предпочтению альтернатив, т.е. уменьшается предельное значение индекса согласия до величины z(2) и увеличивается предельное значение для индекса несогласия до величины u(2). Результат – второе ядро недоминируемых альтернатив.

 

5. Метод непосредственной классификации.

Имеются практические задачи, в которых необходимо разделить объекты на несколько классов [6]. Эти объекты характеризуются оценками по N критериям.

Шкала каждого из критериев чаще всего является порядковой и имеет несколько фиксированных значений.

Предполагается, что есть несколько вариантов решений, упорядоченных от лучшего к худшему. Эти варианты характеризуются словесными определениями. Требуется построить классификационное решающее правило, устанавливающее для любого произвольного сочетания оценок по критериям соответствующий вариант решения и тем самым позволяющее объединять объекты. По которым принимаются одинаковые решения, в подмножества, называемые классами.

 

3.6. Метод ЗАПРОС

Метод ЗАПРОС (Замкнутые Процедуры у Опорных Ситуаций). Каждая векторная оценка создает у ЛПР образ некоторого объекта, обладающего свойствами, которые характеризуются оценками по критериям качества. Наиболее яркими для ЛПР являются два образа (опорные ситуации), соответствующие сочетаниям только лучшим или только худшим оценок по всем критериям. Например, рассматривается идеальная альтернатива как опорная ситуация, содержащая только лучшие оценки по критериям, и, ориентируясь на нее, сравниваются между собой понижения качества вдоль шкал двух критериев. Значения только по двум критериям могут меняться, значения по остальным критериям фиксируются. Сначала ЛПР предъявляется для сравнения пара альтернатив: первая – лучшая по i-ому критерию, вторая – по j-ому, все остальные оценки являются лучшими. Затем худшая альтернатива в первой паре сравнивается с альтернативой, получаемой из лучшей путем понижения на одну градацию худшей оценки, и т.д. По результатам этих сравнений строится единая порядковая шкала (ЕПШ) оценок двух критериев, которая содержит ценную информацию о предпочтениях ЛПР. С увеличением числа критериев увеличивается и количество избыточной информации, получаемой от ЛПР, что позволяет осуществить ее проверку на непротиворечивость. На основе ЕПШ для пар критериев строится ЕПШ для всех критериев.  Реальные альтернативы, представленные векторами критериальных оценок, сравниваются попарно. Вывод о превосходстве одной альтернативы над другой (либо об их эквивалентности) делается исходя из попарного сравнения упорядоченных по ЕПШ оценок этих альтернатив. Если информации ЛПР недостаточно, то альтернативы несравнимы. На основе бинарного отношения в исходном множестве альтернатив выделяется первое ядро, то есть все неподчиненные альтернативы (доминирующие над другими или несравнимые). Среди альтернатив, оставшихся после удаления первого ядра, выделяется второе ядро и т.д. Альтернативе, входящей в i-ое ядро, присвоим i-ый ранг, если над ней доминирует какая-либо альтернатива из (i-l)-го ядра и она сама доминирует над какой-либо альтернативой из (i+l)-го ядра. Если j-я альтернатива подчинена альтернативе из k-го ядра и доминирует над альтернативой из (k+p)-гo ядра, то ее ранг находится в пределах от (k+1) до (k+p-1). Полученные таким образом совокупность ядер и ранги альтернатив могут использоваться для построения частичного (так как не все альтернативы сравнимы) упорядочения.