Многомерное шкалирование в экономических исследованиях

 

 

При w_s=0 эта формула тождественна записи векторной модели,   поэтому задачи поиска весового коэффициен и оценки пространственного положения идеальной точки имеют регрессионное решение:

 

где a_ks — коэффициент регрессии.

Вывод об общности с векторной  моделью распространяется и на два  последующих случая, алгебраически  доказывается, что взвешенная и обобщенная евклидовы модели — это разные уровни ее интегрирования При этом взвешенная евклидова модель сводится при упрощении к векторной или простой евклидовой модели, обобщенная евклидова в свою очередь включает векторную, простую и взвешенную евклидовы модели Это означает, что множественная регрессия остается универсальным приемом для поиска модельных параметров и координат идеальной точки.

Взвешенная евклидова модель содержит весовой коэффициент   и в отличие от предыдущего случая позволяет оценить значимость каждой координатной оси отдельно. После возведения в квадрат выражения в скобках и элементарных перестановок (табл. 8.13) будем иметь расширенную запись модели:

 

 

 

 

 

В рамках модели координаты идеальной точки находят по формуле:

 

Обобщенная евклидова  модель в дополнение к моделям  типов Е и W учитывает силу взаимодействия координатных осей

Таблица  3.3. Виды моделей внешнего анализа и критериев для поиска наилучшей модели

Модель	Услов. обозн.	Вид модели	Критерии для  отбора наилучшей модели
Векторная	V
Простая евклидова	Е
Взвешенная евклидова	W
Обобщенная евклидова	G	в матричном виде уравнение для поиска координат стимулов для субъекта s (Xs): Xs= XwsTs

 

по данным субъекта s. В развернутом виде модель записывается:

 

при k’≠k.

Согласно модели показатель силы взаимодействия координатных осей r_kk'_S вычисляют по формуле:

 

здесь к и k' — различные координатные оси,

- коэффициент регрессии при  независимой переменной, представляющей взаимодействие осей.

Координаты идеальной  точки находят из матричного уравнения:, здесь X_s — вектор координат идеальной точки с компонентами x_sk ; R_s — симметрическая матрица взаимодействия координатных осей, на ее главной диагонали находятся элементы   , а все другие элементы  — это произведения: или проще,. A_s — вектор с компонентами — регрессионными коэффициентами для переменных x_ik.

В практике набор сложных  формул при решении евклидовых моделей  не столь существенно затрудняет работу. Возможность использования  хорошо известных алгоритмов регрессионного анализа требует лишь предварительной  правильной подготовки данных для обработки.

В табл. 3.4 показано, каким образом задаются входные данные и какие результаты после обработки этих данных методами множественной регрессии получают. Вычисления повторяются для каждого субъекта s.

По данным примера (табл. 3.1) сделаны расчеты входной информации для последующей оценки регрессионных весов (табл. 3.5).

После выполнения алгоритма  многошаговой рефессии получены величины параметров (, ) и значений весовых коэффициентов (), по ним исчислены координаты идеальных точек субъектов, все результаты анализа сведены в табл. 8.16. Чтобы особенности упомянутых в этом разделе моделей стали

Таблица  3.4. Входные данные и параметрические оценки евклидовых моделей типа E_, W, G после проведения регрессионного анализа

Входные данные	Выходные данные: параметрические оценки (регрессионные веса)
	Простая евклидова (E)	Взвешенная евклидова (W)	Обобщенная евклидова (G)
Отклик (зависимая переменная)
Предикторы
		-	-
	-
	-
	-	-

 

Таблица  3.5. Расчетные входные данные для оценки регрессионных весов (для двух субъектов)

Стимул (область)	Зависимая переменная		Независимые переменные
	Оценки предпочтений		Координаты стимулов (х)
Брестская Витебская Гомельская Грояненская Минская Могилевская	2 4 6 3 1 5	1 3 6 4 2 5	1.15 0,49 0,65 0,78 1,10 0,20	0,30 0,87 -0,15 0,45 1,04 0,90	1,322 0,240 0,422 0,608 1,210 0,040	0,090 0,757 0,223 0,202 1,082 0,810	1,412 0,997 0,645 0,810 2,292 0,850	0,345 0,426 -0,098 0,351 1,144 0,180

 

Таблица  3.6. Регрессионные и весовые коэффициенты, оценки координат идеальных точек и значения критериев надежности решений для четырех типов внешних моделей анализа предпочтений (для двух экспертов)

Показатель	Координатная ось	Тип внешней модели
		Векторная (V)		Простая евклидова (Е)		Взвешенная евклидова (W)		Обобщенная евклидова (G)
		Субъект		Субъект		Субъект		Субъект
		А	В	А	В	А	В	А	В
Регрессионный коэффициент ()	I II	-4,57 -2,42	-4,13 -2,05	-6,49 -3,70	-6,61 -3,70	-4,42 -3,74	-0,163 -3,807	9,67 5,96	1,10 -8,76
Субъективные веса ()	I,II	—	—	1,45	1,88	-	-	—	—
Субъективные веса координат ()	I II	— —				2,77 1,72	-2,58 2,69	-5,17 4,98	-7,36 4,77
Субъективная оценка взаимодействия шкал ()	I,II	—	—	—	—	—	—	-8,30	-5,! 5
Координаты идеальной точки ()	I II	—	—	2,24 1,27	1,76 0,98	0,80 1,09	-0,03 0,71	-0,85 -0,11	-0,16 -0,82
Коэффициент детерминации (R2) F-критерий	—	0,872 4,78	0,962 4,78	0,989 61,8	0,806 2,77	0,996 56,6	0,867 1,636	0,994 34,2	0,858 1,210

 

 

очевидны, таблица дополнена  данными расчетов также по векторной модели и критериальными оценками надежности решений: R² и F (F — обычный F-критерий, применяемый для оценки адекватности регрессионной модели).

