Корреляционно-регрессионный анализ уровней временных рядов

• парабола второго и  более высоких порядков

…+                              (2.4)

Параметры аналитического уравнения  выбранного вида кривой находят, используя  метод наименьших квадратов. При  этом предполагается, что сумма квадратов  отклонений фактических уровней  от выровненных , т.е. расположенных на искомой линии, должна быть минимальной:

                                              (2.5)

Рассмотрим технику выравнивания ряда динамики по уравнению тренда прямой (2.1), т.е. по линейной функции:

=,                                                (2.6)

где t – условное обозначение времени; – параметры искомой прямой.

Выравнивание по прямой применяется  в тех случаях, когда характер движения изучаемого явления ближе  всего к прямолинейному. [2, c. 195]

Параметры находятся путем решения следующей системы нормальных уравнений:

,                                     (2.7)

 

Где y – фактические уровни ряда динамики; n – число уровней ряда; t – соответствующая нумерация фактора времени.

Эта система уравнений  значительно упрощается, если значения времени подобрать так, чтобы  их сумма равнялась нулю. Тогда:

 

   ;                                         (2.8);(2.9)

 

Если число уровней  в ряду динамики четное, то условные обозначения времени t как в таблице 2.1

Аналитическое уравнение, полученное в результате произведенных расчетов, представляет собой математическую модель развития изучаемого явления и выражает статистическую закономерность, проявляющуюся в анализируемом ряду динамики.

Рассмотрим применение метода аналитического выравнивания по прямой для выражения общей тенденции  на примере данных об урожайности  зерновых и зернобобовых культур  в Республике Беларусь за 2001 – 2012 гг.                       (см. таблицу 1.5)

 

Таблица 2.1 – Расчет алгебраических расширений для решения системы (2.7) на примере урожайности зерновых и зернобобовых культур

Годы	Эмпирический уровень  ряда (y)	Условное обозначение  времени (t)		yt
1	2	3	4	5	6
2001	19,9	-11	121	-218,9	22,893
2002	24,7	-9	81	-222,3	23,923
2003	24,2	-7	49	-169,4	24,953
2004	29,6	-5	25	-148	25,983
2005	28,1	-3	9	-84,3	27,013
2006	24,9	-1	1	-24,9	28,043
2007	28,5	1	1	28,5	29,073
2008	35,2	3	9	105,6	30,103
2009	33,3	5	25	166,5	31,133
2010	27,7	7	49	193,9	32,163
2011	32,2	9	81	289,8	33,193
2012	34,4	11	121	378,4	34,223
Всего	342,7	0	572	294,9	342,7

Примечание – Источник: собственная разработка на основе данных из [11]

Теперь определим параметры уравнения :

 

= = 28.558

 

= = = 0.515

 

Так как 0, то происходит возрастание уровней ряда при изменении фактора времени.

Уравнение Тренда:

0.515t

Проверка правильности расчетов исходит из условия, что ∑y=∑. В нашем случае 342.7=342.7.

Эмпирические коэффициенты тренда и являются лишь оценками теоретических коэффициентов , а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных. Коэффициент тренда  = 0.515 показывает среднее изменение результативного показателя с изменением периода времени t на единицу его измерения (год). В данном примере с увеличением t (времени) на 1 год,  y (урожайность зерновых и зернобобовых культур) увеличится в среднем на 0,515.

 

 

Рисунок 1 – Аналитическое  выравнивание урожайности зерновых и зернобобовых культур в Республике Беларусь за 2001 – 2012 гг., где ряд 1 – y (урожайность), а ряд 2 – выровненные значения по фактору времени

Примечание – Источник: собственная разработка на основе данных из таблицы 2.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2 Методы исключения тенденции

Сущность всех методов  исключения тенденции заключается  в том, чтобы устранить или  зафиксировать воздействие фактора  времени на формирование уровней  ряда. Основные методы исклю­чения  тенденции можно разделить на две группы:

• методы, основанные на преобразовании уровней исходного ряда в новые переменные, не содержащие тенденции. Полученные переменные используются далее для анализа взаимо­связи изучаемых временных рядов. Эти методы предполага­ют непосредственное устранение трендовой компоненты Т из каждого уровня временного ряда.

