Расчет системы регулирования напряжения

 (1.7.4)

Таким образом, критический коэффициент  усиления найдется из (1.7.4):

.

Теперь построим D-разбиение и найдем область устойчивости по общему коэффициенту усиления.

Вещественная и мнимая часть:

 (1.7.5)

Годограф рассматриваемого комплексного вектора отображен на рис. 1.3.

 

Рисунок 1.3. D-разбиение по общему коэффициенту усиления

Рассмотрим интервал – кандидат на область устойчивости. Рассмотрим любой коэффициент усиления из этой области, например и построим для него годограф Михайлова.

Рисунок 1.4. Годограф Михайлова

Видно, что годограф, изображенный на рис. 1.4 совершает оборот вокруг нуля против часовой стрелки (в положительном  направлении), уходя в бесконечность  в третьем квадранте, при изменении частоты от нуля до бесконечности. Это свидетельствует об устойчивости разомкнутой системы при коэффициенте усиления из области устойчивости на рис. 1.3.

Таким образом, коэффициент усиления, найденный в §1.5, удовлетворяет условию устойчивости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.8 Логарифмические характеристики

Имеем передаточную функцию разомкнутой  системы:

Построим   ЛАХ и ЛФХ  в командном режиме среды MatLab:

Рис. 1.11 ЛАХ и ЛФХ разомкнутой  системы

По полученным ЛАХ и ЛФХ можно  судить об устойчивости разомкнутой системы. Разомкнутая система неустойчива, так как  ЛФХ  достигает значение –180 град при положительных значениях ЛАХ. ЛАХ не удовлетворяет критерию устойчивости   Найквиста-Михайлова.

 

1.9 Корректирующее звено

Для синтеза корректирующего устройства будем использовать среду MatLab 6 и программу AmLAHX 1.1 RC.

Для построения корректирующего звена  необходимо построить ЛАХ желаемой разомкнутой системы, параметры  быстродействия, параметры качества и устойчивость которой удовлетворяют  поставленным требованиям.

Для построения желаемой ЛАХ найдем желаемою частоту среза. Чем больше частота среза желаемой ЛАХ, тем быстрее система реагирует  на входное воздействие. К тому же, частота среза должна быть численно меньше, но как можно ближе к  значению коэффициента усиления, потому что быстродействие зависит от того, как временные постоянные (характеризующиеся частотой среза) компенсируют «большой» коэффициент усиления.

Итак, выбираем частоту  среза:

Проводим линию с  наклоном , набираем запасы по фазе:

Далее слева проводим линию с наклоном до пересечения с линией, характеризующей коэффициент усиления - линия, проходящая через и имеющая нулевой наклон. Справа повторяем наклон располагаемой л.а.х. - линия с наклоном .

Таким образом, определяем частоты изломов и временные  постоянные передаточной функции желаемой системы:

 (1.9.1)

Желаемая передаточная функция разомкнутой системы:

, (1.9.3)

где

 

                                                                                               (1.9.4)

1. Запускаем программу AmLAHX в среде MatLab 6.

amlahx(3)

2. Вводим нашу передаточную функцию  и желаемые параметры качества  системы.

3. Результатом выполнения программы  будут ЛАЧХ и передаточная функция корректирующего устройства.

 

           Рис. 1.12 ЛАХ разомкнутой системы, желаемая ЛАХ, ЛАХ коррекции

Построим для нее диаграмму  Боде (рис. 1.13):

           

                        Рис.1.13 Желаемая ЛАХ и ЛФХ

По полученной желаемой ЛАХ строим ЛАХ коррекции и  передаточную функцию последовательного  корректирующего звена.

 

Передаточная функция корректирующего  звена:

 

 

                                          (1.9.5)

                        Рис. 1.14 Диаграмма Боде пассивного  корректирующего звена

 

Разбивая  передаточную функцию корректирующего звена, получаем 3 дифференцирующих(W1, W2, W3) и 2 интегрирующих (W4,W5) звена:

                             (1.9.6)

Рассчитаем параметры каждого звена (номиналы конденсаторов берем произвольно) 

1)         - значит, звено обладает интегрирующим свойством:

      

Рис. 1.15     Схема пассивного  интегрирующего звена

                                                                                                                    

  возьмем  , тогда

Так как  , то  

 

2)        - значит, звено обладает интегрирующим свойством:

                                                                     

Рис. 1.16     Схема пассивного  интегрирующего звена

 

  возьмем  , тогда

Так как  , то  

 

 

3)       - значит, звено обладает интегрирующим свойством:

                     

Рис. 1.17     Схема пассивного  интегрирующего звена

                        

 возьмем  , откуда:

 

4)           - следовательно, звено обладает дифференцирующим свойством:

 

 

      Рис. 1.18 Схема 1-го  пассивного дифференцирующего звена

                                       

, тогда  

 

5)           - дифференцирующее звено

 

    Рис. 1.19 Схема 1-го  пассивного дифференцирующего звена

                                                    

 

Подставляя наши временные постоянные каждый раз для каждого контура, получаем схему (рис. 1.12)

Рисунок 1.20 схемная реализация пассивного  корректирующего звена

Таким образом, получившееся корректирующее звено, при включении его в  систему, будет повышать качество переходного  процесса.

