Измерение отклонения от перпендикулярности осей внутренних цилиндров

,     

где y_jk обозначает  k- е наблюдение величины Y (k =1, 2,..., К) в j-й группе (j =1,2,., J).

     0,012

 

     0,0072

Определим среднее арифметическое , полученных средних арифметических , принимаемое за наилучшую оценку измеряемой  величины Y:

 

        0,0097

 

Вычислим оценку внутригрупповой  дисперсии в у - ой группе по формуле:

         

0,13/61=0,0022

 

=0,015/61=0,00024

 

 Найдем экспериментальную дисперсию средних арифметических групп:

 

0,000012

 

Определим, является ли межгрупповая составляющая дисперсии значительной по сравнению с внутригрупповой  составляющей. Для этого выполним следующие операции. Определим две  независимые оценки усредненной  внутригрупповой дисперсии наблюдений.

Первая оценка, обозначенная как , получается из наблюдаемых отклонений средних арифметических . Поскольку есть среднее арифметическое К=62 наблюдений, его оцененная дисперсия при допущении, что межгрупповая дисперсия равна нулю, оценивается как . Тогда :

 

Эта оценка имеет (J-1)= 1 степень свободы.

Вторая оценка, обозначенная как , является средней оценкой дисперсии, полученной из J индивидуальных значений внутригрупповой дисперсии :

=

Поскольку структура уравновешенная и все степени свободы nj = К – 1= 61, то получающееся в результате выражение для есть просто среднее арифметическое :

                    

Таким образом, получаем:

0,0012,

что является оценкой, имеющей  J(К -1)=122 степеней свободы.

Поскольку оценка основывается на изменчивости средних арифметических, в то время как оценка   основывается на изменчивости внутригрупповых наблюдений, их отличие показывает возможное присутствие межгрупповой изменчивости. Сравним значения   и .  Для этого используем F-тест. Рассчитаем F-распределение составляющих,  являющееся распределением вероятностей отношения:

F(nn = nn=0,64

двух независимых оценок n и n дисперсии нормально распределенной случайной переменной. Параметры n и n являются соответствующими степенями свободы двух оценок, а  0 £ F(nn < ¥. Критическое значения F для вероятности 0,95 (квантили F — распределения) получим из таблицы распределения Фишера для разных значений n =n=122:

F_крит=3,92

Так как F(nn  < F_крит существование межгрупповой погрешности отрицается, так как разница между   и не рассматривается как статистически значимая, оцененную дисперсию для следует считать из общего выражения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 Обработка результатов косвенных  измерений

3.1 Статистическая обработка  результатов косвенных измерений

При косвенных  измерениях искомое значение величины Y определяют на основании результатов  прямых измерений других величин X1, X2, ….XN, функционально связанных  с искомой величиной: Y =f (X1, X2,… X_N)

Искомое значение величины Y дано в виде функциональной зависимости:

Y =

где Х₁, Х₂ – результаты прямых измерений, представленные в таблице 3.1.

Таблица  3.1 - Исходные данные

Х1	48,741	48,855	48,721	48,553	48,367	48,180	48,122	48,751	48,792	48,762
Х2	48,413	48,197	48,976	47,777	47,619	47,517	47,498	47,767	47,477	47,743

 

Проведём  статистическую обработку результатов  косвенных измерений в абсолютном виде. Найдём точечные оценки входных  величин с помощью формулы:

=

Получим:

Рассчитаем  значение выходной величины Y, то есть найдём значение ее оценки у. Оценку выходной величины получим из уравнения модели, заменяя входные величины Xi  их оценками x_i: y = f (x1, x2, …, x_N)

Y =

Полученное  значение оценки принимается за результат  измерения.

Определим значения весовых коэффициентов  каждой частной погрешности:

 

 

 

 

Найдём  оценку среднего квадратического отклонения результатов наблюдений по формуле:

(x) =

Рассчитаем  оценку среднего квадратического отклонения среднего арифметического значения:

( )=

Получим:

Рассчитаем  суммарную погрешность  c(y):

c2(y) = ,

что равносильно  следующему выражению:

Проведём  статистическую обработку результатов  косвенных измерений в относительном  виде.

Для этого  воспользуемся ранее найденными точечными оценками результатов  наблюдений, а также оценками их средних квадратических отклонений средних арифметических значений.

Вычислим  отношение суммарной погрешности  к  выходной величине, используя  следующую формулу:

Найдём  суммарную погрешность результатов  наблюдений:

Определим доверительную границу путем  умножения суммарной погрешности  на коэффициент Стьюдента t (при Р = 0,95 и числе наблюдений n = 10: t = 2,26 и при           Р = 0,99 и числе наблюдений n = 10: t = 3,25):

Δ = t·S_с(y)

Получим:

Δ = 2,26·0,034 =0,076 при Р = 0,95

Δ = 3,25·0,034 =0,11 при Р = 0,99

Запишем результат измерения в установленной  форме:

где  - точечная оценка результата измерений;

Δ – доверительная  граница результата измерений;

Р – доверительная  вероятность.

