Расчет шарнирно-консольных балок

Рассмотрим сечение, находящееся на произвольном расстоянии х от левой опоры арки (рис.1.3). Рассматривая равновесие части арки с одной стороны от данного сечения, найдем в нем изгибающий момент. Будем рассматривать часть арки слева от сечения. Тогда

,                                                                        (1.8)

где  - изгибающий момент в рассматриваемом сечении, вызванный исключительно внешними силами, действующими слева от рассматриваемого сечения.

Как мы уже выяснили, при отсутствии горизонтальной составляющей нагрузки вертикальные опорные реакции VA и VB в арке и в соответствующей ей балке будут одинаковыми, а горизонтальные реакции в опорах арки равны и противоположно направлены. Изгибающий момент в балке определяется по формуле  . Сопоставляя эту формулу с (1.8), с учетом (1.7) получим:              

.                                                                                          (1.9)

Таким образом, при условии отсутствия горизонтальной составляющей нагрузки, зная распор в арке и изгибающий момент в любом сечении балки, соответствующей рассматриваемой арке, момент в этом же сечении арки можно найти и по формуле (1.9).

Для определения продольного и перерезывающего усилий рассмотрим  сечение в арке, отстоящее от левой опоры на произвольное расстояние х (рис.1.3).

Рис.1.4 

 

Перерезывающее усилие в арке  действует перпендикулярно ее оси в данном сечении, а продольное   - вдоль ее оси в данном сечении (рис.1.4). Обозначим сумму проекций всех внешних сил и реакций опор, действующих на рассматриваемую часть сечения, на вертикальную и горизонтальную оси  и   соответственно. Положительными направлениями этих сил будем считать такие направления, которые будут уравновешиваться положительными   и   на оси арки (рис.1.5). Составив уравнения равновесия сил, действующих на рассматриваемую часть сечения в осях, совпадающих с направлением действия  и   (рис.1.6) получим выражения для определения перерезывающего и продольного усилия:                

;                                                     (1.10)              

.                                                  (1.11)

Рис.1.5 

 

Рис.1.6 

 

При определении опорных реакций и распора в арках с затяжкой, затяжку мысленно удаляют, заменяя ее действие на остальную часть конструкции усилиями H (рис.1.7).

Далее составляют обычные уравнения равновесия, которые в этом случае примут вид:

;                                                                                   (1.12)

;                                                                                    (1.13)

;                                                                                           (5.14)               

.                                                  (5.15)

Если далее рассматривать распор в затяжке Н как одну из внешних нагрузок (рис.1.7), то построение эпюр внутренних усилий можно выполнить аналогично арке без затяжки по формулам (1.8), (1.10) и (1.11).

 

 

 

Рис.1.7

 

1.3. Расчет статически  определимых рам

Статически определимая рама – конструкция, состоящая из нескольких изгибаемых стержней, закрепленных так, что опорные реакции и внутренние усилия можно найти с помощью уравнений статики. Чаще всего стержни рамы соединены между собой жестким образом, так, что в процессе деформации угол между стержнями не меняется. Мы будем рассматривать только плоские рамы, стержни которых расположены под углом 90°. Вертикальные стержни рамы принято называть стойками, горизонтальные – ригелями. В стержнях плоских рам возникают три внутренних усилия: продольная и поперечная силы и изгибающий момент.

Внутренние усилия в рамах определяются методом сечений, и порядок их нахождения тот же, что и для балок. Из шести внутренних силовых факторов в сечениях плоской рамы в общем случае возникают три: продольная сила N; поперечная сила Q; изгибающий момент M. Напомним, что согласно методу сечений:

- продольная сила N равна сумме  проекций всех сил, действующих  с одной стороны от сечения, на ось стержня;

- поперечная сила Q равна сумме  проекций всех сил, действующих с одной стороны от сечения, на ось, перпендикулярную оси стержня;

- изгибающий момент M равен сумме  моментов всех сил, действующих  с одной стороны от сечения, относительно оси, проходящей через  центр тяжести рассматриваемого  сечения.

