Задача теплопроводности в пластине при различных условиях нагрева и охлаждения

     Рисунок 8 – К решению уравнения (6.11) 

     Из  рисунка 8 следует, что имеется бесконечное множество значений величины μ_n, причем каждое последующее больше предыдущего:

     

     Важно отметить, что каждому значению числа Bi отвечает своя совокупность корней уравнения (6.11).

     Первые  четыре корня уравнения (6.11) μ₁, μ₂, μ₃ и μ₄ приведены в таблице 6.1 для различных значений числа Bi (от 0 до ∞). 

     Таблица 6.1 – Значения μ_n для пластины 

 

     При Bi→∞ прямая y₂=μ/Bi совпадает с осью абсцисс и корни уравнения будут равны:

     

     При Bi→0 прямая y₂=μ/Bi совпадает с осью ординат и тангенс угла наклона прямой стремится к бесконечности, при этом корни уравнения (6.11) равны:

     

где n=1,2,3…

     Для других конечных значений числа Bi величины μ_n имеют промежуточные значения (см. таблица 6.1).

     Следовательно, каждому найденному значению корня  μ будет соответствовать свое частное распределение температуры:

                                                 (6.12)

 

     Полученные  частные решения (6.12) будут удовлетворять дифференциальному уравнению при любых значениях постоянных А₁, А₂,…, А_n, но ни одно из этих решений не будет соответствовать действительному распределению температуры в начальный момент времени.

     На  основании сказанного общее решение  можно представить суммой бесконечного ряда:

          (6.13)

     Известно, что если отдельные распределения (6.12) удовлетворяют дифференциальному уравнению (6.1) и граничным условиям (6.3), то сумма их также удовлетворяет тем же условиям.

     Постоянная  А_n в уравнении (6.13) найдется из начальных условий. Подчинив уравнение (6.13) начальному условию, получим:

         (6.14)

     Уравнение (6.14) есть разложение четной функции в ряд Фурье с заданными параметрами μ_n, определяемыми характеристическим уравнением (6.11). Для этой последовательности чисел μ_n справедлива формула

     

с помощью  которой можно определить все  коэффициенты А_n в уравнении (6.14). Для этого умножим обе части уравнения (6.14) на и затем проинтегрируем полученное соотношение по толщине пластины. Тогда

  (6.15)

ибо все  остальные слагаемые в правой части, для которых  , обращаются в нуль. Интеграл в правой части соотношения (6.15) равен

     Тогда

                       (6.16)

     Из  уравнения (6.16) следует, что А_n является функцией только корня характеристического уравнения и начального распределения температуры.

     Подставив полученное выражение для постоянной А_n в уравнение (6.13), получим окончательное выражение для температурного поля при охлаждении однородной пластины:

       (6.17)

     Уравнение (6.17) позволяет получить значение температуры в любой точке пластины для любого момента времени τ при любом начальном распределении температуры θ₀.

     Если  в начальный момент времени (τ=0) температура  в пластине распределена равномерно (рисунок 7), т.е. t₀-t_ж=v₀=const, то интеграл в уравнении (6.16) равен . С учетом сказанного выражения для постоянной А_n принимает вид:

          (6.19)

     Подставляя значения А_n, полученное для случая равномерного распределения температуры в пластине в начальный момент времени, в уравнение (6.18), получаем:

        (6.20)

     Уравнению температурного поля (6.20) целесообразно придать безразмерную форму. Для этого разделим правую и левую части уравнения (6.20) на θ₀. При этом обозначим:

     

     После этих преобразований получим:

        (6.21)

     Входящие  в уравнение температурного поля (6.20) величины , , , , являются безразмерными и имеют следующий смысл:  - безразмерная температура; - безразмерная координата; - число Фурье, представляющее собой безразмерное время; _{- безразмерный коэффициент.}

     _{С учетом последних  обозначений уравнение (6.21) запишется:}

       (6.22) 

     6.3 Анализ полученного решения

     Так как μ₁, μ₂,…, μ_n представляет сой ряд возрастающих чисел, то чем больше μ, тем меньше роль последующего члена ряда по сравнению с предыдущим. Кроме того, чем больше число Fo, тем члены ряда будут убывать быстрее с увеличением номера n.

     Многочисленные  исследования показали, что уже при  Fo≥0,3 ряд (6.22) становится настолько быстросходящим, что распределение температуры достаточно точно описывается первым членом ряда:

        (6.23)

     Ранее обозначено . С учетом этого обозначения уравнение (2.23) можно записать в следующем виде:

          (6.23’)

     Величина  является только функцией числа Bi и заранее может быть рассчитана и табулирована. Кроме того, если рассматривать температуру для определенного значения , то и является функцией Bi. Конкретно для оси пластины и , а для поверхности  
и .

     Для оси пластины произведение обозначим как некоторую функцию N(Bi). Тогда уравнение (2.23) можно записать в следующем виде:

         (6.24)

     Для поверхности пластины произведение обозначим как некоторую функцию P(Bi) и уравнение (6.23’) запишется так:

         (6.25)

     Функции N(Bi) и P(Bi) в уравнениях (2.24) и (2.25) табулированы и для расчета могут быть взяты из справочников. Кроме того из уравнений (6.24) и (6.25) следует, что при заданной координате безразмерная температура является только функцией двух безразмерных параметров Bi и Fo:

     

 и

     Логарифмируя  уравнение (6.24), получается:

          (6.26)

     Аналогичное уравнение может быть получено после  логарифмирования уравнения (6.25).

     Из  уравнения (6.26) следует, что при заданном значении координаты и при заданном Bi натуральный логарифм безразмерной температуры линейно зависит от времени. Последнее обстоятельство дает возможность представить для уравнений (6.24) и (6.25) графическое решение (рисунок 9 и 10). 
 

     

     Рисунок 9 – Зависимость

для середины пластины

       

     Рисунок 10 - Зависимость для поверхности пластины 

     Из  уравнения (6.22) следует, что в условиях охлаждения (нагревания) пластины для любого момента времени при заданных граничных условиях поле температуры имеет вид симметричной кривой с максимумом на оси пластины (Х=0). Для каждого последующего момента времени будет своя кривая, монотонно убывающая к поверхностям пластины. При этом для любого момента времени касательные к кривым в точках Х=±1 проходят через две направляющие точки +А и –А – расположенные на расстоянии ±Х₀ от поверхности пластины, Х₀=1/Bi (рисунок 11).

     

     Рисунок 11 – Изменение температурного поля в плоской неограниченной стенке при ее охлаждении

     Для доказательства этого важного свойства рассмотрим температурное поле для  произвольного момента времени  Fo>0.

     Умножив граничное условие (6.3) при х=±δ на δ/v₀, получим:

     

     Записывая последнее выражение в безразмерных величинах, будем иметь:

           (а)

     Из  рисунка следует, что

          (б)

     Сравнивая выражение (а) и (б), получаем: