Вероятностная оценка производительности машин и механизмов лесопромышленного производства

 

 

 

Рисунок 1. Гистограмма для длительностей интервалов времени распиловки бревен на лесопильной раме.

 

3.5. Определение основных статистик  эмпирического распределения и  оценка близости его к нормальному распределению

Выборочное среднее по сгруппированным данным:

,

где - частота;

- объем выборки.

Наряду со средним значением, которое указывает центр распределения, крайне важно знать степень рассеяния различных значений случайной величины около среднего значения. Наилучшими статистиками, характеризующими рассеяние, является выборочная дисперсия:

и выборочное среднее квадратическое отклонение:

или

,

где - второй центральный момент в единицах измерения.

Безразмерной величиной, характеризующей меру изменчивости вариационного ряда, является коэффициент вариации:

Коэффициент вариации показывает насколько велико рассеяние по сравнению со средним значением случайной величины.

3.6. Удаление  сомнительных крайних значений  вариационного ряда

Если какое-либо значение нормально распределенной случайной величины резко отличается от остальных значений (это касается крайних значений вариационного ряда), то его проверяют на принадлежность к выборке по формуле:

Если неравенство выполняется, то значение исключается из выборки и все перечисленные выше статистики пересчитываются. Для крайних значений таблицы 3 имеем:

При имеем . Следовательно, значения 99 с, 93 с следует исключить из выборки. Объем выборки составит:

Пересчитываем статистики.

3.7. Варианты  гистограмм для случайной величины

Таблица 6

Группировка значений

случайной величины (длительность цикла распиловки бревен на лесопильной раме) по интервалам.

№ интервала	Вариант А			Вариант Б			Вариант В
	Интервал, с			Интервал, с			Интервал, с
1	22 – 32	27	23	22 – 32	27	23	20-30	25	13
2	32 – 42	37	51	32 – 42	37	51	30-40	35	52
3	42 – 52	47	31	42 – 52	47	31	40-50	45	35
4	52 – 62	57	26	52 – 62	57	26	50-60	55	26
5	62 – 72	67	9	62 – 72	67	9	60-70	65	14
6	72 – 82	77	5	72 – 82	77	5	70-80	75	3
7	82 – 92	87	3	82 – 92	87	3	80-90	85	5
8	92 – 102	97	2				90-100	95	2
Шаг: 10				Шаг: 10			Шаг: 10

 

А        Б

 

В

 

Рисунок 2. Гистограммы для длительностей интервалов времени распиловки бревен на лесопильной раме.

Эмпирические кривые распределения почти всегда в большей или меньшей степени отличаются от нормального распределения (например см. рис.1). Для количественной оценки отклонения служат показатели асимметрии и эксцесса. У нормального распределения асимметрия и эксцесс равны нулю:

; ,

где и - центральные моменты в единицах измерения 3-его и 4-ого порядков.

Среднюю ошибку показателя асимметрии вычисляют по формуле:

Среднюю ошибку показателя эксцесса находят по формуле:

 или 

,

где - объем выборки.

Зная величины , , и можно судить о близости эмпирической кривой распределения к соответствующей ей кривой нормального распределения. Если и меньше трех, то и эмпирической кривой не имеют существенного значения и вариационный ряд можно считать подчиняется нормальному закону.

Основные статистики эмпирического распределения, приведенного в таблице 5 и на рисунке 1, получены с использованием программы «ПИРСОН» и введены в таблицу 7.

 

Таблица 7

Основные статистики эмпирического распределения и оценка близости его к нормальному распределению.

Статистическая характеристика	Обозначение	Значение
1-ый начальный момент		45,933
2-ой начальный момент		2340,733
3-ий начальный момент		132399,533
4-ый начальный момент		8263897,533
2-ой центральный момент		230,862
3-ий центральный момент		3673,306
4-ый центральный момент		214895,459
Выборочное среднее		45,933
Средне квадратическое отклонение		±15,194
Асимметрия		1,047
Эксцесс		1,032
Выборочный коэффициент вариации		33,08
Средняя ошибка показателя асимметрии		±0,2
Средняя ошибка показателя эксцесса		±0,4
		5,235
		2,58

Эмпирическое распределение случайной величины (длительность цикла распиловки бревен на лесопильной раме) имеет положительную асимметрию и положительный эксцесс. Но отношения и больше трех, что указывает на то, что на длительность цикла лесопильной рамы оказывал влияние какой-либо производственный фактор доминирующий над совокупностью остальных.

3.8. Выбор  предположения о виде закона  распределения случайной величины

В лесозаготовительных процессах чаще могут встречаться следующие основные виды распределения случайной величины: показательное (экспоненциальное), нормальное, логарифмически нормальное, гамма, эрланговское и ряд других [269, c. 27; 267, с. 128].

