Статистический анализ динамики анализируемого социального процесса

Рассмотренные приемы сглаживания динамических рядов (укрупнение интервалов и метод скользящей средней) дают возможность определить лишь общую тенденцию развития явления, более или менее освобожденную от случайных и волнообразных колебаний. Однако получить обобщенную статистическую модель тренда посредством этих методов нельзя.

Для того, чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики.

Основным содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:

Уt  = f(t),

где Уt – уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Определение теоретических (расчетных) уровней Уt производится на основе так называемой адекватной математической модели, которая наилучшим образом отображает (аппроксимирует) основную тенденцию ряда динамики.

Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления, а также на графическом изображении ряда динамики (линейной диаграмме).

Например, простейшими моделями (формулами), выражающими тенденцию развития являются:

• линейная функция – прямая – Уt = ao  + a1t, где: ao, a1 - параметры уравнения, t – время;
• показательная функция –Уt = ao * a1;
• степенная функция – кривая второго порядка (парабола) –

Уt = ao +a1t +a2t

Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов, в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическими и эмпирическими уровнями:    (Уt - Уi)    min,

где Уt – выровненные (расчетные) уровни; Уi – фактические уровни.

Параметры уравнения а , удовлетворяющие этому условию, могут быть найдены решением системы нормальных уравнений. На основе найденного уравнения тренда вычисляются выровненные уровни ряда.

Таким образом, выравнивание ряда динамики заключается в замене фактических уровней Уi плавно изменяющимися уровнями Уt , наилучшим образом аппроксимирующими статистические данные.

Рассмотрим применение аналитического выравнивания на основании исходных данных таблицы 8.

Таблица 9

Выравнивание по прямой ряда динамики возрастания (убывания) уровня ВВП на душу населения в Северо-Западном ФО РФ за 2005-2012 г.

Годы	ВВп на душу населения ( тыс.рублей). Уi	t	t²	yt	Теоретиче-ский уровень, Уt	Уi - Уt	(Уi -Уt)²
2005	130,8	-7	49	-915,6	131,02	-0,22	0,049
2006	160,6	-5	25	-803	164,92	-4,32	18,66
2007	202,9	-3	9	-608,7	198,82	4,08	16,65
2008	248,8	-1	1	-248,8	232,72	16,08	258,57
2009	251,1	1	1	251,1	266,62	-15,52	240,87
2010	289,6	3	9	868,8	300,52	-10,92	119,25
2011	345,3	5	25	1726,5	334,42	10,88	118,37
2012	368,3	7	49	2578,1	368,32	-0,02	0,004
Итого	1997,4	0	168	2848,4	1997,4	0	772,42

Выравнивание данного динамического ряда произведем по уравнению прямой линии:

Уt = ao  + a1t

В нашем примере  n = 8.

Параметры     ao, a1   согласно методу наименьших квадратов находят решением следующей системы нормальных уравнений:

 у  =    nao  + a1 ∑ t

 уt  =   aot  + a1  ∑  t²

Для упрощения нахождения параметров уравнения при сохранении полной идентичности конечных результатов введем обозначения дат или периодов времени с натуральным числом ( t ), с тем, чтобы  t = 0.

Так как   ∑ t = 0 (мы предполагаем), то система нормальных уравнений примет вид:

∑у  =    nao 

     ∑ уt   =    a1  ∑  t²

Отсюда:      ao  = ∑  y/n     ,         ao  =   1997,4/8 = 249,67

                    a1   = ∑ уt/ ∑t²        , a1    = 2848,4/168= 16,95

Уравнение прямой, представляющее собой трендовую модель искомой функции, будет иметь вид:

Уt = 249,67 + 16,95*t

Подставив в данное уравнение последовательно значения t, равные  -7,-5, -3, -1, +1, +3, +5, +7, находим выравненные уровни Уt.

Подставив в это уравнение значение t, получим выравненные теоретические значения У:

У2005  = 249,67 + 16,95*(-7)

У2006  = 249,67 + 16,95*(-5) и т.д.

Если расчеты выполнены правильно, то Уi =   Уt.

 В нашем примере  Уi = Уt = 1997,4. Следовательно, значения уровней выровненного ряда найдены верно.

Полученное уравнение показывает, что, несмотря на значительные колебания в отдельные годы ( 2009) , наблюдается тенденция увеличения роста ВВП на душу населения в Северо-Западном ФО РФ с 2005 по 2012 год, т.е. составлял в год в среднем а1=16,95 тыс. рублей в год.

