Профилактика девиантного поведения у подростков

 

Задание 7.

 

Сфера производства некоторой экономической системы состоит из двух отраслей. Найти оптимальный режим работы этих отраслей, обеспечивающих структуру прибавочного продукта, заданного столбцом с, при условии, что матрица материальных затрат А и строка рабочей силы 1 имеют следующий вид:

7.1

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 24, мощность второй отрасли не превосходит 12, а общее число рабочих L равно 120;

7.2

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 8, мощность второй отрасли не превосходит 12, а общее число рабочих L равно 90;

7.3

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 20, мощность второй отрасли не превосходит 11, а общее число рабочих L равно 72;

7.4

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 12, мощность второй отрасли не превосходит 8, а общее число рабочих L равно 96.

7.5

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 24, мощность второй отрасли не превосходит 12, а общее число рабочих L равно 120;

7.6

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 8, мощность второй отрасли не превосходит 12, а общее число рабочих L равно 90;

7.7

 

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 20, мощность второй отрасли не превосходит 11, а общее число рабочих L равно 72;

7.8

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 12, мощность второй отрасли не превосходит 8, а общее число рабочих L равно 96.

7.9

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 24, мощность второй отрасли не превосходит 12, а общее число рабочих L равно 120;

 

7.10

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 8, мощность второй отрасли не превосходит 12, а общее число рабочих L равно 90;

7.11

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 20, мощность второй отрасли не превосходит 11, а общее число рабочих L равно 72;

7.12

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 12, мощность второй отрасли не превосходит 8, а общее число рабочих L равно 96.

 

7.13

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 8, мощность второй отрасли не превосходит 12, а общее число рабочих L равно 90;

7.14

 

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 20, мощность второй отрасли не превосходит 11, а общее число рабочих L равно 72;

7.15

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 12, мощность второй отрасли не превосходит 8, а общее число рабочих L равно 96.

7.16

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 24, мощность второй отрасли не превосходит 12, а общее число рабочих L равно 120;

7.17

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 8, мощность второй отрасли не превосходит 12, а общее число рабочих L равно 90;

7.18

7.19

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 12, мощность второй отрасли не превосходит 8, а общее число рабочих L равно 96.

7.20

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 24, мощность второй отрасли не превосходит 12, а общее число рабочих L равно 120;

7.21

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 8, мощность второй отрасли не превосходит 12, а общее число рабочих L равно 90;

7.22

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 20, мощность второй отрасли не превосходит 11, а общее число рабочих L равно 72;

7.23

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 12, мощность второй отрасли не превосходит 8, а общее число рабочих L равно 96.

7.24

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 24, мощность второй отрасли не превосходит 12, а общее число рабочих L равно 120;

7.25

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 8, мощность второй отрасли не превосходит 12, а общее число рабочих L равно 90;

7.26

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 20, мощность второй отрасли не превосходит 11, а общее число рабочих L равно 72;

7.27

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 12, мощность второй отрасли не превосходит 8, а общее число рабочих L равно 96.

7.28

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 24, мощность второй отрасли не превосходит 12, а общее число рабочих L равно 120;

7.29

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 8, мощность второй отрасли не превосходит 12, а общее число рабочих L равно 90;

7.30

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 20, мощность второй отрасли не превосходит 11, а общее число рабочих L равно 72;

 

 

Примеры решения задач самостоятельной работы

 

Пример 1. Пусть, например, нужно соединить города А, В, С и D. Стоимость строительства дорог, соединяющих любые два города, известна и в условных единицах представлена в таблице:

 

	А	В	С	D
А	-	11	13	12
В	11	-	6	9
С	13	6	-	10
D	12	9	10	-

 

Сеть дорог минимальной стоимости состоит из 3 (4-1 = 3) звеньев и строится так: сначала выбирается самый дешевый участок дороги - ВС (его цена равна 6), затем он удлиняется на самый дешевый из оставшихся - BD (его цена равна 9). И на последнем, третьем шаге вновь выбирается самый дешевый (но так, чтобы не образовалось никакого цикла) - АВ (его цена равна 11) (рис. 1). Таким образом, стоимость строительства равна 26 (6 1- 9 + 11).

Рис. 1

 

 

Основная модель

 

Введем функцию изменения запаса. Это связь между количеством единиц товара на складе (обозначим его через Q) и временем t. Будем считать, что имеется один вид товара.

Если на товар  имеется спрос, то  функция изменения  запаса Q = Q(t) убывает. Если товар, наоборот, завозят на склад, то эта

функция возрастает. Мы будем считать возможным мгновенное пополнение запаса.

Затраты, связанные с запасами, можно разделить на три части.

A. Стоимость товара.

Б. Организационные издержки. Это расходы, связанные с оформлением товара, его доставкой, разгрузкой и т. д.

B. Издержки на хранение товара. Это затраты на аренду склада, амортизацию в процессе хранения и т. д.

Рассмотрим основные величины и предположения относительно них, принятые в рамках основной модели. Мы будем в основном использовать в качестве единицы измерения денежных средств условные единицы (УЕ), это могут быть рубли, доллары и т. п.; в качестве единицы измерения времени - год, хотя можно было бы взять месяц, квартал и т. п.