Если найден закон и параметры случайной величины, то она перестает быть неизвестной. Для анализа статистическое (эмпирическое) распределение необходимо заменить теоретическим. Теоретическое распределение свободно от тех случайных колебаний, которые наблюдаются в статистических распределениях вследствие ограниченного числа наблюдений. Однако как бы хорошо не была подобрана теоретическая кривая распределения между нею и статическим распределением неизбежны некоторые расхождения. Проверка того, не противоречит ли предполагаемое распределение опытным данным решается с помощью критерия согласия. Наиболее часто применяется критерий согласия Пирсона .

Критерий Пирсона дает возможность оценить степень согласованности предполагаемого теоретического с эмпирическим распределением. Один из способов оценки сходимости – нахождение вероятности . Если полученная вероятность весьма мала (настолько мала, что событие с такой вероятностью можно считать практически невозможным), то гипотезу о предполагаемом теоретическом законе распределения случайной величины следует отбросить как неправдоподобную. Наоборот, если сравнительно велика, можно признать расхождение между теоретическим и эмпирическим распределением значительным.

При исследовании технологических процессов обычно считают, что если не меньше , то гипотетическое распределение хорошо согласуется с опытными данными (по другим источникам граничным значением берется [277, с. 337]).

Следует сказать, что с помощью критерия (или любого другого критерия согласия) можно только в некоторых случаях опровергнуть предполагаемую гипотезу (и отбросить ее как явно не согласную с опытными данными);  если же вероятность велика, то этот факт сам по себе ни в коем случае не может считаться доказательством справедливости гипотезы, а указывает только на то, что гипотеза не противоречит данным наблюдений и не исключена возможность математического описания технологической операции каким-либо другим распределением.

При пользовании критерием Пирсона количество данных в каждом интервале должно быть не менее 5. Если число наблюдений в различных интервалах мало, то такие интервалы объединяют [277, с. 337-338].

Таблица 8

Степень близости эмпирического распределения случайной величины

(длительность распиловки бревен на лесопильной раме) к теоретическим вероятностным распределениям.

Вариант группировки	Значения и при проверке на сходимость на теоретическое вероятностное распределение
	нормальное		логнормальное		гамма		экспоненциальное
		, %		, %		, %		, %
А	39,393	0	7,835	16,5	3,602	60,8	37,576	0
Б	22,761	0	9,831	4,2	3,304	50,8	38,824	0
В	41,440	0	7,640	17,7	6,877	23,0	56,329	0

Как видно из таблицы 8 наилучшим образом статистическое распределение случайной величины описывается теоретической кривой гамма распределения.

 

Таблица 9

Эмпирические и теоретические частоты и частости

(вариант  группировки А)

Гамма распределение
Интервал	Эмпирические Значения		Теоретические значения
	частостей	частот	частостей	частот
22 – 32	0,153	23	0,165	25
32 – 42	0,340	51	0,312	47
42 – 52	0,207	31	0,242	36
52 – 62	0,173	26	0,143	21
62 – 72	0,060	9	0,074	11
72 – 82	0,033	5	0,036	5
82 – 92	0,020	3	0,016	2
92 – 102	0,013	2	0,007	1

 

Гамма распределение обязано своим названием гамма функции. Гамма распределение имело большое значение в классических методах и служит основой для построения современных методов статистического исчисления [277, с. 248]. Гамма распределение соответствует кривой распределения Пирсона III-го типа [277, с. 286; 625, с. 185]. В теории массового обслуживания гамма распределение иногда называют распределением Эрланга [633, с. 68]. Гамма распределение переходит в экспоненциальное, когда параметр формы распределения равен нулю [622, с. 161] и тесно связано с нормальным распределением [277, с. 256-257].

Если воздействие одного или нескольких факторов из большого их числа, влияющего на случайную величину, значительно превосходит по силе воздействия все остальные факторы, то распределение случайной величины приобретает положительную асимметрию, что может быть описано гамма распределением [627, с. 153].

Дифференциальная функция или плотность функции гамма распределения имеет вид [622, с. 160; 621, с. 47; 626; 620, с. 129].

,

или

, [626]

где - параметр масштаба;

- параметр формы.

Интегральная функция [622, с. 160]:

,

где - неполная гамма функция табулированная К. Пирсоном.

 

Рис. 3. Гистограмма и теоретические кривые по гамма распределению для длительностей интервалов времени распиловки бревен на лесопильной раме (вариант группировки А)

 

 

3.9. Числовые  характеристики статистического  распределения и их оценка

По данным программы «ПИРСОН» статистические характеристики после увеличения шага до 8 имеют следующие значения (для варианта группировки Г):

выборочное среднее , с 45,933

выборочное средне квадратическое отклонение , с 15,194

выборочный коэффициент вариации

Основные ошибки статистических показателей.

Основная ошибка среднего значения:

Основная шибка среднего квадратического отклонения:

Основные шибки указывают пределы внутри которых с вероятностью 0,683 находится неизвестное значение параметра.

Показатель точности исследования среднего значения:

Показатель точности исследования среднего квадратического отклонения:

В технологических расчетах 5% показатель точности исследования считается достаточным. Средне квадратическое отклонение определено с гораздо большей точностью, среднее значение меньше, но не на много.