Фактические и расчетные значения представлены в виде графика (Рис.1)

	100
Количество человек, млн. чел.
	90
	80
	70
	60
	50
	40
	30
	20
	10
	0
	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012
		Годы

Рис. 1. Динамика увеличения ВВП на душу населения в Северо-Западном ФО РФ  за 2005-2012 годы

           Первичный динамический ряд

           Выровненный динамический ряд.

Соединив точки, построенные по фактическим данным, получим ломаную линию, на основании которой затруднительно вынести суждение о характере общей тенденции динамики в изменении исследуемого процесса.

Тенденция увеличения роста ВВП в Северо-Западном ФО РФ в изучаемом периоде отчетливо проявляется в результате построения выровненной прямой (наблюдается неуклонный рост):

Уt = 249,67 + 16,95*t

Выявление и характеристика трендов создают базу для прогнозирования, т.е. для определения ориентировочных размеров явлений в будущем. Для этого используют метод экстраполяции.

Под экстраполяцией понимают нахождение уровней за пределами изучаемого ряда, т.е. продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом (перспективная экстраполяция).

Экстраполяцию рядов динамики осуществляют различными способами, например, экстраполируют ряды динамики выравниванием по аналитическим формулам. Зная уравнение для теоретических уровней, и подставляя в него значения t  за пределами исследуемого ряда, рассчитывают для t  вероятностные Уt.

Так, по данным таблицы 9, на основе исчисленного ранее уравнения

Уt = 249,67 + 16,95*t экстраполяцией при t = 9 можно определить ожидаемое увеличение роста ВВП в Северо-Западном ФО РФ в 2013 году:

У2013 = 249,67 + 16,95*9 = 402,22

На практике результат экстраполяции прогнозируемых явлений обычно получают не точечными (дискретными), а интервальными оценками.

Для определения границ интервалов используют формулу: Уt ± taSy1

где ta  – коэффициент доверия Стьюдента;

  Sy =  √ ∑ (Уi-Уt)²/n-m   –  остаточное среднее квадратическое отклонение от тренда, скорректированное по числу степеней свободы (n-m);

n – число уровней ряда динамики;

m – число параметров адекватной модели тренда (для уравнения прямой m=2).

Вероятностные границы интервала прогнозируемого явления:

(Уt - taSy) ≤ Уnp  ≤ (Уt + taSy)

Рассчитаем прогнозируемые доверительные интервалы на 2013 год.

Если n = 8 и m=2, то число степеней свободы равно 6. Тогда, при доверительной вероятности равной 0.95 (т.е. при уровне значимости случайностей     α = 0,05), коэффициент доверия t = 2,306 (по таблице Стьюдента),  ∑  (У – У)² = 772,42 (см. табл.9),

Тогда  Sy =   √  772,42/8-2 = ±11,35.

Зная точечную оценку прогнозируемого значения  Уt =402,22, определяем вероятностные границы интервала:

402,22 – 2,306*11,35  ≤ Уnp ≤ 402,22+2,306*11,35

376,05 ≤Уnp ≤ 428,4

Следовательно, с вероятностью, равной 0,95 можно утверждать, что рост ВВП в Северо-Западном ФО РФ  в 2013 году будет не менее чем 376,05, но не более чем 428,4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Применив на практическом примере различные виды статистического анализа, в данной курсовой работе отмечены все плюсы и минусы этих методик. Благодаря проведенным анализам рядов динамики, темпов их роста, темпов прироста, темпов наращения можно сделать достаточно оптимистичные выводы по исследуемому процессу: динамика, в целом, положительная.

Дальнейшее исследование средних характеристик ряда динамики тоже дало положительные результаты по исследуемому процессу.

Построение графика первичного динамического ряда, а затем и выровненного динамического ряда подтверждает положительную динамику исследуемого процесса.

И, наконец, заключительный расчет прогнозируемого значения количества Православных в России к 2013 году дает надежду на их увеличение на 10,919 млн.чел. Это, на мой взгляд, очень оптимистичные данные, которые несут надежду на дальнейшее возрождение России, как оплота Православия. Ведь Россия, как издревле считалось, находится под покровительством Пресвятой Богородицы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы и сайтов

1. Официальный сайт статистики ВЦИОМ.
2. Сайт РПЦ (Русская Православная Церковь).
3. Сайт http://www.religare.ru/analitics34822.htm.
4. Сайт http://www.religare.ru/article9145.htm.
5. Сайт http://wciom.ru/arkhiv/tematicheskii-arhiv/item/singl/3756.
6. Независимый статистический сайт «Левада-Центр».