Основные понятия и формулы по "Гидравлике"

Впервые формула (84) была получена эмпирическим путем в XIX в. и названа формулой Дарси-Вейсбаха. В дальнейшем указанная формула проверена теоретически на основе метода анализа размерностей.

В уравнении (84) остается не выясненным смысл безразмерного коэффициента . Для выяснения физического смысла коэффициента при равномерном напорном движении жидкости в трубах как при ламинарном, так и при турбулентном режимах движения используем уравнение Д. Бернулли. Помня, что при равномерном напорном движении средняя скорость и распределение истинных скоростей по сечениям должны быть неизменными по длине трубопровода и составляя уравнение Д. Бернулли для двух сечений, можем записать

.      (85)

При горизонтальном расположении трубы  и тогда

.            (86)

Для уточнения  вопроса о потерях напора выделим  в трубопроводе между сечениями 1-1 и 2-2 соосный цилиндр с радиусом а и длиной l (рис. 31).

Как оговорено выше, распределение скоростей в сечениях 1-1 и 2-2 одинаково, частицы жидкости двигаются без ускорений.

Напишем уравнение динамического равновесия рассматриваемого цилиндра

,

где – касательное напряжение (трения) на поверхности цилиндра.

Поделив обе части уравнения  на , получим

.

Подставляя из уравнения (86) значение , имеем

,                           (87)

или

.                         (88)

Выразим из уравнения (88)

                            (89)

(так как  ).

У стенки трубы, где  , значение равно

    (90)

и тогда

.    (91)

Уравнение (91) есть общее выражение потерь напора при равномерном движении жидкости в трубах. Подставляя в уравнение (91) значения , и , получим

.                                            (92)

Замечаем, что  имеет размерность квадрата скорости.

Обозначим

,    (93)

где – называется  скоростью касательного напряжения на стенке, или динамической скоростью. Тогда уравнение (92) примет вид

. (94)

Из уравнения (94) находим, что

.    (95)

Таким образом, коэффициент гидравлического трения прямо пропорционален отношению квадратов динамической и средней скоростей.

Потери напора при ламинарном движении. На основе изложенного выше для потерь напора по длине при ламинарном режиме движения жидкости в трубе получено следующее уравнение:

,   (96)

где –абсолютный коэффициент вязкости жидкости, ; – длина трубопровода, м; v – средняя скорость, м/сек; – удельный вес жидкости, кгс/м³; – диаметр трубопровода, м.

Так как  , а , то вместо формулы (96) получим

.   (97)

Выражение (97) называют формулой Пуазейля-Гагена (по имени ученых, получивших это уравнение).

Формула (97) показывает, что при ламинарном режиме потери напора пропорциональны средней скорости и не зависят от состояния стенок трубопровода.

Приравняв правые части уравнения Дарси-Вейсбаха (84) и выражения (97), получим

. (98)

Таким образом, коэффициент гидравлического  трения при ламинарном режиме обратно пропорционален числу Рейнольдса.

Потери напора при турбулентном движении. В инженерной практике чаще встречается турбулентный режим движения жидкости в трубах, которые труднее исследовать теоретически. Этот вопрос подвергся наиболее широким опытным исследованиям как со стороны советских, так и зарубежных ученых. Из-за сложности процессов, протекающих при турбулентном режиме, до сих пор не создано окончательной теории, которая бы вытекала из основных уравнений гидродинамики и согласовывалась с опытом. Напомним, что при турбулентном режиме наблюдается интенсивное вихреобразование, частицы жидкости описывают сложные траектории, местные скорости меняются во времени даже при постоянном расходе. Это явление называется пульсацией скорости. Часть кинетической энергии жидкости переходит в тепловую. Установившегося движения в строгом смысле нет. Поэтому введено понятие об осредненной скорости.

Мгновенные скорости пульсируют около  своего осредненного значения, которое за достаточно длительный промежуток времени остается постоянным; это значение и называется осредненной скоростью. В дальнейшем, говоря о скоростях, рассматривая турбулентное движение, будем подразумевать осредненные скорости.