Два основных метода в данной группе — это метод последовательных разностей и метод отклонений от трендов;

• методы, основанные на изучении взаимосвязи исходных уровней временных рядов при элиминировании воздействия фактора времени на зависимую и независимые переменные модели. В первую очередь это метод включения в модель регрессии по временным рядам фактора времени.

Рассмотрим подробнее  методику применения, преимущества и  недостатки каждого из перечисленных  выше методов. Начнем с метода отклонений от тренда.

Пусть имеются два временных  ряда и каждый из которых содержит трендовую компоненту Т и случайную компоненту ɛ. Проведение аналитического выравнивания по каждому из этих рядов позволяет найти параметры соответствующих уравнений трендов и определить расчетные по тренду уровни  соответственно. Эти расчетные значения можно принять за оценку трендовой компоненты Т каждого ряда. Поэтому влияние тенденции можно устранить путем вычитания расчетных значений уровней ряда из фактических. Эту процедуру проделывают для каждого временного ряда в модели. Дальнейший анализ взаимосвязи рядов проводят с использованием не исходных уровней, а отклонений от тренда и при условии, что последние не содержат тенденции.

 

r =,                                (2.9)

 

 где - соответственно теоретические значения уравнений факторного и результативного признаков.

Следующий метод исключения тенденций это – это метод  последовательных разностей. В ряде случаев вместо аналитического выравнивания временного ряда с целью устранения тенденции можно применить более простой метод — метод последовательных разностей. Если временной ряд содержит ярко выраженную линейную тенденцию, ее можно устранить путем замены исходных уровней ряда цепными абсолютными приростами (первыми разностями). 
 
  Пусть: 

+ ;   = a + bt                                                                              (2.10)

Тогда: 
   = - = a + bt + (a + b(t – 1) + = b + ( 

 

Коэффициент b — константа, которая не зависит от времени. 

Если временной ряд  содержит тенденцию в форме параболы второго порядка, то для ее устранения можно заменить исходные уровни ряда на вторые разности.

Пусть имеет место соотношение (2.10), однако      (2.11)

Тогда :

= – (a + b(t – 1) + = b + (                                                                 (2.12)

 

Как показывает это соотношение, первые разности , непосредственно зависят от фактора времени t и, следовательно, содержат тенденцию.

 

Определим вторые разности: 

= = –

=                                                 (2.13)

 

Очевидно, что вторые разности, не содержат тенденции, поэтому при наличии в исходных уровнях тренда в форме параболы второго порядка их можно использовать для дальнейшего анализа. Если тенденции временного ряда соответствует экспоненциальный или степенной тренд, метод последовательных разностей следует применять не к исходным уровням ряда, а к их логарифмам.

Далее рассмотрим включение  в модель регрессии фактора времени. В корреляционно-регрессионном анализе устранить воздействие какого-либо фактора можно, если зафиксировать воздействие этого фактора на результат и другие включенные в модель факторы. Этот прием широко используется в анализе временных рядов, когда тенденция фиксируется через включение фактора времени в модель в качестве независимой переменной.

Модель вида +  относится к группе моделей,            включающих фактор времени. Очевидно, что число независимых переменных в такой модели может быть больше единицы. Кроме того, это могут быть не только текущие, но и лаговые значения независимой переменной, а также лаговые значения результативной переменной. Преимущество данной модели по сравнению с методами отклонений от трендов и последовательных разностей в том, что она позволяет учесть всю информацию, содержащуюся в исходных данных, поскольку значения y_t и х_t есть уровни исходных временных рядов. Кроме того, модель строится по всей совокупности данных за рассматриваемый период в отличие от метода последовательных разностей, который приводит к потере числа наблюдений. Параметры а и b модели с включением фактора времени определяются обычным МНК. 