1. Цена единицы товара - с УЕ. Цена постоянна, рассматривается один вид товара.
2. Интенсивность спроса - d единиц товара в год. Будем считать, что спрос постоянный и непрерывный.
3. Организационные издержки - s УЕ за одну партию товара. Будем считать, что организационные издержки не зависят от размера поставки, т. е. от количества единиц товара в одной партии.
4. Издержки на хранение запаса - h УЕ на единицу товара в год. Будем считать эти издержки постоянными.

5. Размер одной партии товара постоянен - q единиц. Партия поступает мгновенно в тот момент, когда возникает дефицит, т. е. когда запас на складе становится равным нулю.

При сделанных предположениях график функции изменения запаса будет таким, как показано на рис. 1: он состоит из повторяющихся циклов пополнения запаса между двумя соседними дефицитами. Вертикальные отрезки отвечают мгновенному пополнению запаса.

Параметры с, d, s, h считаются заданными. Задача управления запасами состоит в выборе параметра q таким образом, чтобы минимизировать годовые затраты.

Для решения сформулированной задачи надо прежде всего выразить эти затраты через параметры с, d, s, h, q.

А. Поскольку годовая интенсивность спроса равна d, а цена единицы товара - с, то общая стоимость товара в год равна

сd.

Б. Поскольку в одной партии q единиц товара, а годовой спрос равен d, то число поставок равно d/q. В течение года организационные издержки равны ,

В. Средний уровень запаса равен отношению площади под графиком за цикл к продолжительности цикла. Этот средний уровень равен q/2 (на рис. 1 обозначен пунктиром). Поскольку годовые издержки на хранение единицы товара равны h, то общие издержки на хранение составляют

 

 

Рис.1

Рис.2

 

Таким образом, общие издержки С вычисляются по формуле

Еще раз напомним, что в рамках модели параметры с, d, s, h считаются заданными и требуется найти такое число q*, чтобы функция С = C(q) принимала наименьшее значение на множестве q > 0 именно в точке q*.

График функции С = C(q) показан на рис. 2.

Для нахождения точки q* минимума функции С = C(q) найдем ее производную (с, d, s, h - фиксированные числа):

Приравнивая к нулю, получаем

Отсюда можно найти q*. Имеем:

Полученная формула называется формулой оптимального запаса или формулой Харриса (Harris).

 

Пример. Пусть интенсивность равномерного спроса составляет 1000 единиц товара в год. Организационные издержки равны 10 УЕ, издержки на хранение – 4 УЕ на единицу товара в год, цена товара – 5 УЕ.

Определить оптимальный размер партии в предложении, что система подчиняется основной модели.

 

Решение: Имеем:

Общие затраты равны:

Тогда

а оптимальный размер поставки q* является решением уравнения

т.е.

 

Замечание. Найдя оптимальный размер заказа, можно определить оптимальное число поставок за год и соответствующую продолжительность цикла изменения запаса :

 

Пример 2. Интенсивность равномерного спроса составляет 1 тыс. единиц товара в год. Товар поставляется с конвейера, производительность которого составляет 5 тыс. единиц в год. Организационные издержки равны 10 УЕ, издержки на хранение - 2 УЕ, цена единицы товара - 5 УЕ.

Чему равен оптимальный размер партии?

 

Решение. Имеем:

 

Далее

В итоге получаем

     Замечание. Найдя оптимальный размер заказа, можно определить оптимальное число поставок за год и соответствующие продолжительность поставки и продолжительность цикла пополнения запаса :

 

Пример 3. Сфера производства некоторой экономической системы состоит из двух отраслей. Найти оптимальный режим работы этих отраслей, обеспечивающих структуру прибавочного продукта, заданного столбцом с, при условии, что даны матрица материальных затрат А и строка рабочей силы l. Известно так же, что мощность первой отрасли не превосходит 4, мощность второй отрасли не превосходит 3, а общее число рабочих в системе L=40.

Матрица

 

По условию задачи:

 

Убедимся сначала, что матрица А продуктивна.

 

Для ответа на вопрос, является ли матрица

продуктивной, найдем ее собственные значения.

Имеем:

откуда

Корни этого уравнения легко вычисляются по формуле

И окончательно

Тем самым,

 Матрица А продуктивна.

 

Продолжим решение задачи. Начнем с решения системы

или подробнее:

 

Это можно записать в равносильной форме:

откуда

  ,

или

Полученный столбец должен подчиняться условиям

 и 

которые в данном случае принимают вид:

   .

Отсюда имеем:

 или  .

 

Рис. 1

Наибольшее значение , удовлетворяющее всем трем условиям, равно (рис.1).

Ответ: , столбец выпуска

 

конечный продукт

 

 

Пример 4. Пусть пять Потребителей подали заявки в размере 5, 8, 12, 7, 8. Имеющийся в распоряжении Центра ресурс составляет 32. Как должен быть распределен этот ресурс в соответствии с механизмом прямых приоритетов?