Опытами установлено, что закон  распределения осредненных скоростей  по сечению и потери напора зависят от диаметра труб, средней скорости, вязкости жидкости и шероховатости стенок труб. В свою очередь характер шероховатости зависит от материала стенок труб, степени обработки, а последние определяют высоту выступов, их густоту и форму. Для приближенной оценки введено понятие средней высоты бугорков (выступов) шероховатости, называемой абсолютной шероховатостью и обозначаемой k. Очевидно, что чем меньше диаметр, тем быстрее частицы жидкости совершат пробег от центра трубопровода к стенкам и встретятся с бугорками шероховатости, и, отражаясь от них, вызовут возмущения в потоке жидкости. Следовательно, частота вихреобразования при малых диаметрах труб больше, и шероховатость той же высоты проявляется сильнее. Поэтому введено понятие относительной шероховатости, т. е. отношение абсолютной шероховатости к диаметру трубы .

Экспериментами установлено, что коэффициент гидравлического трения в формуле Дарси-Вейсбаха, а соответственно и потери напора по длине зависят от числа Рейнольдса и от относительной шероховатости. Это вытекает и из теоретических исследований. Поэтому усилия как советских, так и зарубежных ученых были направлены на выявление характера этой зависимости. Было установлено, что при больших числах Рейнольдса и высокой шероховатости коэффициент гидравлического трения в трубах совсем не зависит от вязкости жидкости (числа Рейнольдса), а зависит только от относительной шероховатости (в этих условиях трубы и русла называют вполне шероховатыми). Трубы же, в которых коэффициент зависит только от числа Рейнольдса и не зависит от относительной шероховатости, что бывает при сравнительно малых R_e и k/d, называют гидравлически гладкими. При этом один и тот же трубопровод в одних условиях может быть гидравлически гладким, а в других – вполне шероховатым. Условия, в которых зависит и от числа Рейнольдса и от относительной шероховатости, называются переходной областью. Это объясняется тем, что при малых числах Рейнольдса вблизи стенок сохраняется сравнительно толстый ламинарный слой, и выступы шероховатости обтекаются жидкостью без образования и отрыва вихрей. Свойства поверхности стенок трубопровода в этом случае не влияют на сопротивление, и зависимость выражается в логарифмических координатах прямой (см. рис. 30).

С увеличением числа Рейнольдса ламинарный слой становится тоньше и  не покрывает выступов шероховатости; при этом от выступов шероховатости начинают отрываться вихри, и свойства поверхности оказывают влияние на сопротивление движению; график зависимости отклоняется от прямой и переходит в кривую второго порядка.

Так как на характер сопротивлений  оказывает влияние не только относительная шероховатость, но и форма и распределение выступов по поверхности, то в практику расчетов было введено понятие об эквивалентной равнозернистой шероховатости k_э. Под ней понимают такую высоту выступов шероховатости, сложенной из песчинок одинакового размера, которая дает при подсчетах одинаковое с заданной шероховатостью значение коэффициента гидравлического трения .

 

2.11. Потери напора в местных  сопротивлениях

 

Местные потери напора вызываются сопротивлениями  в арматуре, фасонных частях и оборудовании, вследствие сужения и расширения потока, изменения направления движения жидкости, слияния и разделения потока и т. п.

Потери на преодоление местных  сопротивлений в наружных сетях водопровода обычно не превышают 10-15%, во внутренних сетях – 30% от потерь напора по длине.

Однако местные потери напора в  некоторых видах инженерных сетей могут достигать значительной величины: так, например, в системах отопления зданий – до 40%, в воздуховодах вентиляционных систем и пневмотранспорта – до 60-70% от потерь напора по длине.

Местные потери напора определяют как  произведение скоростного напора непосредственно вблизи местного сопротивления , по формуле

.    (99)

Общей теории для определения коэффициентов  местных сопротивлений, за исключением отдельных случаев, нет. Поэтому коэффициенты местных сопротивлений, как правило, находят опытным путем. Значения их для различных элементов трубопроводов приводятся в технических справочниках. Иногда местные сопротивления выражают через эквивалентную длину прямого участка трубопровода . Эквивалентной длиной называют такую длину прямого участка трубопровода данного диаметра, потери напора в котором при пропуске данного расхода равны рассматриваемым местным потерям. Приравнивая формулы Дарси-Вейсбаха и (99), имеем

,   (100)

получаем

,    (101)

или

.    (102)

Внезапное расширение потока (рис. 32). Этот случай поддается теоретическому обоснованию. Из опытов установлено, что поток жидкости, вытекающий из узкой трубы, не сразу заполняет все сечение широкой трубы; он отрывается от стенок и дальше двигается в виде расширяющейся струи. В кольцевом пространстве между струей и стенками трубы жидкость образует завихрения. На некотором расстоянии l от расширения трубопровода струя вновь заполняет все сечение. В результате вихревых движений жидкости между сечениями 1-1 и 2-2 идет постоянный обмен между струей и жидкостью в кольцевом пространстве. В результате этих явлений происходит переход механической энергии в тепловую, что и является причиной потерь напора.

Рассмотрим внезапное расширение трубы с горизонтальной осью. Потеря напора на внезапное расширение равна

.  (103)

Разность давлений найдем, применив уравнение количества движения к отсеку жидкости между сечениями 1-1 и 2-2. За время t через сечения 1-1 и 2-2 протечет масса жидкости , количество движения которой в сечении 1-1, где скорость равно , а в сечении 2-2 – , т. к. , то изменение количества движения протекшей массы составит

.   (а)

Это изменение количества движения равно импульсу сил давления. Эти  силы следующие: в сечении 1-1, где давление , сила давления направлена в сторону течения и равна (считается, что давление действует и на поперечной стенке). Сила давления в сечении 2-2 направлена против течения и равна . Суммарный импульс этих сил за время t составляет

.   (б)

В  соответствии  с  теоремой  о  количестве  движения  приравниваем выражения (а) и (б)

Отсюда после деления на и на и перемены знаков получаем

,  (104)

так как  .

Подставляя  правую часть равенства (б) в выражение (а), имеем

, (105)

или окончательно

,    (106)

т. е. потери напора при внезапном  расширении равны скоростному напору от потерянной скорости. Уравнение (106) называется формулой Борда.

Для  выявления  значения  коэффициента местного  сопротивления  из уравнения (106) вынесем за скобки

,

или

.     (107)

Заменяя скорости через площади живых  сечений из уравнения неразрывности  , получим

.     (108)

Полученные  уравнения (107) и (108) для значения хорошо согласуются с опытами.

Уравнение (108) представлено в виде графика на рис. 33.

Постепенное расширение трубопровода. Плавно расширяющийся трубопровод – диффузор (рис. 34) широко применяется в технике. При течении жидкости по диффузору значительно меньше, чем при внезапном расширении. У стенок диффузора также образуются завихрения. Чем больше угол конусности трубопровода, тем больше вихреобразование и соответственно больше потери напора. Потерями по длине в данном случае пренебрегать нельзя.

Таким образом, потери напора в диффузоре 
равны сумме потерь на расширение и на трение по 
длине

.               (109)

Потеря  напора на расширение может быть найдена по формуле (106) с введением поправочного коэффициента К_см, называемого коэффициентом смягчения, который зависит от угла конусности

.   (110)

Коэффициент местного сопротивления в этом случае определится по формуле

;  (111)

К_см при <20° можно принять равным , a при значение коэффициента К_см следующие:

Угол конусности,	4	8	15	30	60
……..	0,08	0,16	0,35	0,80	0,90

 

Потери напора на трение по длине  определяют по формуле

,  (112)