 ± 0,076 (t = 2,26; Р = 0,95)

 ± 0,11 (t = 3,25; Р = 0,99)

    3.2 Анализ корреляций

Рассчитаем  дисперсию, полученную из n независимых пар x_i и x_j одновременных наблюдений x1 и x2 между переменными x_i и x_j:

(x_i, x_j)=

Получим:  

Оцененная ковариация средних значений и :

Рассчитаем  коэффициент корреляции по формуле:

Рассчитаем  ковариацию между переменными:

Исходя  из рассчитанных оценок, можно сделать  вывод о том, что в рассматриваемом  случае ковариация, связанная с оценками двух входных величин Хi и Xj  рассматривается как пренебрежимо малая и приравнивается к нулю. Это объясняется тем, что обе входные величины Хi  и Xj являются независимыми друг от друга, исходя из  исходной функциональной зависимости выходной величины от результатов прямых измерений, а, следовательно, не имеется никаких оснований для существования корреляции между входными величинами Хi и Xj.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 Оценивание неопределенности измерения плотности молока

4.1 Спецификация  измеряемой величины

Объект измерения: жидкость (молоко), находящееся в сосуде ёмкостью 2 литра.

Измеряемая величина -  плотность, кг/м³

Таблица 4.1 - Результаты измерений

, кг/м3	, кг/м3	, кг/м3	, кг/м3	, кг/м3	Ср. значение кг/м3
1027	1027	1029	1028	1027	1027,6

Измерения являются абсолютными, прямыми.

Измерительная задача: плотность  молока, кг/м³, находящегося в сосуде ёмкостью       2 литра, измеряют многократно (n = 5) в одном и том же месте при помощи ареометра, имеющего цену деления 0,5 кг/м³, основную погрешность ±0,5 кг/м³ и пределом измерений 1020-1040 кг/м³. Измерения проводят в нормальных условиях (при температуре (20±2) °С) .

Схема измерения приведена  на рисунке 4.1

 

Рисунок 4.1 – Схема измерения

1 - молоко ; 2 - горизонтальная  плоская поверхность молоко ; 3 - нижняя  часть мениска ;   4 - место  считывания шкалы ; 5 - мениск

Метод измерения

   Для определения  плотности молока с помощью  ареометра необходимо молоко  налить в стеклянный цилиндр  емкостью 2 литра.

    Осторожно опускают  ареометр в молоко, не выпуская  его из рук до тех пор,  пока не станет очевидно, что  он плавает. Отпустив руку, ожидают,  пока ареометр примет нужное  положение и успокоится уровень  молока. Ареометр должен находиться  в центре сосуда, не касаясь  его стенок и дна. 

Показание ареометра записывают в том месте его шкалы, где  основная поверхность молока пересекает шкалу, располагая уровень глаз несколько  ниже уровня молока и медленно поднимая его, пока поверхность, сначала видимая  как деформированный эллипс, не станет прямой линией, пересекающей шкалу  ареометра.

4. 2 Математическая  модель измерения плотности молока

4.2.1 Список источников  изменчивости измерений. 

Средство измерений: ареометр.

Вносимые оператором при  считывании значений измеряемой величины со шкалы.

Вызванные воздействием оператора на объект и  средства измерений (искажения температурного поля, механические воздействия и  т. п.), а также обусловленные степенью внимательности, сосредоточенности, подготовленности и другими качествами оператора.

4.2.2 Математическая модель  измерения с пояснениями.

=

где - точечная оценка плотности;

 – поправка, обусловленная  технических несовершенством средств  измерений 

 – поправка, обусловленная  субъективными особенностями оператора;

 – поправка, обусловленная  несовершенством метода;

 – поправка,  обусловленная  отклонением условий от нормальных.

 

4.2.3 Диаграмма «причина-следствие»:

С₁

            

 

 

 

С₂

 

 

 

 

 

 

Основная погрешность ареометра

Неточность считывания оператором значений измеряемой величины

Неточность нанесения штрихов  на шкалу

Несовершенство принципа действия средства измерений

Воздействие оператора на объект и  средство измерений

Изменение температуры в лаборатории

Неравномерное распределение температуры  в сосуде

С₃

С₄

 

 

 

 

4.2.4 Источники изменчивости измерений представлены в таблице 4.2.

 

Таблица 4.2 - Источники изменчивости измерений

Источники изменчивости измерений	Составляющие	Примечания
	, , ,	учитывается
(поправка на инструментальную  погрешность ареометра)	Основная погрешность  ареометра	учитывается
	Неточность нанесения  штрихов на шкалу	не учитывается вследствие второго порядка малости
	Несовершенство принципа действия средства измерений	не учитывается вследствие второго порядка малости
(поправка на субъективную  погрешность)	Неточность считывания оператором значений измеряемой величины со шкалы	учитывается
	Воздействие оператора на объект и средство измерений	не учитывается вследствие второго порядка малости
(поправка на методическую  погрешность)	Неравномерное распределение  температуры в сосуде	не учитывается вследствие второго порядка малости
(поправка на погрешность  условий)	Изменение температуры в  лаборатории	не учитывается вследствие второго порядка малости

 

4.2.5  Окончательная модель  измерения:

=

где - точечная оценка плотности;

 – поправка, обусловленная  техническим несовершенством ареометра;