Правила знаков для продольной и поперечной сил те же, что и раньше: растягивающая продольная сила положительна, поперечная сила положительна, если она обходит сечение по ходу часовой стрелки. Правило знаков для изгибающего момента в рамах следующее: момент считается положительным, если он изгибает стержень рамы выпуклостью вовнутрь (для некоторых рам невозможно определить, где внешняя часть рамы, а где внутренняя. В этом случае знак изгибающего момента не определяется и эпюра изгибающих моментов строится со стороны растянутых волокон без знака).

На эпюрах N и Q положительные значения принято откладывать снаружи, на эпюре М – внутри – со стороны растянутых волокон.

От действия трех внутренних усилий в стержнях рамы возникают напряжения: нормальные и касательные. Нормальные напряжения определяются как сумма напряжений от продольной силы ( ) и от изгибающего момента по формуле . Касательные напряжения находят по формуле Журавского .

Перемещения точек оси рамы определяются, как правило, методом Максвелла – Мора по формуле . Заметим, что произвольная точка оси рамы в отличие от точки оси балки может перемещаться не только по вертикали, но и по горизонтали. Будем обозначать линейные перемещения точек оси рамы буквой , отмечая направление перемещения индексом сверху:   и . Углы поворота сечений рамы, как и балок, обозначаем буквой .

В данном разделе ограничимся рассмотрением простейших статически определимых рам трех видов:

1) с жесткой заделкой;

2) на двух шарнирных опорах (неподвижной  и подвижной);

3) на двух шарнирно неподвижных опорах с простым промежуточным шарниром.

 

Рамы с жесткой заделкой

Пример 1.

Рассмотрим жесткозащемленную плоскую раму (рис. а). В жесткой заделке рамы в общем случае нагружения возникают три опорные реакции: две силы ( и ) и опорный момент ( ). Для построения эпюр определение этих реакций не является безусловной необходимостью: расчет, как и в случае жесткозащемленной балки, можно вести от свободного конца, то есть всякий раз так выбирать отсеченную часть для рассматриваемого сечения, чтобы в нее не попадала опора с неизвестными опорными реакциями. Тем не менее, иногда целесообразно вычислить опорные реакции. Это позволяет проверить построение эпюр или облегчить их построение. Для вычисления реакций в жесткозащемленной раме используются три условия равновесия:

 Построим эпюры Nz, Qy и Mx для рассматриваемой рамы, не вычисляя опорные реакции.

Методика построения эпюр аналогична ранее рассмотренной для балок, т.е. сначала необходимо наметить характерные сечения. В дополнение к ранее указанным, в рамах характерными являются также сечения, расположенные бесконечно близко к жесткому узлу на всех элементах, сходящихся в этом узле.

 Построение эпюры Nz. Следуя установленным  правилам, в рассматриваемой раме  можно выделить 8 характерных сечений. Продольная сила в любом из них численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось стержня. При этом следует учитывать, что положение продольной оси будет изменяться в зависимости от того, чему принадлежит рассматриваемое сечение - стойкам или ригелю.

 Построение эпюры Qy. Поперечная сила в любом сечении численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на поперечную ось рамы. Положение поперечной оси также будет изменяться в зависимости от принадлежности данного сечения стойкам или ригелю. С учетом правила знаков, двигаясь от свободного конца к жесткой заделке,  получим для Qy:

  (проекция пары М на любую ось равна нулю);

(проекция пары М на любую  ось равна нулю);

Необходимо обратить внимание на тот факт, что , т.е. что поперечная сила в верхних сечениях противоположных стоек от действия силы, приложенной к правой стойке (при заделке, расположенной слева, и наоборот) имеет противоположные знаки. Отчасти это можно объяснить противоположными направлениями оси y для сечений 4 и 7, но более строгое обоснование указанного равенства будет дано ниже.

Построение эпюры Mx. Изгибающий момент в любом сечении численно равен алгебраической сумме моментов всех нагрузок, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно этого сечения (более строго: относительно оси x этого сечения). Обратим внимание на два важных замечания:

1) составляющая момента Mx от действия  сосредоточенного момента М всегда  одинакова и равна М;

2) под плечом силы всегда понимается  длина перпендикуляра, опущенного  из центра тяжести данного  сечения на линию действия  силы. Это означает, что, например, плечо силы F для сечений 4-7 одинаково и равно 3 м.