Спроектированное звено предлагается включать в цепь усиления, то есть либо перед электронным усилителем, либо после него, либо непосредственно в электронную схему усилителя.

1.10 Переходный процесс

Построим переходный процесс по ошибке при воздействии на систему  скачка напряжения на 5В.

Рис. 1.21 Переходный процесс

По переходному процессу можно  судить о том, что:

 (1.10.1)

Значит, скорректированная система  удовлетворяет параметрам быстродействия и качества. Приведённый переходный процесс для единичного скачка начинается с нуля.

 

Глава 2. Расчет с учетом нелинейности

2.1 Теоретические сведения

Нелинейной называется такая САУ, у которой зависимость  между входными и выходными переменными одного или нескольких элементов описывается нелинейными уравнениями.     

Все реальные элементы и системы, строго говоря, нелинейны, и к понятию линейной системы приходят путем линеаризации. Но на практике встречаются такие нелинейные элементы, к которым операция линеаризации по малому отклонению не применима. Такие нелинейности называют существенными.

Нелинейные системы, по сравнению, с линейными обладают целым рядом  особенностей.

Прежде всего, к нелинейным дифференциальным уравнениям не применим принцип суперпозиции. Нелинейные дифференциальные уравнения  не имеют каких–либо общих методик решения. Для исследования нелинейных дифференциальных уравнений нельзя использовать аппарат преобразований Лапласа и Фурье.

Судить об устойчивости решений  нелинейных дифференциальных уравнений  на основании теорем Ляпунова, по дифференциальным уравнениям линеаризованных систем, можно только при малых отклонениях от установившегося движения, т е. можно судить только об устойчивости в малом. Между тем, нелинейная система, устойчивая в малом, может быть неустойчивой при больших отклонениях. Различают, кроме устойчивости в малом, следующие виды устойчивости нелинейных систем. Система называется устойчивой в большом, если она устойчива при больших конечных по величине отклонениях. Система называется устойчивой в целом, если она устойчива при любых, не ограниченных по величине, начальных отклонениях. Если система асимптотически устойчива в целом, то ее называют абсолютно устойчивой.

Особенностью нелинейных систем является возникновение в них, при  некоторых  начальных условиях, гармонических  колебаний с определенной амплитудой и частотой, так называемых предельных циклов. Если предельный цикл устойчив, т.е. к нему сходятся  все траектории сверху и снизу в определенном диапазоне начальных условий, то он называется автоколебаниями. Амплитуда и частота автоколебаний зависят только от параметров системы.

Расчёт параметров автоколебаний в системе.

Тип нелинейности – 

d=0,1,   h=0,2,   l=3

 

       

Применим метод, основанный на критерии Михайлова:

D (p,A)=d_л(р)+К_Л(р) ^.q(A)=(T7^.p+1)^2. (T6^.p+1)+49^.q(A)

p=jω

D (p, jω)=(-ωT7^2.p²+2T7^. jω+1) ^. (T6^. jω +1)+ 49^.q(A)=-j0,04624^.ω³-2,944^.ω²+j3,56^.ω+1+

+

X(A, ω)= -2,944^.ω²+1+ =0

Y(ω)= -0,04624^.ω³+3,56^.ω=0

0,045 ω²=3

ω²=76,99

ω=8,77

 

X(A, ω)= -226,66+ =0

226,66=

1,47A⁴- A²+0,01=0

A²=b

1,47b²-b+0,01=0

D=1-4^.1,47^.0,01=0,94

b₁=(1+0,97)/2^.1,47=0,67             A₁= =0,818

b₂=(1-0,9865)/2^.1,47=0,01            A₂= =0,1

 

                 

при  A₁= =0,818

=2050,56>0  -автоколебание устойчиво

при A₂= =0,1

>0- автоколебание устойчиво.

 Автоколебание с параметрами  Ω=8,165,    A1=0,818,  A2=0,1 - устойчиво.

                                                                                 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

В данной работе была рассмотрена  сравнительно простая типовая линейная САР. Здесь не были учтены влияния  внешних факторов, которые существенно  влияют на работу системы.

 Исследование и оптимизация данной САР позволяют освоить на практике только основы ТАУ, приобрести и закрепить навыки построения, анализа и синтеза моделей линейных САР. Объем проведенного исследования дал мне базу для самосовершенствования, в том числе дальнейшего самостоятельного освоения методов построения и анализа нелинейных систем и объектов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1 Теория систем автоматического регулирования. Бесекерский В.А., Попов Е.П., издательство «Наука», М., 1972, 768 стр.

2 Основы теории автоматического управления. Воронов А.А., издательство «Энергия», М., 1965.

3 Методические указания к курсовой работе по ТАУ. КАИ, Казань, 1966.

4 Нелинейные и дискретные системы автоматического управления: Учебное пособие. Гаркушенко В.И., Земляков А.С., Файзутдинов Р.Н., КАИ, Казань, 2000, 140 стр.