Таким образом сущность всех методов исключения тенденции заключается в том, чтобы устранить или зафиксировать воздействие фактора времени на формирование уровней ряда. Выше мы рассмотрели методику применения, преимущества и недостатки каждого из методов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Статистические  методы изучения взаимосвязей  временных рядов

3.1 Специфика статистического  изучения взаимосвязи временных  рядов

При анализе рядов динамики возникает необходимость исследования взаимосвязи между признаками. Нужно проявлять особую осторожность при использовании для этого традиционных методов корреляционно-регрессионного анализа. Дело в том, что эти взаимосвязи характеризуются существенной спецификой и для адекватного исследования их имеются специальные методы, учитывающие эту специфику взаимосвязи. На предварительном этапе анализа исследуется наличие в исходных данных циклических или сезонных колебаний. Если такие компоненты имеются, то до проведения дальнейшего исследования взаимосвязи следует устранить сезонную или циклическую компоненту из уровней ряда. Это необходимо поскольку наличие таких компонент приведет к завышению истинных показателей силы и тесноты связи изучаемых рядов динамики, когда оба ряда содержат циклические компоненты одинаковой периодичности. Если же сезонные или циклические колебания содержит только один из рядов или периодичность колебаний этих рядов различна, соответствующие показатели будут занижены.

Вследствие автокорреляции наличие синхронных колебаний (тенденций) развития уровней показателей может быть истолковано как наличие связи между ними.

Поэтому исследование рядов  динамики всегда начинается с определения коэффициента автокорреляции (формула 1.1)

    

Рассчитанные коэффициенты автокорреляции оцениваются на вероятностную надежность с помощью критерия t –Стьюдента. Если фактическая величина

критерия t больше табличного, то автокорреляция имеет место и  расчет показателей тесноты связи можно осуществить по одному из специальных

способов:

1)     Коррелирование отклонений от трендов;

2)     Коррелирование абсолютных разностей.

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2 Статистическая  оценка автокорреляции в остатках

Важной проблемой, примыкающей  к рассмотренным темам, является автокорреляция в остатках. Дело в  том, что последовательность остатков может рассматриваться как временной  ряд. Тогда возникает возможность  построения зависимости этой последовательности остатков от времени. Согласно предпосылкам адекватности применения МНК, сами остатки  должны быть случайными. В моделировании  рядов динамики весьма распространена ситуация. Когда остатки содержат тренд или циклические колебания. В этом случае каждое последующее  значение остатков зависит от предшествующих, что и свидетельствует об автокорреляции остатков.

Автокорреляция в остатках может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу.

1. Она может быть связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака.
2. В ряде случаев автокорреляция может быть следствием неправильной спецификации модели. Модель может не включать фактор, который оказывает существенное воздействие на результат и влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени t.
3. модель не учитывает несколько второстепенных факторов, совместное влияние которых на результат существенно ввиду совпадения тенденций их изменения или фаз циклических колебаний;
4. неправильная спецификация функциональной формы модели. В этом случае следует изменить форму связи факторных и результативного признаков, а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции остатков.

От истинной автокорреляции остатков следует отличать ситуации, когда причина автокорреляции заключается  в неправильной спецификации функциональной формы модели. В этом случае следует  изменить форму модели, а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии  автокорреляции в остатках. [13, c. 234]

Один из более распространенных методов определения автокорреляции в остатках – это расчет критерия Дарбина-Уотсона:

DW=                                  (3.1)

Рассмотрим определение  автокорреляции в остатках на примере (см. таблицу 3.1):

Имеются следующие данные об урожайности зерновых и зернобобовых культур Республики Беларусь и количество минеральных удобрений внесенных  под их посевы за 2004 – 2011.

Таблица 3.1 - Урожайность зерновых и зернобобовых культур в Республике Беларусь и количество минеральных удобрений внесенных под их посевы за 2004 – 2011 гг.

Год	Количество минеральных  удобрений внесенных под зерновые и зернобобовые культуры, ц/га	Урожайность зерновых и зернобобовых культур, ц/га
2004	1,83	29,6
2005	2,13	28,1
2006	2,59	24,9
2007	2,54	28,5
2008	2,53	35,2
2009	2,87	33,3
2010	2,93	27,7
2011	3,13	32,2
Всего	20,55	239,5