 

 

Таким образом, для сечений 1-8 получим:

 кНм (сжатым является правое волокно в сечениях 1-3, поэтому ордината отложена вправо от оси стойки);

 кНм (знаки "+" и "-" здесь имеют относительный характер; результирующий момент сжимает левые волокна в сечении 4 и нижние волокна в сечении 5, поэтому ордината "20" откладывается соответственно влево и вниз);

 кНм  (сжаты нижние волокна);

 кНм  (сжаты правые волокна);

 кНм  (сжаты левые волокна).

Между  в плоских рамах сохраняются те же зависимости, что и в балках, а именно:

Из этого следует, что правила контроля эпюр Qy и Mx остаются теми же, что и для балок .

Эпюры Nz в плоских рамах строятся наиболее просто и при отсутствии нагрузок, распределенных вдоль стержней, представляют собой графически отрезки прямых, параллельные осям стержней ( или совпадают с ними при Nz =0)

Если проанализировать процесс построения эпюр (рис.б-г), то очевидно, что наиболее "сложно" вычислять ординаты в сечениях стержня, примыкающего к заделке ( на рис.б-г это сечения 7 и 8). Как уже отмечалось, с этой целью иногда вычисляют реакции и момент .

При принятом для всей рамы направлении осей x, y (рис. а) уравнения равновесия имеют вид:

Полученный для каждой из величин  знак "+" говорит, что направления их были выбраны правильно.После вычисления опорных реакций значения величин   в сечениях 7 и 8 (как, впрочем, и в любом другом) можно вычислять, двигаясь от жесткой заделки к свободному концу.

Например, для сечений 7 и 8:

 кН (знак "-" указывает на сжатие в этих сечениях с силой );

 кН (т.к. реакция  стремится повернуть каждое из этих сечений против часовой стрелки.)При сравнении величины с ранее полученной величиной видно, что

, о чем уже говорилось выше.

 кНм (сжаты левые волокна стойки);

 кНм (сжаты правые волокна стойки).

Разумеется, результаты получаемые для любого сечения при движении от свободного конца к жесткой заделке и при движении в обратном направлении одинаковы.

2.1 Правило Верещагина

Недостатком метода Мора является необходимость получать значения внутренних силовых факторов, как функций от z, что становится достаточно трудоемким уже при двух – трех участках разбиения в балках и особенно – в рамах.

Оказывается, что от этого недостатка можно уйти, если непосредственное интегрирование в формулах Мора заменить так называемым перемножением эпюр. Такая замена возможна в тех случаях, когда хотя бы одна из перемножаемых эпюр является прямолинейной. Этому условию соответствуют все системы, состоящие из прямолинейных стержней. Действительно, в таких системах эпюра, построенная от обобщенной единичной силы, всегда будет прямолинейной.

Способ вычисления интеграла Мора путем замены непосредственного интегрирования перемножением соответствующих эпюр называется способом (или правилом) Верещагина и заключается в следующем: чтобы перемножить две эпюры, из которых хотя бы одна является прямолинейной, нужно площадь одной эпюры (если есть криволинейная эпюра, то обязательно ее площадь) умножить на ординату другой эпюры, расположенную под центром тяжести первой.

Докажем справедливость этого правила. Рассмотрим две эпюры (рис.2.1). Пусть одна из них (Mn) является грузовой и имеет криволинейное очертание, а вторая   соответствует единичной нагрузке и является линейной.

Из рис.21. следует, что   Подставим значения   в выражение   
 
где  - дифференциал площади   эпюры  Mn.

 

 Рис. 2.1

 
Интеграл  представляет собой статический момент площади  относительно оси О – О1, при этом: 
 
где zc – абсцисса центра тяжести площади  , тогда: 
 
Учитывая, что   получим: 
                                           (2.1) 
 Выражение (2.1) определяет результат перемножения двух эпюр, а не перемещения. Чтобы получить перемещение, этот результат нужно разделить на жесткость, соответствующую внутренним силовым факторам, стоящим под знаком интеграла.

Основные варианты перемножения эпюр 

Очевидно, что разнообразие приложенных нагрузок и геометрических схем конструкций приводит к различным, с точки зрения геометрии, перемножаемым эпюрам. Для реализацииправила Верещагина нужно знать площади геометрических фигур и координаты их центров тяжести. На рис.2.2 представлены некоторые основные варианты, возникающие в практических расчетах.