По данным табл. 3.6 более высокими адаптационными свойствами обладают модели для субъекта А, в их числе наилучшие — простая и взвешенная эвклидовы, для них R² >0,980 и F > 56. Отрицательные значения коэффициентов регрессии свидетельствуют, что предпочтения субъекта в общем представляются монотонно убывающей функцией.  В двумерной системе координат более серьезное значение им отводится оси X₁ , наконец, идеальная точка приближается к стимулу «Минская область», сравним: Х'_кА = (2,24 1,27) и Х'_iА = (1,10 1,04), т.е. наиболее благоприятные условия для организации производства видятся на территории, близкой по своим параметрам Минской области, но по шкале (признаку) Х1 требуется существенное улучшение.

Для субъекта В наилучшей является векторная модель (R² = 0,962 и F= 4,78), а для всех других типов моделей значения показателей адекватности значительно снижаются. Выводы для субъекта В можно предложить в последовательности, как и для А.

Обратим внимание, что в  случаях со взвешенной и обобщенной евклидовыми моделями появляются отрицательные оценки субъективных весов координат . Это допустимо, и по Кэроллу объясняется появлением антиидеальной точки , чем меньше стимул (i-область) похож на «антиидеал», тем больше он нравится субъекту.

Отрицательный знак оценки взаимодействия шкал не вызывает противоречий, это результат разнонаправленности действия Х1 и X2 (не забудем, Х1, X2 — некоторые обобщенные признаки), положительный знак свидетельствовал бы о том, что Х1, X2  действуют в одном направлении.

Расчеты координат идеальных  точек для субъектов А и В идентичны, поэтому покажем, как получены табличные значения только для одного субъекта А:

• Простая евклидова модель

 

 

и вектор координат идеальной  точки Х'_А = (2,24; 1,27).

• Взвешенная евклидова  модель

 

и Х'_А = (0,80; 1,09).

• Обобщенная евклидова  модель

 

здесь антиидеальная точка имеет координаты Х'_A - (-0,848; -0,109)

Используя значения регрессионных  весов для обобщенной евклидовой модели, дополнительно можно исчислить  характеристику коррелированности осей к и к' , т.е. показатель :

 

Приведенные расчеты подтверждают важность правильного выбора модели в анализе и достижения адекватности расчетных модельных параметров. Как видим, аналитические результаты существенно различаются: оценки регрессионных  и весовых коэффициентов в  моделях имеют значительные расхождения, координаты идеальных точек трансформируются и переходят в координаты «антиидеала».

Таким образом, МШ данных о  предпочтениях включает два этапа, соответственно этому и сам анализ разделяется на внутренний и внешний. На первом этапе выдвигается тривиальная задача поиска координат стимулов, решаемая методами метрического или неметрического шкалирования при условии адекватности теоретических пространственных оценок предпочтений эмпирическим. Проверка качества координатных оценок на этом этапе обычно осуществляется при помощи метода наименьших квадратов или известных стресс-формул. На втором этапе анализа, т.е. во внешнем анализе, устанавливаются субъективные параметры моделей предпочтений: весовые и регрессионные коэффициенты, координаты идеальных точек.

Для поиска адекватных решений  имеется широкий набор моделей, сводящихся к основным четырем типам: векторная, простая, взвешенная и обобщенная евклидовы модели, их параметры могут быть найдены методами множественной регрессии. Соответствие модельных значений фактическим статистически оценивается при помощи коэффициента детерминации (R²) и F — дисперсионного критерия Фишера.

Анализ предпочтений органично  сочетается с другими статистическими методами: многомерных группировок, дискриминантного анализа и т.д. Представляя преимущества группировки субъектов по предпочтениям, можно сказать, например, о выделении перспективных групп покупателей, товара. Сгущения идеальных точек помогут найти оптимальные параметры реальных объектов. Если же в координатном пространстве шкал идеальные объекты пространственно удалены от реальных, то следует вывод о необходимости совершенствования последних, что будет означать необходимость разработки, скажем, новой продукции: средств производства, потребительских товаров, или принятие качественно нового управляющего решения и т. п.

Как видим, анализ предпочтений позволяет решать широкий спектр практических задач. Процессы и явления  из области экономики, политики, социальной жизни моделируются таким образом, что исследователь определяет перспективы  развития и желаемые (идеальные) результаты.

 

Заключение

Многомерное шкалирование представляет собой совокупность методов, которые по характеристикам различий позволяют погружать изучаемые объекты и субъектов-экспертов в некоторые теоретические пространства с размерностью, как правило, допускающей визуализацию аналитических результатов. Пространственное расположение объектов, по предварительному условию, адекватно реальной ситуации. С учетом экспертных мнений это расположение можно идеализировать и тогда, когда исследователь обоснованно решает задачу поиска оптимальных параметров для изучаемых объектов или выдвигает гипотезу о необходимости конструирования нового образца и последующей замены существующего того или иного объекта.

Арсенал МШ достаточно богат  и сложным вопросом остается правильный выбор метода в конкретном анализе. Классификация методов прежде всего обусловлена исходной информацией.

По наличию в ней  количественных или порядковых характеристик МШ соответственно разделяют на метрическое и неметрическое.

В основе МШ лежат модели двух классов: линейные (векторная) и нелинейные (евклидова — простая, взвешенная и т.д.). Алгоритмически методы, как и модели МШ, имеют общие этапы реализации: подготовки данных о различиях наблюдаемых объектов, поиска и оптимизации теоретического координатного пространства, оценки качества решения и интерпретации аналитических результатов.