Корреляционно-регрессионный анализ уровней временных рядов

 

Умножая на полученный коэффициент данные за 2004-2006 гг., приводим их таким образом в сопоставимый вид с последующими уровнями

 

 

 

Применив этот способ, получим  ряд динамики, характеризующий объём  товарной продукции по объединению  за 2004 - 2009 гг.:

 

Таблица 1.2 - Объём товарной продукции по объединению за 2004 - 2009 гг.

Год	2004	2005	2006	2007	2008	2009
Выпуск товарной продукции, млн. руб.	406,4	416,6	426,7	432,0	458,0	502,3

Примечание – Собственная разработка на основе данных из таблицы 1.1

 

По полученным данным видно, как изменяется выпуск товарной продукции  по объединению за 2004 - 2009 гг.

Приведение рядов динамики к одному основанию.

Проблема приведения к  сопоставимому виду возникает и  при параллельном анализе развития во времени экономических показателей  отдельных стран, территориальных  и административных районов или  же социально-экономических явлений. В таких случаях ряды динамики приводятся к одному  основанию, т.е. к одному и тому же периоду  или моменту времени, уровень  которого принимается за базу сравнения (за 1 или 100%), а все остальные уровни выражаются в форме коэффициентов  или процентов по отношению к  нему.

Рассмотрим приведение рядов  динамики  одному основанию на примере:   

Имеются данные о производстве чугуна в Беларуси и России за 2005 – 2011 гг.

 

Таблица 1.3 - Производство чугунного литья за 2005-2011 гг., тысяч тонн.

Год	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011
Беларусь	270	301	346	366	276	303	359
Россия	49175	52362	51515	48275	44021	48000	48000

 

 Примечание – Источник: [4], [5, с. 381].

 

Приведём абсолютные уровни рядов динамики к общему основанию, приняв за постоянную базу сравнения  уровней каждого ряда с уровнем 2002года.

 

Беларусь:       

 

 

              

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

= 132,9%

 

Россия:

 

 

              

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

= 97,6%

 

Получаем следующие данные, в % к уровню 2005 г.:

 

 

Таблица 1.4 - Производство чугуна за 2005-20011 гг.

Год	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011
Беларусь	100,0	111,4	128,1	135,5	102,2	112,2	132,9
Россия	100,0	106,4	104,7	98,1	89,5	97,6	97,6

Примечание – Собственная разработка на основе данных из [5, c. 381]

В относительных величинах, выраженных в базисных темпах роста  по каждой стране, несопоставимость уровней  рядов нивелируется, и характер развития явлений выступает наглядно.

Таким образом основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда - выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент, с тем чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений рада или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2 Автокорреляция  уровней временного ряда

Для начала следует дать определение термину автокорреляция. Наличие зависимости между последующими и предшествующими уровнями динамического  ряда в статистической литературе называют автокорреляцией. [7, 335]

Среди основных причин, вызывающих появление автокорреляции, можно  выделить следующие:

• Ошибки спецификации. Отсутствие учета в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости, обычно приводит к системным отклонениям точек наблюдений от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.
• Инерция. Многие экономические показатели (например, инфляция, безработица и т. п.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Действительно, экономический подъем приводит к росту занятости, сокращению инфляции и т.д. Этот рост продолжается до тех пор, пока изменение конъюнктуры рынка и ряда экономических характеристик не приведет к замедлению роста, затем остановке и движению вспять рассматриваемых показателей. В любом случае эта трансформация происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.
• Эффект паутины. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом). Например, предложение сельскохозяйственной продукции реагирует на изменение цены с запаздыванием (равным периоду созревания урожая). Большая цена сельскохозяйственной продукции в прошедшем году вызовет (скорее всего) ее перепроизводство в текущем году, а, следовательно, цена на эту продукцию снизится и т.д.
• Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его подынтервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может послужить причиной автокорреляции .

При наличии тенденции  и циклических колебаний значения каждого последующего уровня рада зависят от предыдущих значений. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного

ряда и уровнями этого  ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Сдвинутые на несколько шагов  во времени уровни временного ряда можно увидеть в таблице 1.5:

Таблица 1.5- Расчёт коэффициента автокорреляции первого порядка для временного ряда урожайности зерновых и зернобобовых культур в Республике Беларусь за 2001 – 2012 гг.

№	Год	Урожайность зерновых и зернобобовых культур, центнеров с одного гектара (y)
1	2001	19.9	-
2	2002	24.7	19.9
3	2003	24.2	24.7
4	2004	29.6	24.2
5	2005	28.1	29.6
6	2006	24.9	28.1
7	2007	28.5	24.9
8	2008	35.2	28.5
9	2009	33.3	35.2
10	2010	27.7	33.3
11	2011	32.2	27.7
12	2012	34.4	2.2

Примечание – Собственная разработка на основе данных из [3, с. 121]

 

Одна из рабочих формул для расчета коэффициента корреляции имеет вид:

 

                                        (1.1)

 

В качестве переменной х  мы рассмотрим ряд , …, ; в качестве переменной у - ряд , …. Тогда приведенная выше формула примет вид:

 

                         = ,                       (1.2)

 

где       ;                                                                               (1.3)

            = .                                                                             (1.4)

 

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда t и t - 1, т. е. при лаге 1.

Полученное значение будет свидетельствовать о зависимости между последовательными уровнями временного ряда, следовательно, о наличии во временном урожайности зерновых и зернобобовых культур тенденции.

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями ряда и и определяется по формуле:

                       (1.5)

 

где  ;                                                                              (1.6)

       =                                                                               (1.7)

 

Полученные результаты еще раз подтверждают вывод о том, что урожайности зерновых и зернобобовых культур содержит тенденцию. Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называется лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Некоторые авторы считают целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило «максимальный лаг должен быть не больше n/4». [6, c. 299]

Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции.

• Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и, таким образом, характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.
• Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом они могут иметь убывающую тенденцию. Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, следовательно, лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т. е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда. [1, c. 302]

Если наиболее высоким  оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка r, ряд содержит циклические колебания с периодичностью в r моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать предположение относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний и имеет структуру, сходную со структурой ряда, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты Т и циклической (сезонной) компоненты S.

Анализ значений автокорреляционной функции позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде, во-первых, линейной тенденции, во-вторых, сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала. Данный вывод подтверждается и графическим анализом структуры ряда.

Аналогично, если, например, при анализе временного ряда наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции второго порядка, ряд содержит циклические колебания с циклом, равным двум периодам времени, т. е. имеет пилообразную структуру.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Моделирование  тенденции временного ряда

2.1 Методы выявления  основной тенденции временного  ряда

Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда. Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

•линейный тренд ;                                                                    (2.1)

• гипербола ;                                                                             (2.2)

• экспоненциальный тренд                                                  (2.3)